2.5 時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)的零和博弈

在兩人Nash博弈中，當(dāng)一方的收益等于另一方的損失時(shí)，我們稱該類博弈為零和博弈，此時(shí)兩個(gè)博弈人的性能指標(biāo)之和為零，用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述即為J¹[v（·）]=-J²[v（·）]。本節(jié)即研究具有此種收益結(jié)構(gòu)的時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)的微分博弈問(wèn)題。

2.5.1 問(wèn)題描述

考慮下式描述的博弈系統(tǒng)：

其中φ∈C（[-τ，0]；Rⁿ）為確定性函數(shù)，滿足；w_t為一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；vⁱ_t是取值于U_i的F_t-可測(cè)的變量，表示博弈人i的決策控制變量，為非空凸集，i=1，2，v（·）=[v¹（·），v²（·）]；τ＞0為給定的有限的時(shí)間延遲；A_t，?_t，B¹_t，B²_t，D⁰_t，D¹_t，D²_t為具有適當(dāng)維數(shù)的確定性矩陣；G為確定性對(duì)稱矩陣，Q_t為非負(fù)的確定性矩陣，Rⁱ_t為正的確定性矩陣，i=1，2。

我們的問(wèn)題是尋找容許控制[u¹（·），u²（·）]，使得下述不等式成立J[u¹（·），v²（·）]≤J[u¹（·），u²（·）]≤J[v¹（·），u²（·）].

這樣的[u¹（·），u²（·）]稱為博弈問(wèn)題的一個(gè)鞍點(diǎn)。

2.5.2 主要結(jié)論

首先引入下述包含對(duì)稱矩陣P_t，0≤t≤T的推廣的廣義Riccati方程

其中，

定理2.5 具有如下形式

的[u¹（·），u²（·）]是博弈問(wèn)題（2.46）的一個(gè)鞍點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)上述推廣的廣義Riccati方程（2.47）存在解P_t，0≤t≤T。

證明：定義哈密爾頓函數(shù)：

根據(jù)最大值原理知

即

其中（y_t，z_t）是下述伴隨方程的解

由式（2.50）得最優(yōu)控制

于是得到下述隨機(jī)哈密爾頓系統(tǒng)

令

其中P_t=P^Τ_t∈R^n×n是確定性函數(shù)矩陣。

對(duì)y_t=P_tx_t應(yīng)用It?公式，得

比較式（2.55）中擴(kuò)散項(xiàng)的系數(shù)，得

將式（2.54）和（2.56）代入式（2.52）并經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得

為符號(hào)上的簡(jiǎn)便，引入下列記號(hào)：

在上述記號(hào)下，式（2.55）可以化簡(jiǎn)為

式（2.57）可以簡(jiǎn)記為

由式（2.57）可得式（2.48）。

將式（2.48）代回式（2.58），從而得到式（2.47），證畢。□

注2.4 本節(jié)只研究了有限時(shí)間時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)的兩人零和博弈問(wèn)題，對(duì)于無(wú)限時(shí)間的零和博弈，相關(guān)結(jié)論可參考無(wú)限時(shí)間Nash博弈的結(jié)論推出。