第二節(jié) 平面及其方程

［課前導(dǎo)讀］

在平面解析幾何中，把平面曲線看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，從而得到軌跡方程——曲線方程的概念．同樣，在空間解析幾何中，任何曲面都可看作滿足一定幾何條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，動(dòng)點(diǎn)的軌跡也能用方程來(lái)表示，從而得到曲面的概念.

平面是空間中最簡(jiǎn)單而且最重要的曲面．本節(jié)我們將以向量為工具，在空間直角坐標(biāo)系中建立其方程，并進(jìn)一步討論有關(guān)平面的一些基本性質(zhì).

一、平面的點(diǎn)法式方程

由中學(xué)立體幾何知道，過(guò)空間一點(diǎn)，與已知直線垂直的平面是唯一的．因此，如果已知平面上一點(diǎn)及垂直于該平面的一個(gè)非零向量，那么這個(gè)平面的位置也完全確定了．現(xiàn)在，根據(jù)這個(gè)幾何條件來(lái)建立平面的方程.

首先我們給出平面的法線向量的定義：如果一個(gè)非零向量垂直于一個(gè)平面，則該向量就稱為該平面的法線向量（簡(jiǎn)稱平面的法向量）．顯然，一個(gè)平面的法向量有無(wú)窮多個(gè)，它們之間互相平行，且法向量與平面上的任何一個(gè)向量都垂直（見圖5-33）.

設(shè)M0（x0，y0，z0）是平面Π上的一個(gè)定點(diǎn)，且已知該平面的法向量n=（A，B，C），則對(duì)于平面上的任一點(diǎn)M（x，y，z），由于向量=（x－x0，y－y0，z－z0）必與平面Π的法向量n垂直，于是有，即

A（x－x0）+B（y－y0）+C（z－z0）=0.?。?）

式（1）是以x、y、z為變量的三元一次方程，從上面的推導(dǎo)過(guò)程可以看到，平面Π上任意一點(diǎn)M（x，y，z）的坐標(biāo)一定滿足方程，而若點(diǎn)M（x，y，z）不在平面上，則與n不垂直，即，即點(diǎn)M（x，y，z）不滿足方程．因此式（1）就是平面Π的方程，又因?yàn)槲覀兪窃诮o定平面上的一個(gè)點(diǎn)M0（x0，y0，z0）和它的一個(gè)法向量n=（A，B，C）的條件下得到的式（1）的，因此式（1）又稱為平面的點(diǎn)法式方程.

例1　求過(guò)點(diǎn)（2，3，1）且與n=（－1，－2，0）垂直的平面的方程.

解　根據(jù)平面的法向量的概念，向量n=（－1，－2，0）即為所求平面的一個(gè)法向量.所以由平面的點(diǎn)法式方程可得

－1·（x－2）-2·（y－3）+0·（z－1）=0，

即

（x－2）+2（y-3）=0，或x+2y－8=0.

例2　求過(guò)點(diǎn)M1（1，－1，－2）、M2（－1，2，0）及M3（1，3，3）的平面的方程.

解　由于三點(diǎn)M1、M2、M3均在平面上，所以與平面平行，由向量積的概念可知，向量都垂直，即與所求平面垂直，因此它是平面的一個(gè)法向量（見圖5-34），而

取，則平面方程為

7（x－1）+10（y+1）－8（z+2）=0，即7x+10y－8z－13=0.

二、平面的一般方程

由平面的點(diǎn)法式方程（1）知任一平面的方程都是三元一次方程，反之，可以證明任何一個(gè)三元一次方程

Ax+By+Cz+D=0　（2）

一定表示平面.

任取一組（x0，y0，z0）滿足

Ax0+By0+Cz0+D=0，　（3）

（2）-（3）得A（x－x0）+B（y－y0）+C（z－z0）=0，即為平面的點(diǎn)法式方程（1）.

由于式（2）與式（1）是同解方程，故表明三元一次方程的圖形一定是平面.

方程Ax+By+Cz+D=0稱為平面的一般方程，其中n=（A，B，C）即為該平面的一個(gè)法向量.

對(duì)于一些特殊的三元一次方程所表示的平面，應(yīng)該熟悉它們圖形的特點(diǎn).

（1）當(dāng)D=0時(shí)，式（2）成為Ax+By+Cz=0，顯然，原點(diǎn)O（0，0，0）的坐標(biāo)滿足此方程，因此，方程Ax+By+Cz=0表示過(guò)原點(diǎn)的平面.

（2）當(dāng)A=0時(shí)，By+Cz+D=0所表示的平面的法向量為n=（0，B，C），法向量n在x軸上的投影為零，故與x軸垂直，所以該平面與x軸平行；同理，當(dāng)B=0時(shí)，平面Ax+Cz+D=0平行于y軸；當(dāng)C=0時(shí)，平面Ax+By+D=0平行于z軸.

（3）當(dāng)A=B=0時(shí)，平面Cz+D=0的法向量為n=（0，0，C），法向量n在x軸和y軸上的投影都為零，故與x軸和y軸都垂直，即與xOy面垂直，所以該平面平行于xOy面；同樣，當(dāng)B=C=0或A=C=0時(shí)，式（2）成為Ax+D=0或By+D=0，它們分別表示與yOz面或與zOx面平行的平面.

特別地，方程z=0，x=0，y=0分別表示了三個(gè)坐標(biāo)面：xOy面、yOz面和zOx面.

例3　求通過(guò)x軸和點(diǎn)（2，4，1）的平面方程.

解法一　設(shè)所求平面的一般方程為Ax+By+Cz+D=0，因?yàn)樗笃矫嫱ㄟ^(guò)x軸，且法向量垂直于x軸，于是法向量在x軸上的投影為零，即A=0.

由于平面通過(guò)原點(diǎn)，所以D=0，從而方程成為

By+Cz=0，?。?）

又因平面過(guò)點(diǎn)（2，4，1），因此有4B+C=0，即C=－4B．以此代入式（4），再除以B（B≠0），便得到所求方程為

y－4z=0.

解法二　因?yàn)樗笃矫嫱ㄟ^(guò)x軸，故原點(diǎn)O（0，0，0）在平面上，向量

在平面上，又x軸的單位向量i=（1，0，0）與平面平行，于是向量積與平面垂直，即它是平面的一個(gè)法向量．而

根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得到所求方程為

y－4z=0.

三、平面的截距式方程

例4　設(shè)一平面與x、y、z軸分別交于點(diǎn)P（a，0，0）、Q（0，b，0）、R（0，0，c）（abc≠0），求這個(gè)平面的方程（見圖5-35）.

解　設(shè)平面的一般方程為

Ax+By+Cz+D=0，?。?）

分別將上述三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，得

Aa+D=0，Bb+D=0，Cc+D=0，

即

代入式（5）得

即

稱為平面的截距式方程．a、b和c叫作該平面的截距.

四、平面與平面、點(diǎn)與平面的關(guān)系

1. 兩平面的夾角

兩平面的法向量所夾的銳角（或直角）稱為兩平面的夾角（見圖5-36）.

設(shè)平面Π1的方程為

A1x+B1y+C1z+D1=0，

平面Π2的方程為

A2x+B2y+C2z+D2=0，

即

n1=（A1，B1，C1），n2=（A2，B2，C2），

則平面Π1與平面Π2的夾角θ=的余弦為

由此可推得兩個(gè)平面平行和垂直的充要條件.

當(dāng)Π1//Π2時(shí)（見圖5-37），有

若Π1與Π2重合，則.

當(dāng)Π1⊥Π2時(shí)（見圖5-38），有

n1⊥n2A1A2+B1B2+C1C2=0.

例5　研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系.

（1）Π1：－x+2y－z+1=0，Π2：y+3z－1=0；

（2）Π1：2x－y+z－1=0，Π2：－4x+2y－2z－1=0.

解　（1）因?yàn)?span id="fysyxen" class="italic">Π1與Π2的法向量分別為n1=（－1，2，－1），n2=（0，1，3），且

故兩平面相交，夾角為

（2）因?yàn)?span id="ioilgtm" class="italic">Π1與Π2的法向量分別為n1=（2，－1，1），n2=（－4，2，－2），且即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.

又M（1，1，0）∈Π1，M（1，1，0）Π2，故兩平面平行但不重合.

例6　求平面Π，使其滿足：

（1）過(guò)z軸；

（2）Π與平面2x+y－=0的夾角為.

解　因?yàn)槠矫?span id="twh6tis" class="italic">Π過(guò)z軸，可設(shè)其方程為Ax+By=0．又因?yàn)?span id="r4je99n" class="italic">Π與已知平面夾角為，故

從而B=3A或，所以

Π：x+3y=0或Π：3x－y=0.

例7　一平面通過(guò)兩點(diǎn)M1（1，1，1）和M2（0，1，－1）且垂直于平面x+y+z=0，求該平面方程.

解　=（0－1，1－1，－1－1）=（－1，0，－2），根據(jù)題意，可取，其中n1為已知平面x+y+z=0的法向量，n1=（1，1，1），故

因此所求平面方程為

2（x－1）－（y－1）－（z－1）=0，即2x－y－z=0.

2. 點(diǎn)到平面的距離

設(shè)P0（x0，y0，z0）為平面Ax+By+Cz+D=0外的一點(diǎn)，在平面上任取一點(diǎn)P1（x1，y1，z1）（見圖5-39），則點(diǎn)P0到平面的距離d就是在n（n=（A，B，C））上的投影的絕對(duì)值，即.

注意到Ax1+By1+Cz1+D=0，故

比如，我們可以利用公式計(jì)算點(diǎn)P0（2，1，1）到平面x+y－z+1=0的距離：

例8　求兩平行平面Π1：10x+2y－2z－5=0和Π2：5x+y－z－1=0之間的距離d.

解　可在平面Π2上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到平面Π1的距離即為這兩平行平面間的距離.

為此，在平面Π2上取點(diǎn)（0，1，0），則

習(xí)題5-2

1. 填空題.

（1）過(guò)原點(diǎn)且與向量a=（3，1，－1）垂直的平面方程為______.

（2）平面x+2y+kz+1=0與向量a=（1，2，1）垂直，則k=______.

（3）過(guò)點(diǎn)M（2，0，－1），且與向量a=（2，1，－1）、b=（3，0，4）平行的平面方程為______.

2. 指出下列平面位置的特點(diǎn)，并畫出各平面.

（1）2x+z+1=0；

（2）y－z=0；

（3）x+2y－z=0；

（4）9y－1=0；

（5）x=0；

（6）2x+z=0.

3. 求滿足下列條件的平面方程.

（1）過(guò)點(diǎn)M（1，1，1）且與平面3x－y+2z－1=0平行；

（2）過(guò)點(diǎn)M（1，2，1）且同時(shí)與平面x+y－2z+1=0和2x－y+z=0垂直；

（3）與x、y、z軸的交點(diǎn)分別為（2，0，0），（0，－3，0）和（0，0，－1）；

（4）平行于x軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2，－1）；

（5）垂直于兩平面x－y+z－1=0，2x+y+z+1=0且通過(guò)點(diǎn)（1，－1，1）；

（6）平行于向量a=（2，1，－1）且在x軸、y軸上的截距依次為3和-2.

4. 求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（4，0，－2）和（5，1，7）且與x軸平行的平面方程.

5. 求過(guò)點(diǎn)A（1，1，－1）和原點(diǎn)且與平面4x+3y+z=1垂直的平面方程.

6. 求過(guò)z軸和點(diǎn)M（－3，1，2）的平面方程.

7. 求過(guò)三點(diǎn)A（2，3，0）、B（－2，－3，4）和C（0，6，0）的平面方程.

8. 一平面過(guò)點(diǎn)A（1，－4，5）且在各坐標(biāo)軸上的截距相等，求它的方程.

9. 設(shè)平面過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)（6，－3，2）且與平面4x－y+2z=8垂直，求此平面方程.

10. 求平行于平面6x+y+6z+5=0且與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.

11. 若平面x+ky－2z=0與平面2x－3y+z=0的夾角為，求k的值.

12. 求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)M1（3，－2，9）和M2（－6，0，－4）且與平面2x－y+4z－8=0垂直的平面的方程.

13. 求平面5x－14y+2z－8=0和xOy面的夾角.

14. 求通過(guò)z軸且與平面2x+y－－7=0的夾角為的平面的方程.

15. 推導(dǎo)兩平行平面Ax+By+Cz+Di=0，i=1，2之間的距離公式；并求將兩平行平面x－2y+z－2=0與x－2y+z－6=0之間距離分成1∶3的平面方程.

16. 證明：過(guò)不在一直線上三點(diǎn)（xi，yi，zi），i=1，2，3的平面方程為

并寫出過(guò)（1，1，－1），（－2，－2，2），（1，－1，2）三點(diǎn)的平面方程.