第二節 融詩于數

歌劇《劉三姐》中，劉三姐與三位秀才（陶、李、羅）對唱：

羅秀才：“小小麻雀莫逞能，三百條狗四下分。一少三多要單數，看你怎樣分得清。”

劉三姐：“九十九條打獵去，九十九條看羊來。九十九條守門口，還剩三條奇奴才。”

計算一下可以發現：300 = 99+99+99+3 。這正是數學中的整數分拆問題。

在元代有一部算經《詳明算法》內有關于丈量田畝的方法：

古者量田較潤長，全憑繩尺以牽量。

一形雖有一般法，惟有方田法易詳。

若見渦斜并凹曲，直須裨補取為方。

卻將黍實為田積，二四除之畝法強。

這首詩的作者為元末的賈亨。詩的意思是，田畝丈量以“方田法”即以矩形面積為基礎，如遇不規則圖形，用割和補的方法巧妙化解，體現了處理幾何問題時“出入相補”的一般化原理。

中國古代典籍中的許多數學問題，都以詩歌形式提出。

一、百羊問題

明代大數學家程大位著的《算法統宗》一書，有一道詩歌形式的數學應用題，叫“百羊問題”。

甲趕羊群逐草茂，

乙拽一羊隨其后，

戲問甲及一百否？

甲云所說無差謬，

所得這般一群湊，

再添半群小半群，

得你一只來方湊，

玄機奧妙誰猜透？

意思是：一個牧羊人趕著一群羊去尋找青草茂盛的地方。有一個牽著一只羊的人從后面跟來，并問牧羊人：“你的這群羊有100只嗎？”牧羊人說：“如果我再有這樣一群羊，加上這群羊的一半又1/4群，連同你這一只羊，就剛好滿100只了?！?/p>

如何用巧妙的算術方法求出這群羊有多少只呢？

我們可以把這群羊作為一個整體，用“1”代替，因此，此題的解為：

（100-1）÷（1+1+1/2+1/4）=36（只）

注意：上式“（100-1）”中的“1”代表問話人手中的那只羊，而“（1+1+1/2+1/4）”中的“1”則代表牧羊人所趕的一群羊。

二、寶塔裝燈

這是明代數學家吳敬偏著的《九章算法比類大全》中的一道題，題目是

遠望巍巍塔七層，

紅光點點倍加增，

共燈三百八十一，

請問頂層幾盞燈？

同樣地，我們可以把塔頂層的燈數看成“1”，則向下各層的燈數分別為頂層燈數的2倍、4倍、8倍，往下類推，可解出各層倍數和為

1+2+4+8+16+32+64=127

所以頂層的盞數為

381÷127=3（盞）

三、李白打酒

李白街上走，提壺去打酒；

遇店加一倍，見花喝一斗；

三遇店和花，喝光壺中酒。

試問酒壺中，原有多少酒？

這是一道民間算題。題意為：李白在街上走，提著酒壺邊喝邊打酒，每次遇到酒店將壺中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗 ①，這樣遇店見花各3次，把酒喝完。問壺中原來有酒多少斗？

此題用方程解非常容易，設壺中原來有酒X斗，“遇店加一倍”就是2X, “見花喝一斗”就要減去“1”，此時酒壺中還有酒（2X-1）斗，以此類推，則可列出以下方程：

[(2X-1)×2-1]×2-1=0

解得X=7/8，即壺中原來有酒7/8斗。

四、百饃百僧

明代大數學家程大位著的《算法統宗》中還有這樣一題：

一百饅頭一百僧，大僧三個更無增，

小僧三人分一個，大小和尚各幾?。?/p>

題意為：有一百個和尚分食一百個饅頭，一個大和尚可以吃3個饅頭，而一個小和尚只能吃1/3個饅頭，這樣正好可以分完，問有多少個大和尚和多少個小和尚？

這題可用假設法求解，如假設大和尚有100個，則缺饅頭（3×100-100）= 200個，一個小和尚比一個大和尚少吃（3-1/3）個饅頭，需要多少個小和尚才能彌補所缺的200個饅頭呢？因此我們可以通過下式算出小和尚的人數為75人：

(3×100-100)÷(3-1/3)=75（人）

那么，大和尚的人數就很容易知道為：100-75=25（人）。

這與“百元買百雞”問題的算法是一致的。

五、僧侶人數

在《增刪算法統綜》里，也有這樣一首古詩，就是一道完整的數學題。

巍巍古寺在山林，

不知寺內幾多僧。

三百六十四只碗，

看看用盡不差爭。

三人共食一碗飯，

四人共吃一碗羹。

請問先生明算者，

算來寺內幾多僧。

對于這道并不復雜的數學題，我們可以這樣思考：吃飯的碗的個數應該與總的人數的三分之一相等，盛羹的碗的個數應該與總的人數的四分之一相等，因此，總人數為：364÷(1/3+1/4) = 624（人）。

漢代數學家劉徽所著的《九章算術》是一部世界性著作，突出的成就有：分數運算、比例問題、雙設法、面積及體積計算、一次方程解法、負數的引入及運算法則、開平方、開立方及一般二次方程的解法等。在現在的小學教育中部分涉及雞兔同籠問題、方程、勾股、均輸、盈不足等。了解這些，教師在教學中可以幫助孩子博古通今，激發其學習數學的興趣。

“竹原高一丈，末折著地，去本三尺，竹還高幾何？”意思是說：一根竹子有一丈長，從中間折斷使末端著地，此時末端距離竹子根部有三尺，請問竹子還有多高？