第35節　可還原性；構造

在前面第2節中我們曾借助關于命題“轉換”的不甚精確的概念對可還原性的概念作過說明。現在我們必須更精確地把握“轉換”的涵義；為此我們現在要借助于關于命題函項的外延相同性（或普遍等值）概念（第32節）。“僅僅關于對象a、b……”的命題或命題函項，我們是指其文字表達式中只有“a”、“b”……作為非邏輯符號出現的那些命題或命題函項；其中也可出現邏輯常項（第107節）和一般變項。如果每一僅僅關于對象a、b、c……的命題函項（其中也可能沒有b、c……）都相應有一個僅僅關于對象b、c……的外延相同的命題函項，那么我們就稱a“可還原”為b、c……因此我們可以簡略地說：如果關于某一對象的一切語句都可翻譯為僅僅談論其他一些對象的語句，那么我們就說這個對象“可還原”為其他一些對象。

下面這種情況是更簡單但更重要的，即在要被還原的一個對象的命題函項中只有這個對象而沒有其他對象出現。

例子：“x是一個素數”與“x是一個僅有1和其自身為除數的自然數”是外延相同的。因此素數這個對象（或概念）就還原為自然數、1、除數這些對象。

前面第2節中解釋過的構造概念現在也需要做更精確的規定。從其他概念來“構造”一個概念，意即根據其他概念來指明這個概念的“構造定義”。根據概念b、c對概念a所下的“構造定義”，我們是指一種翻譯規則，這種規則一般都指出每一包含a的命題函項如何能被轉換為一個其中只有b、c而a不復出現的外延相同的命題函項。在最簡單的情況下，這樣一種翻譯規則就是指導我們在凡是有a出現的地方就用一個只包含b，c的表達式來替換a（“顯”定義）。

如果一個概念可還原為其他一些概念，那么它原則上必可由這些概念構造出來。但是知道它的可還原性并不意味著就知道它的構造。因為為所有關于這個概念的命題提出一個普遍的轉換規則還是一個單獨的任務。

例子：分數可還原為自然數，是很容易看出的，關于某個分數的一個命題也可以很容易地被轉換為一個關于自然數的命題（參見第2節）。反之，構造分數2/7，亦即指出一個能據以將關于2/7的命題轉換為關于2和7的命題的普遍規則，則是比較困難的（參閱第40節）。懷特海和羅素解決了所有數學概念的構造問題（《數理原理》）；這樣他們就給出了一個數學概念的“構造系統”。