歐幾里得和《幾何原本》

歐幾里得，古希臘著名數學家，是幾何學的奠基人。

歐幾里得出生在雅典，曾經師從柏拉圖，受到柏拉圖思想的影響，治學嚴謹。后來在埃及托勒密王的盛情邀請下，到亞歷山大城主持教育，成果非凡。托勒密國王本人對數學較感興趣，但又無心深究，經常淺嘗輒止，還總是詢問歐幾里得有沒有什么捷徑。歐幾里得則鄭重其事地告訴他：“在幾何的王國里，沒有專門為國王鋪設的大道。”國王為歐幾里得嚴謹的治學態度所打動，后來這句話成為激勵學習者不畏艱苦的箴言。

歐幾里得在系統地總結前人幾何學知識的基礎上，加上自己的創造性成果，開創了一門新的幾何學，人們稱之為歐氏幾何學。歐氏幾何學的?顯著特點是把人們已公認的定義、定理和假設用演繹的方法展開為幾何命題。從此，幾何走上了獨立發展的道路。

歐氏幾何學的集大成著作是《幾何原本》。在這本書中，歐幾里得集中闡述了自己的幾何思想。《幾何原本》共13卷，每卷（或幾卷一起）都以定義開頭。第一卷首先給出23個定義，如“點是沒有面積的”“線只有長度沒有寬度”等。同時也給出平面、直角、銳角、鈍角、平行線等定義，然后則是5個假設。作者先做出如下假設：（1）從某一點向另一點作直線；（2）將一條線無限延長；（3）以任意中心和半徑作圓；（4）所有的直角都相等；（5）若一直線與兩直線相交，使同旁內角小于兩直角，則兩直線若延長，一定在小于兩直角的兩內角的一側相交（此后的許多學者都試著證明這一假設，卻沒能成功，這引發了非歐幾何學的創立）。5個假設之后是5條公理，它們共同構成了《幾何原本》的基礎。

《幾何原本》前6卷為平面幾何部分，第一卷內容有關點、直線、三角形、正方形和平行四邊形。其中包括著名的“驢橋”命題，即“等腰三角形兩底角相等，兩底角的外角邊相等”；面積貼合問題：“在一已知直線（段）上以已知角貼合一平行四邊形等于一已知三角形”；著名的畢達哥拉斯定理：“直角三角形斜邊上的正方形的面積等于直角邊上的兩個正方形的面積之和。”

非歐幾何簡介

第二卷在定義了馨折形之后，給出14個命題，作為第一卷中有關面積變換問題命題的延續。如果把幾何語言轉換為代數語言，這一卷當中的第5、6、11、14命題就相當于求解如下二次方程：ax²-x²=b²、ax+x²=b²、x²+ax=a²和x²=ab。

第三卷包含37個命題，論述了圓本身的特點，圓的相交問題及相切問題，還有弦和圓周角的一些定理。

第四卷，全都用來描述圓的問題，如圓的內接與外切，還附有圓內接正多邊形的作圖方法。

第五卷發展了一般比例論，第六卷是把第五卷的結論應用于解決相似圖形的問題。第七、八、九卷是算術部分、講數論，分別有39、27、36個命題。第十卷包含115個命題，列舉了可表述成a±b的線段的各種可能形式，最后三卷致力于立體幾何。《幾何原本》的許多結論由僅有的幾個定義、公設、公理推出。它的公理體系是演繹數學成熟的標志，為以后數學的發展指明了方向。歐幾里得使公理化成為現代數學的根本特征之一，他不愧為幾何學的一代宗師。