1.2.2　各種數(shù)制的轉(zhuǎn)換

由于計算機內(nèi)部使用二進制，要讓計算機處理十進制數(shù)，必須先將其轉(zhuǎn)化為二進制數(shù)才能被計算機所接受，而計算機處理的結(jié)果又需還原為人們所習慣的十進制數(shù)。

1.二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)

二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的方法就是將二進制數(shù)的每一位數(shù)按權(quán)系數(shù)展開，然后相加。即將二進制數(shù)按式（1-1）展開，然后進行相加，所得結(jié)果就是等值的十進制數(shù)。

【例1-3】把二進制數(shù)1101.01轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。

（1101.01）2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

=8+4+0+1+0+0.25

=（13.25）10

2.十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)

將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)是進制轉(zhuǎn)換間比較復雜的一種，也是與其他進制轉(zhuǎn)換的基礎。這里把整數(shù)和小數(shù)轉(zhuǎn)換分開討論。

（1）整數(shù)的轉(zhuǎn)換

十進制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制整數(shù)的方法為除基取余法，即將被轉(zhuǎn)換的十進制數(shù)用2連續(xù)整除，直至最后的余數(shù)為0或1，然后將每次所得到的商按相除過程反向排列，結(jié)果就是對應的二進制數(shù)。

【例1-4】將十進制數(shù)173轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。

將173用2進行連續(xù)整除：

所以，（173）10=（10101101）2。

（2）小數(shù)的轉(zhuǎn)換

十進制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制小數(shù)的方法為乘基取整法，即將十進制數(shù)連續(xù)乘2得到進位，按先后順序排列進位就得到轉(zhuǎn)換后的小數(shù)。

【例1-5】將十進制小數(shù)0.8125轉(zhuǎn)換為相應的二進制數(shù)。

余數(shù)為0，轉(zhuǎn)換結(jié)束。所以，（0.8125）10=（0.1101）2。

3.二進制數(shù)與八進制數(shù)的轉(zhuǎn)換

（1）二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)

因為二進制數(shù)和八進制數(shù)之間的關系正好是2的3次冪，所以二進制數(shù)與八進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換只要按位展開就可以了。

【例1-6】將二進制數(shù)110100101.001011轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)。

以小數(shù)點為界，分別將3位二進制對應1位八進制如下：

所以，（110100101.001011）2=（645.13）8。

注意：從小數(shù)點開始，往左為整數(shù)，最高位不足3位的，可以在前面補零；往右為小數(shù)，最低位不足3位的，必須在最低位后面補0。

（2）八進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)

先將需要轉(zhuǎn)換的八進制數(shù)從小數(shù)點開始，分別向左和向右按每1位八進制對應3位二進制展開即得到對應的二進制數(shù)。

【例1-7】將八進制數(shù)357.264轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。

（357.264）8=（011101111.010110100）2

轉(zhuǎn)換后的二進制最高位和最低位無效的0可以省略。

4.二進制數(shù)和十六進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

（1）二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)

轉(zhuǎn)換方法與前面所介紹的二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)類似，唯一的區(qū)別是4位二進制對應1位十六進制，而且十六進制除了0～9這10個數(shù)符外，還用A～F表示它另外的6個數(shù)符。

【例1-8】將二進制數(shù)11000111.00101轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)。

從小數(shù)點開始，往左為整數(shù)，最高位不足4位的，可以在前面補零；往右為小數(shù)，最低位不足4位的，必須在最低位后面補0。所以，（11000111.00101）2=（0C7.28）16。

注意：在給出十六進制數(shù)的前面加上“0”是因為這個十六進制數(shù)的最高位為字符C，用0作為前綴以示與字母區(qū)別。

（2）十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)

先將需要轉(zhuǎn)換的十六進制數(shù)從小數(shù)點開始，分別向左和向右按每1位十六進制對應4位二進制展開即得到對應的二進制數(shù)。

【例1-9】將十六進制數(shù)5DF.6A轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。

（5DF.6A）16=（010111011111.01101010）2

轉(zhuǎn)換后的二進制最高位和最低位無效的0可以省略。

5.十進制數(shù)與八進制數(shù)、十六進制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換

表1-3列出了常用進制之間的轉(zhuǎn)換。只要按式（1-1）所給出的表達關系，就可以用數(shù)學方法證明并得到相應的轉(zhuǎn)換方法。通常，十進制和八進制及十六進制之間的轉(zhuǎn)換不需要直接進行，可用二進制作為中間量進行相互轉(zhuǎn)換。如要將一個十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為相應的十六進制數(shù)，可以先將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，然后直接根據(jù)二進制數(shù)寫出對應的十六進制數(shù)，反之亦然。