2.4 無限時間Nash博弈

2.4.1 問題描述

本節試圖將上述有限時間的Nash微分博弈問題推廣到無限時間。

考慮下式表示的兩人微分博弈系統

這里φ∈C（[-τ，0]；Rⁿ）為確定性函數，滿足；w_t為一維標準布朗運動；vⁱ_t是取值于的F_t-可測的變量，表示博弈人i的決策控制變量，i=1，2；τ＞0為給定的有限的時間延遲；A，?，B₁，B₂，C_t，D₁，D₂為具有適當維數的常數矩陣。

以J¹[v（·）]，J²[v（·）]，v（·）=[v¹（·），v²（·）]來表示博弈人i，i=1，2各自對應的性能指標泛函

其中Q_i=Q^Τ_i≥0∈R^n×n，，i=1，2。

我們的問題是尋找容許控制[u¹（·），u²（·）]，使得下述不等式成立

J¹[u¹（·），u²（·）]≤J¹[v¹（·），u²（·）]，J²[u¹（·），u²（·）]≤J²[u¹（·），v²（·）].

這樣的[u¹（·），u²（·）]稱為博弈問題的Nash均衡點。

2.4.2 主要結論

首先介紹無限時域隨機最優控制中的一個重要概念——隨機穩定性。

定義2.1^[97] 隨機受控系統是（均方意義下）隨機穩定的，如果存在一個反饋控制u_t=Kx_t，使得對任意的初始值φ（0），閉環系統是漸近均方穩定的，即，其中K∈R^m×n為常數陣。

在本節中，我們將控制策略uⁱ_t限定在形如uⁱ_t=F_ix_t的線性狀態反饋控制策略。

用F_N表示所有使得下述閉環隨機系統

均方漸近穩定的（F₁x_t，…F_Nx_t）構成的集合。

為了使得所研究的問題有意義，我們做出下述假設。

（A.2.3）假設系統（2.36）是隨機穩定的。

類似于有限時間Nash博弈的結果，我們有如下結論。

定理2.4 在假設（A.2.3）成立的條件下，假設如下推廣的Riccati方程存在對稱的正定解P₁，P₂∈R^n×n

其中。

定義策略組（F*₁x_t，F*₂x_t）

則（F*₁x_t，F*₂x_t）∈F2，且該策略組（F*₁x_t，F*₂x_t）是博弈問題（2.34）和（2.35）的一個Nash均衡點。

證明：定義哈密爾頓函數：

根據最大值原理知

即

其中（yⁱ_t，zⁱ_t）是下述伴隨方程的解

令

其中P₁=P^Τ₁∈R^n×n，P₂=P^Τ₂∈R^n×n是常數矩陣。

對y¹_t=P₁x_t和y²_t=P₂x_t應用It?公式，得

比較式（2.43）中擴散項的系數，得

將式（2.42）和（2.44）代入式（2.40），得最優控制

于是有

將式（2.45）代回上式，從而得到式（2.37），證畢。□