1.3.2　極限的運算法則

以下運算法則都可以運用極限定義解釋，方法均類似，這里不再敘述.

定理若兩個極限和都存在，則：

特別地，當(dāng)g（x）=c時，（其中c為常數(shù)）；

當(dāng)g（x）=f（x）時，；

一般地，如果存在，且n是正整數(shù)，則.

發(fā)現(xiàn)：定理中的（1），（2）可以推廣到有限個函數(shù)的情形.

利用極限的基本性質(zhì)和運算法則可以解決許多極限問題，下面請看一些具體的例子.

例1　計算極限.

解　由極限運算法則，得

例2　計算極限.

解　當(dāng)x→1時，分子、分母的極限都是零，不滿足極限運算法則的條件，且函數(shù)f（x）在點x0處的極限與函數(shù)在點x0處是否有定義無關(guān)，故可先通過分解因式化簡后求極限，得

發(fā)現(xiàn)：以下解法是錯誤的

因為分母的極限為零，不能直接運用極限法則，且此題分子、分母同時為零，一般稱此類極限為不定式或未定式 型，它的解法要依據(jù)題的特點不同而不同，請看例3.

例3　計算極限.

解　這是未定式，例2的方法不適用了.它可以通過“分子有理化”化簡，得

不定式或未定式除了型，還有型，請看例4

例4　計算極限.

解　當(dāng)x→∞時，分子、分母的極限都是不存在，但都共同趨近無窮大，不滿足極限運算法則的條件，不能直接運用極限法則，對于這類型未定式，可以將分子、分母同除以x3，再用極限法則求得.

發(fā)現(xiàn)： ，其特點：x→∞； ；a0≠0，b0≠0，n，m為正整數(shù)，則

可直接運用公式填空：

（1）=（　）；　（2）若，則C=（　）；

（3）=（　）；　（4）若，則k=（　）.

根據(jù)公式推得（1）0；（2）2；（3）∞；（4）10.

例5　計算極限.

解　當(dāng)x→-1時→∞，→∞，不能直接運用極限法則，對于此類極限∞-∞類型，需要先進行通分，再根據(jù)情況進行極限運算.

例6　計算極限.

解　此極限是先求數(shù)列前n項和，后再求當(dāng)n→∞時的極限，所以

綜上所述，運用極限四則運算法則時，必須注意只有各項極限存在（分母不為零）才能運用法則，否則必須先對函數(shù)進行恒等變形，如約分、通分、有理化、變量代換等，在具備了運用法則條件下，再求極限.