第一節 數字游戲

一、迷人的幻方

哈代曾經寫道：“數學家就像是畫師或詩人，他們的職責就是制造模式。”即使以數學的標準來評判，仍可以說幻方具有非常有趣的模式。它們介于高度符號化的數學和謎題愛好者們所鐘愛的迷人模式之間。

幻方是一個方形的表格，其中每一格中寫入了各不相同的整數，從而使得每一行、每一列以及對角線上的數字之和相等。

從技術角度來講，僅包含1行1列的方格也是幻方，但是一般來說，我們都會將其忽略。包含2行2列的方格不可能是幻方。如果存在這樣的幻方，我們可以得到圖中所示的形式。由于每行和每列的數字之和都相等，因此有a+b=a+c，這就意味著b=c，與表格中的所有數字各不相同相矛盾。

標準的幻方其實是3×3的方格，也就是說，方格中填寫的數字是1,2,3, 4,5,6,7,8以及9。

對于這樣一個小方格，可以通過“試驗法”構建出一個3×3的幻方，但是我們還是先進行一些推導，以幫助我們更快地將它構建出來。如果我們將方格中的所有數字相加，將得到1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

這個總和等于方格中每一行數字之和的總和，也就是說，每一行（以及每一列、每條對角線）上的數字之和必須等于15。現在我們來看一下最中間的格子——不妨稱為c。中間1行和中間1列，以及兩條對角線都包含c。如果我們將這4條線上的數字相加，將得到15+15+15+15=60，而這個數必須等于所有數字之和再加3倍的c。根據等式3c+45=60可得知，c必然等于5。

九宮格，起源于河圖洛書，河圖與洛書是中國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，歷來被認為是河洛文化的濫觴，中華文明的源頭，被譽為“宇宙魔方”。河圖上，排列成數陣的黑點和白點，蘊藏著無窮的奧秘；洛書上的圖案正好對應著1—9九個數字，并且無論是縱向、橫向、斜向，三條線上的三個數字其和皆等于15，當時人們并不知道，這就是現代數學中的三階幻方，人們把這個神秘的數字排列稱為九宮圖。九宮圖被認為是中國古人數學思維的結晶，是中國古代文明的重要里程碑。

在《射雕英雄傳》中黃蓉曾破解九宮格，口訣：戴九履一，左三右七，二四有肩，八六為足，五居中央。

標準的幻方也稱為三階幻方。如果用九個同樣的三階幻方拼接成9×9的正方形方格，共有81個方格。每一個三階幻方在這里就是小九宮格，每個小九宮格之間用粗線分開，根據位置依次編號，取1—9的9個數字為一組共9組數字，填滿81個方格，使其滿足3個條件：

（1）每一行都是1—9的不同數字，沒有重復數字；

（2）每一列都是1—9的不同數字，沒有重復數字；

（3）每一個小九宮格都是1—9的不同數字，沒有重復數字。

滿足這三個條件，就是九階數字幻方（如右圖所示）。這是構成九階數字幻方的充分必要條件。

81個方格中任何一個方格改動數字，必然引起全盤“洗牌”，重新排列，得到新的數字幻方，“牽一發而動全身”。那么，究竟存在多少不同的九階數字幻方呢？中國的嚴德人先生將此作為學術課題進行了研究，并且設計了專用的軟件，終于得出了不同九階數字幻方的數目，竟然有6.67×1021之多。

九階數字幻方

? 六角幻方

科學研究就是這樣富有聯想性，有了正方形幻方以后，數學家們必然會追問：有沒有多角形幻方？后來便有人發現了六角幻方。

20世紀初，美國數學業余愛好者克利福特·亞當斯對幻方著了迷，他別出心裁地想：既然有正方形幻方，那么能否排出一個六邊形的“六角幻方”。他認為只有一層的六角幻方是不存在的，肯定是多層在一起，組成像蜂窩一樣的圖形。所以他嘗試用1—19個連續的自然數排出兩層真六邊形蜂窩形狀的陣列，在其中填入1—19個數，并使得每條直線（包括3個、4個、5個數）的數字之和都相等，等于38（共有15組數之和）。

六角幻方

當年，年輕的亞當斯在倫敦以西約80公里的一個鐵路公司的閱覽室當職員，他白天工作，晚上研究六角幻方。為了排列方便，他特別制造了19塊小紙板，從1到19進行編號，每天工作之余他就像下棋一樣來排列他的幻方。從1910年到1962年，亞當斯嘔心瀝血地研究著六角幻方，歷經52年，他終于得出了答案。最后他將研究成果發表在了《科學美國人》“數字游戲”專欄。

事情本該就此畫上了句號，但是追求嚴謹、富有聯想的數學家們并沒有止步，他們不停地探究各種各樣的幻方，如矩形幻方和平方幻方等。每一個幻方的發現，都是一個動人的故事。

? 平方幻方

1876年法國數學家艾得渥·盧卡斯（Edouard Lucas）提出平方幻方的設想，但是時至今日還沒有發現一個3×3的平方幻方，盡管有一個平方幻方已經非常接近了，如右圖所示。這個方格的所有行、列及其中一條對角線上的數字之和都等于21 609，但是另一條對角線上的數字之和卻等于1272 +1132 +972 =38 307。

平方幻方

二、數獨

數獨是源自18世紀瑞士的一種數學游戲。是一種運用紙、筆進行演算的邏輯游戲。玩家需要根據9×9盤面上的已知數字，推理出所有剩余空格的數字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3×3）內的數字均含1—9，且不重復。

數獨盤面是個九宮，每一宮又分為九個小格。在這81個格中給出一定的已知數字和解題條件，利用邏輯和推理，在其他的空格中填入1—9的數字，使1—9每個數字在每一行、每一列和每一宮中都只出現一次，所以又稱“九宮格”，如右圖所示。

數獨起源于18世紀初瑞士數學家歐拉等人研究的拉丁方陣（Latin Square）。19世紀80年代，一位美國的退休建筑師格昂斯（Howard Garns）根據這種拉丁方陣發明了一種填數趣味游戲，這就是數獨的雛形。20世紀70年代，人們在美國紐約的一本益智雜志Math Puzzles and Logic Problems上發現了這個游戲，當時它被稱為填數字（Number Place），這也是目前公認的數獨最早的版本。1984年一位日本學者將其介紹到了日本，發表在一本游戲雜志上，并改名為“Sudoku”，其中“Su”是數字的意思，“doku”是單一的意思。后來高樂德（Wayne Gould）1997年3月到日本東京旅游時，無意中發現了“Sudoku”。他首先在英國的《泰晤士報》上將其發表，很快數獨便風靡全英國，之后他又用了6年時間編寫了電腦程序，并將這套程序放在網站上。最近愛爾蘭都柏林大學的三位科學家用計算機證明了：九階標準數獨至少必須留有17個數字才能有唯一解。

數獨游戲現已風靡全世界，該游戲益智健腦、老少皆宜，自進入中國以來，受到了人們的廣泛關注和喜愛。現在數獨已經舉辦了國際競賽，中國開展數獨活動比較晚，但是發展速度引人矚目。

為了提高趣味性和競技性，人們還創造出了豐富多彩的數獨題目，難度也更大。

對角線數獨（Diagonal Sudoku），在標準數獨規則基礎上，兩條大對角線的數字不重復。

迷你數獨（Mini Sudoku），由一個4×4或6×6網格組成，游戲的目的是將空方格填上數字1—4或者1—6。

鋸齒數獨（Jigsaw Sudoku），相對標準數獨而言，其“宮”格是不規則的，玩家需在對應的鋸齒方框內填入不重復的9個數或N個數，并保證橫縱也不重復。

連體數獨（Multi Sudoku）：每個謎題都由兩個或者更多的數獨網格重疊組成，該網格可能是標準數獨謎題也可能是混合類型的數獨謎題，這些網格都有一個或多個宮重疊。游戲的目的是通過其規則將每個網格均解出。重疊的區域必須同時滿足其所在網格的規則。

殺手數獨（Killer Sudoku），在標準數獨規則的基礎上，每個虛線框左上角的數字表示虛線框內所有數字之和，每個虛線框內數字無重復。

鋸齒數獨

連體數獨

殺手數獨

三、天煞魔格

相傳，有一個抽獎販子，他有一張寫滿了數字的方格紙，身旁有一個大柜子，有很多個抽屜，每個抽屜里面有不同數額的金子，只有一個編號為33號，名稱為“天煞魔格”的抽屜是空的。

抽獎規則是：在寫滿了數字的方格紙上，如下圖所示，一個人從這些數字中任選一個數圈起來，并把這個數所在的行和列上對應的數打上叉，再從沒有被打叉的數中選一個數并圈起來，然后再把它所在的行列上的全部的數都打上叉號……經過反復4次這樣的操作后，將最后的數圈起來。最后再將全部所圈起來的數加起來，就是抽屜號碼，可以得到抽屜里相應的金子。

前來圍觀的人都躍躍欲試，張三搶先說了一個數字8，只見販子把8用紅筆圈了起來，然后把8橫排和豎排的數字全部叉掉。販子讓張三再選一個沒有被叉掉的數字，張三又選了4，按前面的規則，販子又把4所在的橫豎兩列上的數字叉掉，張三又選一個10，販子如法炮制，張三又選了一個5，販子又把它橫豎排的3和8叉掉，隨后他把最后一個沒被叉掉的6圈起來，說：“8+4+10+5+6正好等于33,33號抽屜是空的，很遺憾，你沒有抽到獎。”

怎么會這么巧呢？33號抽屜，恰好是唯一一個沒有金子的抽屜。其他的人以為只是張三運氣不好，誰知道，接連下來幾個人選中的數字最后加起來都是33。

真的是這樣嗎？到底為什么總是33，而33號抽屜恰好空無一物？那張方格紙究竟又有什么魔力？這些數與“天煞魔格”有什么關系？你也不妨拿出紙和筆，自己嘗試一下，看看最后的結果是不是都是33。

有人將這些數的順序調換位置后，結果發現得數是“33”或“34”或“28”。原來，這個數字游戲顛倒位置是不行的，少數或添數也是不行的。

但其實，現象背后還是有規律可循的：每行按從小到大的順序排列的話，它們都是差為1的等差數列。整個表格中0所在的那行數字代表了等差數列中哪個大哪個小，0那一列的數字在每一行的等差數列中是最小的，4所在的那列是最大的，并且0這列的數字之和再加10正好等于33。

根據這個規律，表格也能做成讓所得的數字之和為別的數，比如100。

首先在任意一行上寫0—4的五個數字，順序隨意。比如寫的是“2、0、4、1、3”，用所選定的數字100減去10得到90，任意挑選加起來為90的4個數字，比如說18,23,31,18，將它們寫在0的那一列上。在23這一行找到1那一列所在的位置加1，寫24；在2那列所在的位置加2，寫25; 3那列所在的位置加3，寫26;4那列所在的位置加4，寫27。其他每行同樣操作，就得出了數字和為100的天煞魔格，見右圖。

若要數字加起來總和為31的話，則該如何填數呢？