1.1.1 絕對值、區(qū)間與鄰域
1.絕對值
定義1 實數a的絕對值規(guī)定為
絕對值的幾何意義：表示數軸上的點到原點的距離.
絕對值的性質：
（1）-|a|≤|a|≤|a|；
（2）|x|<ε?-ε<x<ε，|x|≤ε?-ε≤x≤ε（ε>0）；
（3）|x|>N?x>N或x<-N，|x|≥N?x≥N或x≤-N（N>0）.
設a，b為任意實數，則有如下運算規(guī)律：
（1）|ab|=|a|·|b|；
（2）
；
（3）|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
2.區(qū)間
數集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間，記作（a，b）.它在數軸上表示點a與點b之間的線段，但不包括端點a和b；
數集{x|a≤x≤b}稱為閉區(qū)間，記作[a，b].它在數軸上表示點a與點b之間的線段，包括端點a和b.
還有其他類型的區(qū)間，其中半開半閉區(qū)間有：
數集{x|a<x≤b}記作（a，b]；數集{x|a≤x<b}記作[a，b）.
無窮區(qū)間有：
數集{x|x>a}或{x|x≥a}記作（a，+∞）或[a，+∞）；數集{x|x<b}或{x|x≤b}記作（-∞，b）或（-∞，b].
數集{x|x為任意實數}記作（-∞，+∞）.
3.鄰域
定義2 數軸上以點a為中心，以任一正數δ為半徑的任何開區(qū)間（a-δ，a+δ）稱為以點a為中心以δ為半徑的鄰域，記作U（a，δ），即
U（a，δ）={x|a-δ<x<a+δ} 或 U（a，δ）={x|x-a<δ}.
領域的幾何意義：如圖1-1所示，表示與點a距離小于δ的一切點x的全體.
（a，δ）={x|0<|x-a|<δ}稱為點a的去心δ鄰域，即在鄰域U（a，δ）中除去點a.
圖 1-1
例1 將鄰域U（-1，3）表示成開區(qū)間.
解 鄰域U（-1，3）表示到點-1的距離小于3的一切點x的全體，即
|x-（-1）|<3，
去絕對值，得
-3<x+1<3，
即
-4<x<2，
表示成開區(qū)間為（-4，2）.
例2 將去心鄰域
（2，0.05）表示成開區(qū)間.
解 去心鄰域
（2，0.05）表示到點2的距離小于0.05且不包括點2的一切點x的全體，即
|x-2|<0.05，且x≠2，
去絕對值，得
-0.05<x-2<0.05，且x≠2，
即
1.95<x<2 或 2<x<2.05，
表示成區(qū)間為（1.95，2）∪（2，2.05）.