2.4　矩陣的特征值和特征向量

特征值問(wèn)題是數(shù)值代數(shù)的基本問(wèn)題之一，無(wú)論在理論上還是在工程技術(shù)上都非常重要。工程技術(shù)中的一些問(wèn)題，如振動(dòng)問(wèn)題和穩(wěn)定性問(wèn)題，常可歸結(jié)為求一個(gè)方陣的特征值和特征向量問(wèn)題。

特征值和特征向量的定義如下：

定義2.2　設(shè)A是個(gè)n階矩陣，λ₀是一個(gè)數(shù)，如果有非零列向量（即n×1矩陣）α，使得

就稱λ₀是A的特征值，α是A的屬于特征值λ₀的特征向量，簡(jiǎn)稱特征向量。

設(shè)

是矩陣

的屬于特征值λ₀的特征向量，那么

Aα＝λ₀α

具體寫出來(lái)，就是

將等式兩端乘開，得

移項(xiàng)，得

這說(shuō)明，（c₁，c₂，…，c_n）是齊次線性方程組

的一組解。因?yàn)檫@個(gè)齊次方程組有一組非零解，所以它的系數(shù)行列式等于零：

即

|λ₀E－A|＝0

定義2.3　A是個(gè)n階矩陣，λ是一個(gè)未知量。矩陣λ E－A稱為A的特征矩陣，它的行列式

即f（λ）＝|λ E－A|＝λⁿ＋a₁λ^n－1＋…＋a_n

這里a₁＝－（a₁₁＋…＋a_nn），a_n＝（－1）ⁿ|A|。f（λ）是首項(xiàng)系數(shù)為1的λ的n次多項(xiàng)式，叫作A的特征多項(xiàng)式。f（λ）的根叫作A的特征根。n階矩陣有n個(gè)特征根。

可見，矩陣A的特征值就是A的特征多項(xiàng)式的根，所以特征值也叫特征根。

歸納以上討論，可總結(jié)出矩陣A的特征值和特征向量的求法：

（1）計(jì)算A的特征多項(xiàng)式f（λ）＝|λ E－A|；

（2）求出f（λ）在數(shù)域P中的全部根，就是A的全部特征值。

（3）對(duì)于每個(gè)特征值λ₀，求出齊次方程組的非零解，就是屬于λ₀的特征向量。

【手工計(jì)算例10】　設(shè)

求A的特征值和特征向量。

解：先求A的特征多項(xiàng)式

解之得

λ₁＝1， λ₂＝－2

把λ₁代入齊次線性方程組（2-2）中，得

化簡(jiǎn)后，兩個(gè)方程都變成x₁＝－x₂，所以它的一個(gè)基礎(chǔ)解系是。

把λ₂代入式（2-2）中，可解得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系是。

因此，A的特征值為1和－2，屬于1的特征向量是，屬于－2的特征向量是（k，k全不為零）。₁₂

【手工計(jì)算例11】　求矩陣A的特征值和特征向量。

解：先求A的特征多項(xiàng)式

所以，A的特征值為λ₁＝2，λ₂＝－7。

把λ₁代入式（2-1）中，得

化簡(jiǎn)，得

x₁＋2x₂－2x₃＝0

它的一個(gè)基礎(chǔ)解系是

把λ₂＝－7代入式（2-2）中，得

化簡(jiǎn)，得

它的一個(gè)基礎(chǔ)解系是

因此，A的特征值為2和－7。

屬于－7的特征向量是

屬于2的特征向量是