第32節　命題函項的外延

兩個命題函項如果有下面這樣的關系，即每個滿足此一函項的對象（或二元組對象、三元組對象，等等）也都滿足另一函項，我們就說前一個函項“普遍蘊涵”后一個函項。兩個命題函項如果有普遍蘊涵關系，我們就稱它們為“普遍等值”或“外延相同”。因此，外延相同的命題函項被完全相同的主目所滿足。如果我們賦予外延相同的命題函項以相同的符號，并且此后只用這些新符號，而不再使用命題函項本身原有的符號，那么我們顯然就把外延相同的諸命題函項中一切不同之點撇開了，而僅僅把握其一致的地方。我們把這種方法稱為“外延的方法”；外延相同的諸命題函項所用的一致的符號，我們稱為“外延符號”。它們沒有獨立的意義，只有在我們對所有要使用它們的語句形式中指出如何能把這些語句轉換為不再包含外延符號的語句，才有理由使用它們；在把這些符號反譯回來時，它們就被相當的命題函項本身所取代了（更確切地說，每個外延符號都由任何一個被賦予這個符號的彼此外延相同的命題函項所取代）。外延符號沒有獨立的意義，因而也是（比命題函項更高程度上的）不飽和符號，但是我們根據通常語言上的習慣用法談論它們，仿佛確有其所指的對象；這些對象我們就稱為“外延”。因而外延是準對象。例如，我們說兩個外延相同的命題函項有同一外延（因而才有“外延相同”一詞），因為它們被賦予同一外延符號。而且，如果兩個命題函項有這樣的關系，即每個滿足此一函項的對象（或二元組對象、三元組對象，等等）也滿足另一函項，那么我們就不難看出，如果這兩個命題函項中一個函項是被另一個外延相同的函項所替換，則兩者也就發生了普遍蘊涵的關系。因此我們可以借助外延符號來表達這個關系；兩個外延符號之間的?符號被定義為意指有關的命題函項間的普遍蘊涵。如果我們又采用把外延符號對象化的習慣用法，我們就可以說，假如語句“a?b”是正確的，則“（外延）a被（外延）b所包含”，兩個外延間的這種關系我們稱為“包含”或“包攝”。

給定一個命題函項，我們就用符號來表示其外延，方法是將冠以重音符號∧的變項置于用括號括起來的命題函項表達式之前：我們在下面討論兩類外延即類和關系時，將舉例說明之。