1.2.1　數制

1.數制的概念

數制又稱進位計數制，是指用統一的符號規則來表示數值的方法，它有3個基本術語：

①數符：用不同的數字符號來表示一種數制的數值，這些數字符號稱為“數符”。

②基數：數制所允許使用的數符個數稱為“基數”。

③權值：某數制中每一位所對應的單位值稱為“權值”，或稱“位權值”，簡稱“權”。

在進位計數制中，使用數符的組合形成多位數，按基數來進位、借位，用權值來計數。一個多位數可以表示為

式中，i為某一位的位序號；Ai為i位上的一個數符，0≤Ai≤R-1，如十進制有0、1、2……8、9共10個數符；R為基數，將基數為R的數稱為R進制數，如十進制的R為10；m為小數部分最低位序號；n為整數部分最高位序號（整數部分的實際位序號是從0開始，因此整數部分為n+1位）。

式（1-1）將一個數表示為多項式，也稱為數的多項式表示。例如，十進制數786，它可以根據式（1-1）表示為786=7×102+8×101+6×100，等式的左邊為順序計數，右邊則為按式（1-1）的多項式表示。實際上把任何進制的數按式（1-1）展開求和就得到了它對應的十進制數，所以式（1-1）也是不同進制數之間相互轉換的基礎。

由此，可以將進位計數制的基本特點歸納為：

①一個R進制的數有R個數符。

②最小的數符為0，最大的數符為R-1。

③計數規則為“逢R進1，借1當R”。

2.常用數制

在日常生活中，人們通常使用十進制數，但實際上存在著多種進位計數制，如二進制（2只手為1雙手）、十二進制（12個信封為1打信封）、十六進制（成語“半斤八兩”，中國古代計重體制，1斤=16兩）、二十四進制（1天有24小時）、六十進制（60秒為1分鐘，60分鐘為1小時）等。在計算機內部，一切信息的存儲、處理與傳輸均采用二進制的形式，但由于二進制數的閱讀和書寫很不方便，因此在閱讀和書寫時又通常采用八進制數和十六進制數來表示。表1-2列出了常用的進位計數制。

（1）十進制

十進制（Decimal System）有0～9共10個數符，基數為10，權系數為10i（i為整數），計數規則為“逢10進1，借1當10”。對十進制的特點我們非常熟悉，因此不再詳細介紹。

（2）二進制

二進制（Binary System）是計算機內部采用的數制。二進制有兩個數符0和1，基數為2，權系數為2i（i為整數），計數規則為“逢2進1，借1當2”。一個二進制數可以使用式（1-1）展開，例如：

（10101101）2=1×27+0×26+1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20

（3）八進制

八進制（Octal System）有8個數符，分別用0、1、2、3、4、5、6、7共8個數符表示，基數為8，權系數為8i（i為整數），計數規則是“逢8進1，借1當8”。由于8=23，因此1位八進制數對應于3位二進制數。一個八進制數可以使用式（1-1）展開，例如：

（753.64）8=7×82+5×81+3×80+6×8-1+4×8-2

（4）十六進制

十六進制（Hexadecimal System）有16個數符，分別用0、1……9、A、B、C、D、E、F表示，其中A、B、C、D、E、F分別對應十進制的10、11、12、13、14、15。十六進制的基數為16，權系數為16i（i為整數），計數規則是“逢16進1，借1當16”。由于16=24，因此1位十六進制數對應于4位二進制數。一個十六進制數可以使用式（1-1）展開，例如：

（3EC.B9）16=3×162+14×161+12×160+11×16-1+9×16-2

注意：為了區分不同進制的數，我們在數字（外加括號）的右下角加腳注10、2、8、16分別表示十進制、二進制、八進制和十六進制?；驅、B、O、H4個字母放在數的末尾以區分上述4種進制。例如，256D或256表示十進制數，1001B表示二進制數，427O表示八進制數，4B7FH表示十六進制數。

3.計算機采用二進制的原因

人們日常使用的是十進制，但是由于技術上的原因，計算機內部一律采用二進制表示數據和信息，選擇二進制的主要原因是：

（1）二進制容易被物理器件所實現

例如，開關的兩個狀態（ON/OFF）可以用來表示二進制兩個數符0和1，一個二極管的截止和導通也能夠與二進制狀態對應。

（2）二進制數可靠性高

兩種狀態表示二進制兩個數符，數字傳輸和處理不容易出錯，電路工作可靠，抗干擾能力強。

（3）二進制運算規則簡單

例如，二進制的加法法則只有3個，乘法法則也只有3個，簡化了計算機內部器件的電路，提高了機器運算的速度。

（4）二進制邏輯性強

計算機工作原理是建立在邏輯運算基礎上的，邏輯代數是邏輯運算的理論依據。二進制只有兩個數符0和1，正好代表邏輯代數中的“真”和“假”。

4.二進制的運算規則

二進制運算有算術運算、邏輯運算和移位運算等，這里主要介紹加法、乘法和邏輯運算。

（1）加法運算規則

0+0=0，0+1=1，1+1=10

注意：1+1=10，等號右邊10中的1是進位。

（2）乘法運算規則

0×0=0，0×1=0，1×1=1

【例1-1】計算10110101+10011010的值。

【例1-2】計算1101×110的值。

（3）邏輯運算規則

二進制數1和0在邏輯上可以代表“真”與“假”、“是”與“否”、“有”與“無”。這種具有邏輯屬性的變量稱為邏輯變量。計算機的邏輯運算和算術運算的主要區別是：邏輯運算是按位進行的，位與位之間不像加減運算那樣有進位或借位的聯系。邏輯運算主要包括3種基本運算：邏輯加法（又稱“或”運算）、邏輯乘法（又稱“與”運算）和邏輯否定（又稱“非”運算）。此外，“異或”運算也很有用。

①邏輯加法（“或”運算）。邏輯加法通常用符號“+”或“∨”來表示。邏輯加法運算規則如下：

0+0=00∨0=0；0+1=10∨1=1；1+0=11∨0=1；1+1=11∨1=1。

可以看出，邏輯加法有“或”的意義。也就是說，在給定的邏輯變量中，A或B只要有一個為1，其邏輯加的結果為1；兩者都為1則邏輯加的結果為1。

②邏輯乘法（“與”運算）。邏輯乘法通常用符號“×”或“∧”或“·”來表示。邏輯乘法運算規則如下：

0×0=00∧0=00·0=0；0×1=00∧1=00·1=0；

1×0=01∧0=01·0=0；1×1=11∧1=11·1=1。

不難看出，邏輯乘法有“與”的意義。它表示只當參與運算的邏輯變量都同時取值為1時，其邏輯乘積才等于1。

③邏輯否定（非運算）。邏輯非運算又稱邏輯否運算。其運算規則為：

④異或邏輯運算（半加運算）。異或運算通常用符號“⊕”表示，其運算規則為：

0⊕0=00同0異或，結果為00⊕1=10同1異或，結果為1

1⊕0=11同0異或，結果為11⊕1=01同1異或，結果為0

即兩個邏輯變量相異，輸出才為1。