第三節 直線及其方程

［課前導讀］

在平面解析幾何中，把平面曲線看作動點的軌跡，從而得到軌跡方程——曲線方程的概念．同樣，在空間解析幾何中，任何曲線都可以看作滿足一定幾何條件的動點的軌跡，動點的軌跡用方程組來表示，就得到曲線方程的概念.

空間直線是最簡單的空間曲線．在本節中我們將以向量為工具討論空間直線.

一、空間直線一般方程

任一空間直線L都可以看作是兩個相交平面的交線（見圖5-40）．若平面Π1的方程為A1x+B1y+C1z+D1=0，平面Π2的方程為A2x+B2y+C2z+D2=0，則方程組

表示空間直線L的方程，稱為空間直線的一般方程.

例1　（1）求過點（－3，2，5），且分別與平面2x－y－5z=1和x－4z=3平行的平面Π1與Π2的方程.

（2）求平面Π1與Π2的交線方程.

解　（1）先求過點（－3，2，5）且與已知平面平行的平面.

平面Π1的法向量可取為n1=（2，－1，-5），故過點（－3，2，5）且以n1為法向量的平面方程為

Π1：2（x+3）－（y－2）－5（z－5）=0.

平面Π2的法向量可取為n2=（1，0，－4），故過點（－3，2，5）且以n2為法向量的平面方程為

Π2：（x+3）－4（z－5）=0.

即Π1：2x－y－5z+33=0，Π2：x－4z+23=0.

（2）所求直線的一般方程為

二、對稱式方程及參數方程

由立體幾何知道，過空間一點作平行于已知直線的直線是唯一的．因此，如果知道直線上一點及與直線平行的某一向量，那么該直線的位置也就完全確定．現在根據這個幾何條件來建立直線的方程.

如果一個非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為該直線的方向向量．直線上的任何一個向量都平行于方向向量．顯然，一條直線的方向向量有無窮多個，它們之間互相平行.

由于過空間一點可作且只能作一條直線平行于已知向量，故給定直線上的一點M0（x0，y0，z0）及一個方向向量s=（m，n，p），直線的位置就完全確定了（見圖5-41）．如果M（x，y，z）為直線l上任意一點，則，即有

式（2）是含有未知數x、y、z的方程組．從上面推導可知，直線l上任意一點M（x，y，z）的坐標滿足式（2）．反之，如果點M（x，y，z）不在直線上，那么向量與s就不平行，于是點M（x，y，z）的坐標就不會滿足式（2）．由此可知此式即為直線l的方程，稱為直線的對稱式方程，也稱點向式方程．這里s=（m，n，p）的三個坐標m、n、p就稱為方向數，而s的方向余弦就叫作該直線的方向余弦.

若設，則有直線的參數方程

注　在式（2）中，若有個別分母為零，應理解為相應的分子也為零．例如，m=0（n≠0，p≠0），即式（2）為

時，上式應理解為

例2　用點向式方程或參數方程表示直線

解　令x0=1，代入方程得

解得y=0，z=－2，即得到該直線上的一點M0（1，0，－2），由于直線的方向向量s與相交平面的法向量n1=（1，1，1），n2=（2，－1，3）都垂直，故可取

因此直線的點向式方程為

直線的參數方程為

例3　求過點A（1，0，1）和B（－2，1，1）的直線方程.

解　向量=（－3，1，0）是所求直線的一個方向向量，因此所求直線方程為

三、直線與平面的關系

1. 兩直線的夾角

兩直線的方向向量之間的夾角（通常取小于等于90°的角）稱為兩直線的夾角，即或兩者中小于等于90°的角.

設，其中s1=（m1，n1，p1），M1（x1，y1，z1）∈ l1，

，其中s2=（m2，n2，p2），M2（x2，y2，z2）∈ l2，

則

當l1⊥l2時（見圖5-42），應有

m1m2+n1n2+p1p2=0.

當l1//l2時（見圖5-43），應有

例4　求直線和直線的夾角.

解　已知直線l1的方向向量s1=（1，－4，1），直線l2的方向向量s2=（2，－2，－1），則

故.

例5　求過點（－3，2，5）且與兩平面x－4z=3和2x－y－5z=1的交線平行的直線方程.

解　設所求直線的方向向量為s=（m，n，p），平面x-4z=3的法向量為n1=（1，0，-4），平面2x-y-5z=1的法向量為n2=（2，-1，-5），根據題意知s⊥n1，s⊥n2，取

故所求直線的方程為

例6　求過點M（2，1，3）且與直線垂直相交的直線方程.

解　先作一過點M且與已知直線垂直的平面Π，即

3（x－2）+2（y－1）－（z－3）=0.

再求已知直線與該平面的交點N.

令，則

代入平面方程得，交點，取所求直線的方向向量為，即

所求直線方程為

2. 直線與平面的夾角

直線l和它在平面π上的投影直線l1所構成的角稱為該直線與平面的夾角（見圖5-44），記為.

當直線與平面垂直時，規定.

設直線，s=（m，n，p），平面Π：Ax+By+Cz+D=0，n=（A，B，C），則，因此

當l//Π時，s⊥n，即有

Am+Bn+Cp=0.

當l⊥Π時，s//n，即有

例7　設直線，平面Π：x－y+2z=3，求直線L與平面Π的夾角φ.

解　平面Π的法向量n=（1，－1，2），直線L的法向量s=（2，－1，2），則

所以為所求夾角.

四、平面束

通過定直線的平面的全體稱為過該直線的平面束，有時候用平面束解題非常方便，現在我們來介紹它的方程.

設直線其中系數A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例，λ1，λ，μ為任意常數，則過該直線的平面束方程為

λ1（A1x+B1y+C1z+D1）+μ（A2x+B2y+C2z+D2）=0，　（3）

或

A1x+B1y+C1z+D1+λ（A2x+B2y+C2z+D2）=0.　（4）

注意：若式（3）中λ1≠0，則可將式（3）寫成式（4）；但式（4）中并不包括平面

A2x+B2y+C2z+D2=0.

例8　一平面過直線和點（1，1，－1），求該平面方程.

解　設過已知直線的平面束為

x+y－z+λ（x－y+z－1）=0，

又點（1，1，－1）滿足方程，即由1+1－（－1）+λ（1－1－1－1）=0，得，因此所求平面方程為

x+y－z+（x－y+z－1）=0，即5x－y+z－3=0.

例9　過直線作平面Π，使它垂直于平面Π1：x+2y+z=0.

解　設過直線L的平面束的方程為（x+2y－z－6）+λ（x－2y+z）=0，即

（1+λ）x+2（1－λ）y+（λ－1）z－6=0.

現要在上述平面束中找出一個平面Π，使它垂直于題設平面Π1，故平面Π的法向量nλ垂直于平面Π1的法向量n1=（1，2，1）．于是nλ·n1=0，即

（1+λ）+4（1－λ）+（λ－1）=0，

解得λ=2，故所求平面方程為

Π：3x－2y+z－6=0.

容易驗證，平面x－2y+z=0不是所求平面.

例10　在一切過直線的平面中找出平面Π，使原點到它的距離最長.

解　設通過直線l的平面束方程為（x+y+z+4）+λ（x+2y+z）=0，即

（1+λ）x+（1+2λ）y+（1+λ）z+4=0.

要使為最大，

即使（1+λ）2+（1+2λ）2+（1+λ）2=為最小，得，

故所求平面Π的方程為

x－y+z+12=0.

易知，原點到平面x+2y+z=0的距離為0，故平面x+2y+z=0非所求平面.

例11　一平面過直線，且與平面x－4y－8z+12=0成角，求該平面的方程.

解　設過已知直線的平面束為λ（x+5y+z）+μ（x－z+4）=0，即

（λ+μ）x+5λy+（λ－μ）z+4μ=0，

已知

即

或9λ2+12λμ=0，即λ（3λ+4μ）=0，得λ1=0，，因此所求平面為

x－z+4=0或x+20y+7z－12=0.

習題5-3

1. 求滿足下列條件的直線方程.

（1）過點（2，－1，4）且與直線平行；

（2）過點（2，－3，5）且與平面9x－4y+2z－1=0垂直；

（3）過點（3，4，－4）和（3，－2，2）.

2. 求過點（1，1，1）且同時與平面2x－y－3z=0和x+2y－5z=1平行的直線方程.

3. 用點向式方程及參數方程表示直線

4. 求過點（1，0，－2）且與平面3x+4y－z+6=0平行，又與直線垂直的直線方程.

5. 確定下列各組中的直線和平面間的位置關系.

（1）和4x－2y－2z=3；

（2）和3x－2y+7z=8；

（3）和x+y+z=3.

6. 求直線和平面x－y－z+1=0的夾角.

7. 求點（1，2，1）到平面x+2y+2z－10=0的距離.

8. 求直線在平面4x－y+z=1的投影直線方程.

9. 求過點M（3，1，－2）及直線的平面方程.

10. 求過直線且與平面x+4y－3z+7=0垂直的平面方程.

11. 已知直線過點A（2，－3，4）且和y軸垂直相交，求該直線方程.

12. 求過點（0，2，4）且與直線平行的直線.

13. 求點P0（2，3，1）在直線上的投影.

14. 求點P0（3，－1，－1）在平面Π：x+2y+3z－40=0上的投影.

15. 求過點A（1，0，－2），且與平面Π：3x－y+2z+3=0平行，并與直線相交的直線l的方程.

16. 分別求過直線且垂直于各坐標面的平面方程，并求直線l在平面3x+2y+z－10=0上的投影.

17. 過點M1（7，3，5）引方向余弦等于的直線l1，設直線l過點M0（2，－3，－1），與直線l1相交且和x軸成角，求直線l的方程.

18. 求通過點（2，1，3）且與直線垂直相交的直線方程.

19. 求證：兩直線在同一平面上的條件為

20. 一直線過點（1，2，1），又與直線相交，且垂直于直線，求該直線方程.

21. 一直線l過點A（－3，5，－9）且與兩直線相交，求此直線方程.

*22. 設直線，其中s=（m，n，p），M0（x0，y0，z0），直線l外一點為M1（x1，y1，z1），證明：點M1到直線l的距離為.

*23. 設直線，其中s1=（m1，n1，p1），M1（x1，y1，z1），直線，其中s2=（m2，n2，p2），M2（x2，y2，z2），證明：異面直線l1與l2之間的距離為.

*24. 設直線，直線，試求：

（1）直線l1、l2之間的距離；

（2）直線l1與l2的公垂線方程.