1.2.1　數制的概念

1.數制

數制又稱計數法，是人們用一組統一規定的符號和規則來表示數的方法。計數法通常使用的是進位計數制，即按進位的規則進行計數。在進位計數制中有“基數”和“位權”兩個基本概念。

基數是進位計數制中所用的數字符號的個數，基數的若干次冪稱為位權。

在進位計數制中，使用數符的組合形成多位數，按基數來進位、借位，用權值來計數。一個多位數可以表示為：

式中，i為某一位的位序號；Ai為i位上的一個數符，0≤Ai≤R-1，如十進制有0、1、2…8、9共10個數符；R為基數，將基數為R的數稱為R進制數，如十進制的R為10；m為小數部分最低位序號；n為整數部分最高位序號（整數部分的實際位序號是從0開始，因此整數部分為n+1位）。

式（1-1）將一個數表示為多項式，也稱為數的多項式表示。例如，十進制數786，它可以根據式（1-1）表示為786=7×102+8×101+6×100，等式的左邊為順序計數，右邊則為按式（1-1）的多項式表示。實際上把任何進制的數按式（1-1）展開求和就得到了它對應的十進制數，所以式（1-1）也是不同進制數之間相互轉換的基礎。

由此，可以將進位計數制的基本特點歸納為：

①一個R進制的數有R個數符。

②最小的數符為0，最大的數符為R-1。

③計數規則為“逢R進1，借1當R”。

2.常用數制

在日常生活中，人們通常使用十進制數，但實際上存在著多種進位計數制，如二進制（2只手為1雙手）、十二進制（12個信封為1打信封）、十六進制（成語“半斤八兩”，中國古代計重體制，1斤=16兩）、二十四進制（1天有24h）、六十進制（60s為1min，60min為1h）等。在計算機內部，一切信息的存儲、處理與傳輸均采用二進制的形式，但由于二進制數的閱讀和書寫很不方便，因此在閱讀和書寫時又通常采用八進制數和十六進制數來表示。表1-2-1列出了常用的進位計數制。

3.計算機采用二進制的原因

人們日常使用的是十進制，但是由于技術上的原因，計算機內部一律采用二進制表示數據和信息，選擇二進制的主要原因是：

（1）二進制容易被物理器件所實現

例如，開關的兩個狀態（ON/OFF）可以用來表示二進制兩個數符0和1，一個二極管的截止和導通也能夠與二進制狀態對應。

（2）二進制數可靠性高

兩種狀態表示二進制兩個數符，數字傳輸和處理不容易出錯，電路工作可靠，抗干擾能力強。

（3）二進制運算規則簡單

例如，二進制的加法法則只有3個，乘法法則也只有3個，簡化了計算機內部器件的電路，提高了機器運算的速度。

（4）二進制邏輯性強

計算機工作原理是建立在邏輯運算基礎上的，邏輯代數是邏輯運算的理論依據。二進制只有兩個數符0和1，正好代表邏輯代數中的“真”和“假”。