1.1.3 初等函數
1.基本初等函數
冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數這五類函數統稱為基本初等函數.常數和基本初等函數經過有限次四則運算構成的函數統稱為簡單初等函數.
為了方便學習、掌握和查找，將基本初等函數歸納總結如下：
（1）冪函數y=xα（α為任意常數）定義域、奇偶性、單調性因α而異；當α>0時，在[0，+∞）上單調遞增；當α<0時，在（0，+∞）上單調遞減，其圖像如圖1-4所示.
（2）指數函數y=ax（a>0，且a≠1）定義域為（-∞，+∞），值域為（0，+∞）；當0<a<1時，單調遞減；當a>1時，單調遞增，其圖像如圖1-5所示.
圖 1-4
圖 1-5
（3）對數函數y=logax（a>0，且a≠1）定義域為（0，+∞），值域為（-∞，+∞）；當0<a<1時，在（0，+∞）上單調遞減；當a>1時，在（0，+∞）上單調遞增，其圖像如圖1-6所示.
（4）正弦函數y=sinx為奇函數；有界；周期T=2π；其圖像如圖1-7所示.定義域為（-∞，+∞），值域為[-1，1]；在
內單調遞增；在
內單調遞減，其圖像如圖1-7所示.
圖 1-6
圖 1-7
（5）余弦函數y=cosx為偶函數；有界；周期T=2π；定義域為（-∞，+∞），值域為[-1，1]；在（2kπ+π，2kπ+2π）內單調遞增；在（2kπ，2kπ+π）內單調遞減，其圖像如圖1-8所示.
（6）正切函數y=tanx為奇函數；周期T=π；定義域為
，值域為（-∞，+∞）；x∈
時單調遞增，其圖像如圖1-9所示.
圖 1-8
圖 1-9
（7）余切函數y=cotx為奇函數；周期T=π；定義域為（kπ，kπ+π），值域為（-∞，+∞）；x∈（kπ，kπ+π）時單調遞減，其圖像如圖1-10所示.
（8）反正弦函數y=arcsinx為有界函數；奇函數；定義域為[-1，1]，值域為
；在[-1，1]內單調遞增，其圖像如圖1-11所示.
（9）反余弦函數y=arccosx為有界函數；非奇非偶函數；定義域為[-1，1]，值域為[0，π]；在[-1，1]內單調遞減，其圖像如圖1-12所示.
圖 1-10
圖 1-11
圖 1-12
（10）反正切函數y=arctanx為有界函數；奇函數；定義域為（-∞，+∞），值域為
；在（-∞，+∞）內單調遞增，其圖像如圖1-13所示.
（11）反余切函數y=arccotx
有界函數；非奇非偶函數；定義域為（-∞，+∞），值域為（0，π）；在（-∞，+∞）內單調遞減，其圖像如圖1-14所示.
2.常用的三角函數公式和歐拉公式
在學習高等數學知識的時候，常常用到如下公式，為了運用方便，部分公式總結如下：
圖 1-13
圖 1-14
（1）恒等關系
sin2x+cos2x=1；sec2x-tan2x=1；csc2x-cot2x=1；
；
；
；
；
.
（2）二倍角公式
sin2x=2sinxcosx；cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x；
.
（3）和差化積公式
（4）積化和差公式
（5）歐拉公式
eiθ=cosθ+isinθ.
3.復合函數
函數
都不是基本初等函數，這類函數是由兩個或兩個以上的簡單函數構成的，稱為復合函數，下面給出其定義.
定義5 設函數y=f（u）的定義域為M2，而u=φ（x）定義域為D、值域為M1，且u=φ（x）的值域是y=f（u）的定義域的子集，即M1?M2，則y通過變量u的作用成為x的函數稱為由y=f（u）和u=φ（x）的復合函數，記為
y=f（φ（x）），
其中，x為自變量，u稱為中間變量.
例15 （1）求函數y=u2，u=arccosx構成的復合函數；
（2）判斷函數y=arcsinu，
能否構成復合函數.
解 （1）將u=arccosx代入y=u2中，即為所求的復合函數
y=arccos2x，
其定義域為[-1，1].
（2）由于函數
的值域為[2，+∞），不是函數y=arcsinu的定義域[-1，1]的子集，所以不能構成復合函數，即函數
無意義.
例16 設f（x）=x2+6，
，求f（φ（x）），φ（f（x））.
解
,
.
例17 指出下列函數由哪些簡單函數復合而成.
（1）y=（6x-5）10；（2
；
（3）y=arctan3（2x+1）；（4）
.
解 （1）由y=u10，u=6x-5復合而成；
（2）由
，u=tanv，
復合而成；
（3）由y=u3，u=arctanv，v=2x+1復合而成；
（4）由y=eu，u=sinv，
，t=x+1復合而成.
發現：（1）不是任何兩個函數都能夠復合成一個復合函數；
（2）復合函數的分解應由外往里，逐層分解.
4.初等函數
定義6 由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合所構成并可用一個式子表示的函數，統稱為初等函數.
例如，
，
都是初等函數，
發現：初等函數由常數和基本初等函數構成，構成方法是四則運算或有限次的復合，最終要能用一個式子表示.
例如，
y=1+x2+x3+…就不是初等函數.