2.3 有限時間Nash博弈

2.3.1 問題描述

本節(jié)研究有限時間時滯隨機(jī)系統(tǒng)的線性二次Nash微分博弈問題。簡單起見，我們假設(shè)布朗運(yùn)動為一維的，且只考慮兩個博弈參與人，n個博弈參與人的情形可類似地得到。

受控系統(tǒng)為

這里φ∈C（[-τ，0]；Rⁿ）為確定性函數(shù)，滿足；w_t為一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動；vⁱ_t是取值于U_i的F_t-可測的變量，表示博弈人i的決策控制變量，為非空凸集，i=1，2；τ＞0為給定的有限的時間延遲；A_t，?_t，B¹_t，B²_t，C_t，D¹_t，D²_t為具有適當(dāng)維數(shù)的F_t-適應(yīng)的矩陣值有界過程。

以J¹[v¹（·），v²（·）]，J²[v¹（·），v²（·）]來表示博弈人i，i=1，2各自對應(yīng)的性能指標(biāo)泛函

其中Gⁱ為F_T-可測非負(fù)有界對稱矩陣，Qⁱ_t為F_t-適應(yīng)的非負(fù)有界矩陣值過程，Rⁱ_t為F_t-適應(yīng)的正的有界矩陣值過程且（Rⁱ_t）^-1也有界，i=1，2。

我們的問題是尋找容許控制[u¹（·），u²（·）]，使得下述不等式成立

J¹[u¹（·），u²（·）]≤J¹[v¹（·），u²（·）]，J²[u¹（·），u²（·）]≤J²[u¹（·），v²（·）].這樣的[u¹（·），u²（·）]稱為博弈問題的Nash均衡點(diǎn)。

2.3.2 主要結(jié)論

定理2.3 [u¹（·），u²（·）]為上述博弈問題（2.26）和（2.27）的一個Nash均衡點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)[u¹（·），u²（·）]取下述形式

其中（P¹_t，Λ¹_t）和（P²_t，Λ²_t）為如下推廣的隨機(jī)Riccati方程的解

其中。

證明：由Nash均衡點(diǎn)的定義及定理2.1，我們可知[u¹（·），u²（·）]是博弈問題的一個Nash均衡點(diǎn)等價于uⁱ（·）為如下控制問題的最優(yōu)策略

指標(biāo)泛函為

其中j=1，2，j≠i。

注意到指標(biāo)泛函（2.31）在形式上與定理2.1中的J[v（·）]是一致的，將定理2.1中的，得

uⁱ_t=[Rⁱ_t+（Dⁱ_t）^ΤPⁱ_tDⁱ_t]^-1[（Bⁱ_t）^ΤPⁱ_t+（Dⁱ_t）^ΤPⁱ_tCⁱ_t+（Dⁱ_t）^ΤΛⁱ_t]x_t，t∈[0，T].

式中的Cⁱ_t=C_t+D^j_tu^j_t。定理2.3證畢?！?/p>

推廣的隨機(jī)Riccati方程（2.29）的解是一個二元組（Pⁱ_t，Λⁱ_t），Λⁱ_t的出現(xiàn)則保證了狀態(tài)方程（2.26）的系數(shù)矩陣A_t，?_t，B_t，C_t，D_t為隨機(jī)過程時得到一個F_t-適應(yīng)解。而當(dāng)各系數(shù)矩陣都是確定性的，則有如下的確定性Riccati方程

推論2.1 假設(shè)所有的系數(shù)矩陣A_t，?_t，B_t，C_t，D_t都是確定性的，則用式（2.32）替代式（2.29）后定理2.3仍然成立。此外，

是博弈問題（2.26）和（2.27）的一個Nash均衡點(diǎn)。

注2.3 推廣的隨機(jī)Riccati方程（2.29）看起來非常復(fù)雜，其解的存在唯一性不易得到。但是，如果它有唯一解，則博弈問題（2.26）和（2.27）也有唯一的Nash均衡點(diǎn)。