1.2.4　古典概型

定義4　若隨機試驗滿足以下兩個特征：

（1）試驗的樣本空間只含有限個樣本點，即S={e1，e2，…，en}；

（2）試驗中每個樣本點出現的可能性相同，即P（{e1}）=P（{e2}）=…=P（{en}）.

具有上述兩個特征的試驗稱為古典概型（或稱等可能概型）.

設試驗E是古典概型，由于樣本點之間兩兩互斥，因此

從而　　

若事件A含有k個基本事件，即，這里i1，i2，…，ik是1，2，…，n中某k個不同的數，則有

古典概型是概率論初期研究的主要對象，它概括了很多實際的隨機現象問題，在概率論中具有很重要的作用.不難驗證，古典概型滿足概率公理化定義中所要求的三個性質.在運用古典概型計算事件概率的時候，經常會涉及排列和組合的相關知識.

（1）加法原理　設完成一件事共有m種方式，其中第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法，……，第m種方式有nm種方法，無論通過哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm種方法；

（2）乘法原理　設完成一件事共有m個步驟，其中第一個步驟有n1種方法，第二個步驟有n2種方法，……，第m個步驟有nm種方法，完成該件事必須通過每一步驟才算完成，則完成這件事總共有n1×n2×…×nm種方法；

（3）排列公式　從n個不同的元素中任取k個不同元素的排列總數為

從n個不同的元素中有放回地任取k（k≤n）個元素的排列總數為nk；

（4）組合公式　從n個不同的元素中任取k個不同元素的組合總數為

例2　將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現的情況.

（1）設事件A1為“恰有一次出現正面”，求P（A1）；

（2）設事件A2為“第一次出現正面”，求P（A2）；

（3）設事件A3為“至少有一次出現正面”，求P（A3）.

解　S中包含有限個樣本點，且每個樣本點出現的可能性相同，屬于古典概型.

樣本空間S={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}，n=8；

（1）由于A1={HTT，THT，TTH}，所以；

（2）由于A2={HHH，HHT，HTH，HTT}，所以；

（3）由于A3={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH}，所以；

或由于，所以.

例3　設袋中裝有5只黑球3只白球，現分別按下列三種不同方式抽取其中2只球：

（1）第一次取1只球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取1只球（不放回抽取）；

（2）第一次取1只球觀察其顏色后放回袋中，第二次從袋中再取1只球（有放回抽取）；

（3）一次性任取袋中2只球.

設A=“所取2只球均為黑球”，求P（A）.

解　（1）不放回地抽取方式是元素不可以重復的排列問題.

8只球中不放回地抽取2只球的所有抽法為，事件A包含的抽法為，所以

（2）有放回地抽取方式是元素可以重復的排列問題.

8只球中有放回地抽取2只球的所有抽法為82=64，事件A包含的抽法為52=25，所以

（3）一次性任取方式是組合問題.

8只球中一次性任取2只球的所有抽法為，事件A包含的抽法為，所以

例4　設在箱中裝有100個產品，其中有3個次品，現從這箱產品中任意抽取5個產品：

（1）設事件A1為“恰有一個次品”，求P（A1）；

（2）設事件A2為“沒有次品”，求P（A2）；

（3）設事件A3為“至少有一個次品”，求P（A3）；

（4）設事件A4為“至多有一個次品”，求P（A4）.

解　100件產品中任意抽取5個產品的所有抽法為.

（1）由于事件A1包含的抽法為，所以；

（2）由于事件A2包含的抽法為，所以；

（3）由于事件A3包含的抽法為，所以

本題還可以利用逆事件的概率求解，由于事件A2和事件A3是互逆事件，所以

P（A3）=1-P（A2）=0.144；

（4）由于事件A4包含的抽法為，所以.

例5　將n只球隨機地放入N（N≥n）個盒子中，試求每一個盒子至多有1只球的概率.

解　設A=“每一個盒子中至多有1只球”.

將n只球放入N個盒子中，每1只球都可以放入N個盒子中的任何一個盒子，所以共有N·N·…·N=Nn種不同放法，而每一個盒子至多放入1只球的不同放入方法共有種，所以

在現實生活中有很多實際問題和本例具有相同的數學模型，例如，假設每個人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，那么隨機選取n（n≤365）個人，則他們的生日各不相同的概率為.因此，n個人中至少有兩人生日相同的概率為

經計算，當n=20時，p=0.411，當n=30時，p=0.706，當n=50時，p=0.970，當n=64時，p=0.997，當n=100時，p=0.999.可以看出，在50人左右的部門里，至少有兩人生日相同的事件概率與1相差無及，如作調查的話，幾乎是很大可能會出現的.

例6　從1～2000之間的整數中任取一個數，試求取到的整數既不能被6整除，又不能被8整除的概率.

解　設A=“取到的數能被6整除”，B=“取到的數能被8整除”，

C=“取到的數既不能被6整除，也不能被8整除”.則有，且

由于，因此，.

同理，可得.

由于，得到.所以