第一節(jié)　雉兔同籠

※算題1　雉兔同籠

【原題】

今有雉^①?兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問(wèn)雉?兔各幾何？(選自《孫子算經(jīng)》31卷下)

【注釋】

①雉：雞。

【譯文】

【解答】

《孫子算經(jīng)》針對(duì)這一題做出了非常巧妙的解答：“術(shù)曰：上置頭，下置足。半其足，以頭除足，以足除頭，即得。”把這一解法列成算式即是：兔子的只數(shù)=94÷2-35=12只，再用35-12=23只，即求出了雞的數(shù)量。

這一解法的巧妙之處即在于它假設(shè)了一種特殊的情況——雞?兔的腳數(shù)都減少一半，也就是想象每只雞都“金雞獨(dú)立”，而每只兔子都抬起2只前爪。這樣，地面上出現(xiàn)腳總數(shù)的一半，也就是94÷2=47。如果我們把47看作兩種動(dòng)物的頭數(shù)，那么雞的頭數(shù)算了一次，而兔子的頭數(shù)卻算了兩次，因?yàn)楫?dāng)雞抬起一只腳，它的腳數(shù)與頭數(shù)相等，而當(dāng)兔子抬起前主爪之后，腳數(shù)卻為頭數(shù)的兩倍，也就是說(shuō)，每有一只兔子，(一半的)腳數(shù)便要比頭數(shù)多1。因此從47中減去總頭數(shù)35，得到的是兔子頭數(shù)。再用總頭數(shù)減去剛剛算出的兔子的數(shù)量，便得出了雞的數(shù)量。

假設(shè)一種特殊情景，只通過(guò)一次除法和兩步減法便得出所求，方法的確非常明了?簡(jiǎn)單。只不過(guò)這種解法推廣的可能性比較小，因?yàn)椤疤确ā备m合雞?兔這種腳數(shù)與頭數(shù)呈現(xiàn)特定比例關(guān)系的動(dòng)物，對(duì)于一般性的事物，我們可以用一種更普遍的解法。

還是雉兔同籠這道題，如果假設(shè)35只都是兔子，那么就有4×35只腳，比94只腳多：

35×4-94=46只

因?yàn)槊恐浑u比兔子少4-2只腳，所以共有雞：

(35×4-94)÷(4-2)=23只

說(shuō)明我們?cè)O(shè)想的35只“兔子”中有23只不是兔子，而是雞。因此兔子的真正數(shù)目是35-23=12只。

當(dāng)然，我們也可以設(shè)想35只都是“雞”，那么共有腳2×35=70(只)，比94只腳少：

94-70=24只

每只雞比每只兔子少4-2只腳，所以共有兔子：

(94-2×35)÷(4-2)=12只

說(shuō)明設(shè)想中的“雞”中有12只不是雞，而是兔子。雞的真實(shí)數(shù)目是35-12=23只。

因此，這個(gè)籠子中共有23只雞，12只兔。

※算題1　再操練

1.李老師買筆

李老師到文具店買圓珠筆，紅筆每支1.9元，藍(lán)筆每支1.1元，兩種圓珠筆共買了16支，花了28元。問(wèn)紅?藍(lán)筆各買了幾支？

以“角”作單位：

紅筆數(shù)量：(280-11×16)÷(19-11)=13支

藍(lán)筆數(shù)量：16-13=3支

因此，李老師買了13支紅筆，3支藍(lán)筆。

2.蜘蛛?蜻蜓和蟬

蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀。現(xiàn)在這三種小蟲共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀。每種小蟲各有幾只？

因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來(lái)考慮，可以把小蟲分成“8條腿”與“6條腿”兩種，利用公式就可知8條腿的蜘蛛有：(118-6×18)÷(8-6)=5只，則6條腿的小蟲有：

18-5=13只

也就是蜻蜓和蟬共有13只。因?yàn)樗鼈児灿?0對(duì)翅膀，再利用一次公式。

蟬的數(shù)量：(13×2-20)÷(2-1)=6只

蜻蜓的數(shù)量：13-6=7只

因此，有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬。

※算題1　拓展

1.雉兔同籠2

若干只雞?兔在同一個(gè)籠中，它們的頭數(shù)相等，腳一共有90只。雞?兔各有幾只？

因?yàn)殡u?兔頭數(shù)相等，因此可以把1只雞和1只兔子并為一組，每組有2+4=6只腳，90÷6=15，可知一共

有15組雞兔，也就是說(shuō)籠子里有15只雞，15只兔。

2.兩種郵票

小紅買了一些4角和8角的郵票，共花了68元。已知8角的郵票比4角的郵票多40張，那么兩種郵票各有多少?gòu)垼?/p>

如果拿出40張8角的郵票，剩下的郵票中8角與4角的張數(shù)一樣多，

(680-8×40)÷(8+4)=30張

剩下的郵票中8角和4角的各有30張，8角的郵票一共有：

40+30=70張

因此，8角的郵票有70張，4角的郵票有30張。