1.2.1　數制的概念

數制是用一組固定的數字和一套統一的規則來表示數值的方法。

按照進位方式計數的數制叫進位計數制。在采用進位計數制的數字系統中，如果用R個基本符號（例如0，1，2，…，R?1）表示數值，則稱其為R進制，R稱為該數制的基，構成該數的數字稱為數碼，一個數的每個位置上所代表的數值的大小稱為位權。位權的大小是以基數為底、數碼所在位置的序號為指數的整數次冪。整數部分最低位的位權是R0，次低位位置上的位權為R1；小數點后第1位的位權R-1，第2位的位權為R-2，依此類推。

各種常用數制以及它們的特點如表1-1所示。

提示

十進制D（decimal）、二進制B（binary）、八進制O（octal）、十六進制H（hexadecimal）。

【例1-1】十進制數1234.56可以展開為

（1234.56）10=1×103+2×102+3×101+4×100+5×10-1+6×10-2

其中，基為10，1、2、3、4、5、6為數碼，103、102、101、100、10-1、10-2為位權。

又如，二進制數（10101.101）2=1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3，基為2，1、0、1、0、1、1、0、1為數碼，24、23、22、21、20、2-1、2-2、2-3為位權。

德國數學家萊布尼茨（Leibniz）18世紀發明的二進制是對人類的一大貢獻。計算機中數據的存儲和處理均采用二進制，主要原因有以下4點：

1.電路簡單

計算機是由邏輯電路組成的，邏輯電路通常只有兩種狀態，例如開關的接通與斷開，晶體管的飽和與截止，電壓電平的高與低等，這兩種狀態正好用數碼0和1來表示。

2.工作可靠

代表兩種狀態的兩個數碼在數字傳輸和處理中不容易出錯，因而電路更加穩定可靠。

3.簡化運算

二進制數的運算法則少，運算簡單，使計算機運算器的硬件結構大大簡化（十進制的乘法運算法則有55種，而二進制乘法只有3種運算法則）。

4.邏輯性強

由于二進制0和1正好與邏輯代數的假（False）和真（True）相對應，應用邏輯代數的理論基礎支持用二進制表示二值邏輯。

二進制的書寫一般比較長，而且容易出錯。因此除了二進制外，為了便于書寫和記憶，還經常采用八進制和十六進制表示數據。二進制數、八進制數和十六進制數之間的對應關系如表1-2所示。