第34節　關系外延

帶有幾個主目位置的命題函項的外延，亦即關系（Beziehung）的外延，我們稱為“關系外延”（Relation）⁽⁶⁾。因而關系外延與類具有完全的形式的相似性，后者是僅有一個主目位置的命題函項即特性的外延。因為關系和類有這樣的相似性，有些東西無庸贅述而自明，所以我們對關系可以講得簡略一些。像類一樣，關系外延也是準對象。

外延相同的關系屬于同一種關系。滿足一個命題函項因而亦滿足與其外延相同的命題函項的二元組對象x，y（或三元組對象、四元組對象，等等），我們稱為與此命題函項相應的關系（如Q表示關系，則此命題函項為xQy）的關系項序偶（或有序三元組，等等）。一個命題函項的諸主目位置一般是不能互換的，因而一關系項序偶（或有序三元組，等等）的各個項也必須區別開來；在一關系項序偶（亦即兩項關系）中我們稱它們為前項和后項。由于主目位置的這種區分，關系才可能產生有序性；因而關系理論對于任何領域有序性的描述都具有重要的意義。

關系雖系準對象，但是為了使人們易于直觀地把握，我們的文字語言也采用一種表象代表它，似乎關系是介于兩個關系項之間的第三者。我們大都知道關系的這種實在化是一種形象的比喻的說法，因而沒有什么危險；通過這樣的實在化，我們的語言表達就成為明白生動的了。為了語言表達的簡單性，我們在這里遵循把關系符號作為對象名字使用的語言用法，但是為了強調其比喻的表達方式，我們又將其所指叫做準對象。

我們簡略地談一下初等關系理論的幾個主要概念。一個關系（例如Q）的可能的前項的類，我們稱為Q的“前域”（用符號表示為：D‘Q）；關系Q的可能的后項的類，我們稱為Q的“后域”（用符號表示為：D‘Q）。如果前域和后域是領域同源的，那么我們就稱此關系為“同質的”；在這種情況下，前域和后域就有一種結合，即Q的“域”（C‘Q）。適用于所有反方向Q序偶的關系，我們稱為Q的“逆反”）。假如aPb和bQc都成立，那么a和c就有一種被稱為P和Q之“鏈”（或“關系積”）的關系（P|Q）。“關系冪”：R²表示R|R，R³表示R²|R，等等；R_po表示冪的結合（“冪關系”或“鏈”）；R⁰表示R域中的同一性。

對稱、自反、傳遞、連通等概念在前面（第11節）已經作過解釋。一個關系，其各個后項只有一個前項，我們稱之為“一多關系”；反之，其各個前項只有一個后項，則稱為“多一關系”；如果符合這兩個條件，則稱為“一一對應的”。

如果一個關系R安排關系P的諸項與關系Q的諸項一一對應，使得每個P序偶總有一個Q序偶與之相應，反之亦然，那么我們就稱關系R為關系P和Q的“相關者”。如果P和Q有這樣一個相關者，我們就稱P和Q為“同構的”。這和我們在前面（第11節）借助箭頭的比喻為同構性所下的直觀的定義是一致的。一個關系P的“結構”或“關系數”應當確切地定義為與P同構的關系的類（參閱第40節對基數所下的與此類似的定義）。