4.2　基于微分的邊緣檢測

由于邊緣為灰度值急劇變化的部分，很明顯微分作為提取函數變化部分的運算能夠在邊緣檢測與提取中利用。微分運算中有一階微分（first differential calculus，也稱梯度運算gradient）與二階微分（second differential calculus，也稱拉普拉斯運算Laplacian），都可以應用在邊緣檢測與提取中。

（1）一階微分（梯度運算）

作為坐標點（x，y）處的灰度傾斜度的一階微分值，可以用具有大小和方向的向量G（x，y）=（fx，fy）來表示。其中fx為x方向的微分，fy為y方向的微分。

fx、fy在數字圖像中是用下式計算的：

　　　　 （4.1）

微分值fx、fy被求出后，由以下的公式就能算出邊緣的強度與方向。

【強度】：

　　 （4.2） 　　

【方向】：

　　 （4.3） 　　

邊緣的方向是指其灰度變化由暗朝向亮的方向。可以說梯度算子更適于邊緣（階梯狀灰度變化）的檢測。

（2）二階微分（拉普拉斯運算）

二階微分L（x，y）是對梯度再進行一次微分，只用于檢測邊緣的強度（不求方向），在數字圖像中用下式表示：

　　 （4.4） 　　

因為在數字圖像中的數據是以一定間隔排列著，不可能進行真正意義上的微分運算。因此，如式（4.1）或式（4.4）那樣用相鄰像素間的差值運算實際上是差分（calculus of finite differences），為方便起見稱為微分（differential calculus）。用于進行像素間微分運算的系數組被稱為微分算子（differential operator）。梯度運算中的fx、fy的計算式（4.1），以及拉普拉斯運算的式（4.4），都是基于這些微分算子而進行的微分運算。這些微分算子如表4.1、表4.2所示的那樣，有多個種類。實際的微分運算就是計算目標像素及其周圍像素分別乘上微分算子對應數值矩陣系數的和，其計算結果被用作微分運算后目標像素的灰度值。掃描整幅圖像，對每個像素都進行這樣的微分運算，稱為卷積（convolution）。