1.1.2　函數的概念

1.函數的定義

定義3　設D，B為兩個非空實數集合，若對于數集D中的任意一個數值x，按照某個對應法則f，在B中都有唯一確定的數值y與之對應，則稱這個對應法則f是定義在集合D上x的函數，記為：

y=f（x），x∈D，

其中，x稱為自變量，y稱為函數（或因變量），自變量的取值范圍D稱為函數的定義域.

若對于確定的x0∈D，通過對應法則f，函數y有唯一確定的值y0與之相對應，則稱y0為y=f（x）在x0處的函數值，記作

全體函數值所構成的集合C={y|y=f（x），x∈D}稱為函數y=f（x）的值域.

例3　設函數f（x）=2x4+x2-3，求f（2），f（t2），.

解　f（2）=2×24+22-3=33；

f（t2）=2（t2）4+（t2）2-3=2t8+t4-3；

例4　求下列函數的定義域.

解　（1）由，解得x≠0，且x>-1，即該函數的定義域為（-1，0）∪（0，+∞）；

（2）要使有意義，則有4-x2≥0；要使lg（x-1）有意義，則有x-1>0，即，即該函數的定義域為（1，2].

（3）當時，即x∈[-4，5）時，該函數有意義，所以該函數的定義域為x∈[-4，5）.

例5　判斷下列函數是否為相同函數.

（1）y=，y=x；　　（2）y=2lnx，y=lnx2.

解　（1）相同；

（2）不同，定義域不同.

例6　設，求f（x）.

解　令x+3=t，則x=t-3，代入得

所以

發現：從上述例題可以看出：

（1）確定函數的兩個要素是定義域和對應法則.也就是說，在兩個函數中，只有它們的定義域和對應法則完全相同，它們才表示同一個函數，與變量用什么字母表示無關.

（2）函數由解析式表示的，其定義域是使解析式有意義的一切自變量的值的集合，其原則為：分式中分母不為零；偶次根式內的函數非負；對數中真數大于零；三角函數和反三角函數等按其本身的定義要求去求即可.

還要清晰如下函數的概念：

顯函數：由解析式y=f（x）直接表示出來的函數.如：y=x2.

隱函數：自變量x與因變量y的對應關系由方程F（x，y）=0來確定的函數.如：xy-ex+ey=0.

分段函數：在定義域的不同范圍內，具有不同的表達式的函數.分段函數的定義域是各段定義域的并集.

例7　符號函數是個分段函數，它的定義域D=（-∞，+∞），值域W={-1，0，1}，其圖像如圖1-2所示.

例8　絕對值函數

定義域D=（-∞，+∞），值域W=[0，+∞），其圖像如圖1-3所示.

例9　設函數寫出函數的定義域，求出f（2），f（0），f（-2）.

解　該函數的定義域為D=（-∞，0）∪{0}∪（0，+∞）=R.

f（2）=2-ln2，f（0）=0，f（-2）=（-2）2+1=5.

實際問題的函數定義域要根據實際意義來判斷.為了了解函數概念在現實生活中的應用，下面列舉兩個實例.

例10　設旅客乘坐火車可以免費攜帶不超過20kg的物品，超過20kg而不超過50kg的部分每千克交費a元，超過50kg的部分每千克交費b元，求運費與攜帶物品重量的關系.

解　依題意，得.

例11（成本、利潤問題）　設某企業生產的最大能力為3000件產品，已知固定成本為6000元，每生產一個產品的所耗費用為200元，試求：

（1）總成本；

（2）當生產1000件產品時總成本和平均成本各是多少？如果每件產品銷售價格為500元，則總利潤是多少？

解　（1）設生產的產量用N表示，則生產N件產品的總費用為

C（N）=6000+200N（元）　N∈[0，3000].

（2）當生產1000件時，總費用為

C（1000）=6000+200×1000=206000（元）.

這時的平均成本為

如果每件產品銷售價格為500元，則總利潤是

L（1000）=500×1000-C（1000）=294000（元）.

2.反函數

定義4　設y=f（x）為定義在數集D上的函數，值域為M.若對于數集M中的每一個y值，數集D中都有唯一確定的一個數值x使f（x）=y，這就是說變量x是變量y的函數，則稱這個函數為函數y=f（x）的反函數，記為x=f-1（y）.習慣上，我們用x表示自變量，y表示函數，所以將函數y=f（x）的反函數表示為y=f-1（x）.此時，反函數的定義域為M，值域為D.

例12　求y=2x-1的反函數.

解　由y=2x-1中解出x得

寫成

所以y=2x-1的反函數為 ，其定義域和值域都是R.

發現：（1）x=f-1（y）與y=f-1（x）是相同函數，都是函數y=f（x）的反函數.互為反函數的函數y=f（x）與函數y=f-1（x）的圖像關于直線y=x對稱.

（2）求反函數的步驟：從y=f（x）中解出x，得x=f-1（y），然后按習慣表示成y=f-1（x），則y=f-1（x）就是y=f（x）的反函數.

例13　求y=sinx的反函數.

解　正弦函數y=sinx的定義域為R，值域為[-1，1].由于它是周期函數，所以它的反對應關系是多值的.例如，當時，對應的x的值有無窮多個，如：

為了建立反對應關系是單值的函數關系，規定正弦函數y=sinx在區間上的反對應關系所確定的函數為正弦函數y=sinx的反函數，今后稱為反正弦函數，表示成

y=arcsinx，

它的定義域為x∈[-1，1]，值域 .

發現：同理有

反余弦函數y=arccosx，定義域為x∈[-1，1]，值域y∈[0，π]；

反正切函數y=arctanx，定義域為x∈（-∞，+∞），值域 ；

反余切函數y=arccotx，定義域為x∈（-∞，+∞），值域y∈（0，π）.

要掌握反函數的概念，必須運用逆向思維方法.

例14　填空.

（1）arccos0=（　）；（2）arcsin（-1）=（　）；

（3）=（　）；（4）=（　）；

（5）arctan（-1）=（　）；（6）=（　）；

解　（1）；（2；

（3）；（4）；

（5）；（6）.

3.函數的基本性態

（1）函數的有界性

設函數y=f（x）在I上有定義，如果存在正數M，使得f（x）≤M對任意x∈I都成立，則稱函數f（x）在I上有界，也稱f（x）在I上是有界函數.如果這樣的M不存在，則稱函數f（x）在I上無界，即若對于任何正數M，總存在x1∈I，使f（x1）>M，則函數f（x）在I上無界.

例如，函數y=arcsinx在區間[-1，1]上有，所以函數y=arcsinx在區間[-1，1]內是有界的；而函數y=tanx在區間上是無界的.

發現：描述一個函數是有界的或無界的，一定要指出其相應的范圍.例如，函數y=tanx在區間 上是有界的，在區間 上是無界的.

（2）函數的單調性

設函數y=f（x）在區間（a，b）上有定義，任取x1，x2∈（a，b），若當x1<x2時，恒有f（x1）<f（x2），則稱f（x）在區間（a，b）上是單調遞增的，（a，b）稱為增區間；若當x1<x2時，恒有f（x1）>f（x2），則稱f（x）在區間（a，b）上是單調遞減的，（a，b）稱為減區間.

單調遞增函數和單調遞減函數統稱為單調函數，單調遞增區間和單調遞減區間稱為函數的單調區間.

單調遞增函數的圖像是沿x軸正向上升的曲線，單調遞減函數的圖像是沿x軸正向下降的曲線.

發現：描述一個函數是單調遞增或單調遞減的，一定要指出其相應的區間.例如，y=x2在（-∞，0）是單調遞減的，在（0，+∞）是單調遞增的，在（-∞，+∞）不具有一致的單調性.

（3）函數的奇偶性

設函數y=f（x）的定義域D關于原點對稱，若對于?x∈D，有f（-x）=f（x），則稱函數f（x）為偶函數；若有f（-x）=-f（x），則稱函數f（x）為奇函數.

偶函數的圖像關于y軸對稱，奇函數的圖像關于原點對稱.

（4）函數的周期性

設函數y=f（x）在D上有定義，若存在非零常數T，對于任意x∈D，且x+T∈D，有

f（x+T）=f（x）

恒成立，則稱y=f（x）為周期函數.T稱為f（x）的周期.

例如，正弦函數y=sinx、余弦函數y=cosx的周期都是2π，正切函數y=tanx、余切函數y=cotx的周期都是π.