2.2 黃金時代——亞歷山大學派

從公元前338年希臘諸邦被馬其頓控制，至公元前30年羅馬消滅最后一個希臘化國家托勒密王國的三百余年，史稱希臘數學的“黃金時代”，先后出現了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數學家，他們的成就標志了古希臘數學的巔峰。

2.2.1　歐幾里得

歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者，歐幾里得寫過很多數學、天文、光學和音樂方面的著作，其中最重要的莫過于《幾何原本》，“原本”原意是指一學科中具有廣泛應用的最重要的定理，歐幾里得在這本原著中用公理法對當時的數學知識做了系統化和理論化的總結。

《幾何原本》是歐幾里得寫的一本教科書，共13卷，包括23個定義、5個公理、5個公設和465個命題。

《幾何原本》總結概括了當時人們所了解的平面幾何、立體幾何、數論和比例等方面的知識，為后人學習和進一步研究打下了良好基礎。

歐幾里得通過使用定義、公理和證明，創造了公理化方法。

歐幾里得在教學中還寫了其他一些書，如《已知數》《圖形的分割》《光學》《鏡面反射》和《圓錐曲線》等，但都沒有流傳下來。

導圖

（1）《幾何原本》的分卷要點

（2）《幾何原本》中的定義

（3）《幾何原本》中的公理、公設

（4）《幾何原本》中的定理、命題

（5）《幾何原本》的特點和歷史地位

人物小史與趣事

歐幾里得

歐幾里得（約公元前330—公元前275），大約生活在公元前300年左右，即托勒密一世時期。關于他的生平，現在知道的很少，早年他曾求學到過雅典，深知柏拉圖的學說。成年之后歐幾里得到了埃及的亞歷山大，在那里教書和研究數學，直至終老。歐幾里得以其主要著作《幾何原本》著稱于世，它是古希臘數學發展的頂峰。愛因斯坦曾說：“一個人當他最初接觸歐幾里得幾何學時，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那么他是不會成為一個科學家的。”

“三個硬幣”的故事

歐幾里得知識淵博，在教授學生時像一個真正的父親那樣引導他們，關心他們。然而，有時他也用辛辣的諷刺來鞭撻比較傲慢的學生。有一天他的一個學生問：“學習幾何，究竟會有什么好處？”歐幾里得沒有回答這個學生的提問，而是轉身吩咐仆人說：“拿三個硬幣給這位先生，因為他想在學習中獲得實利。”由此，我們可以大體揣測一些歐幾里得的性格和對數學的態度。歐幾里得主張學習必須循序漸進、刻苦鉆研，不贊成投機取巧的作風，更反對狹隘的實用觀念。

“在幾何學里，沒有專為國王鋪設的大道。”

歐幾里得不僅是一位學識淵博的數學家，同時還是一位有“溫和仁慈的藹然長者”之稱的教育家。在著書育人過程中，他始終沒有忘記當年掛在“柏拉圖學園”門口的那塊警示牌，牢記著柏拉圖學派嚴謹、求實的傳統學風。他對待學生既和藹又嚴格，自己卻從來不宣揚有什么貢獻。對于那些有志于窮盡數學奧秘的學生，他總是循循善誘地予以啟發和教育，而對于那些急功近利、在學習上不肯刻苦鉆研的人，則毫不客氣地予以批評。

柏拉圖學派晚期導師普羅克洛斯的《幾何學發展概要》中記載著這樣一則故事。數學在歐幾里得的推動下，逐漸成為人們生活中的一個時髦話題，以至于當時亞歷山大國王托勒密一世也想趕這一時髦，學點兒幾何學。

雖然這位國王見多識廣，但歐氏幾何卻令他學得很吃力。于是，他問歐幾里得“學習幾何學有沒有什么捷徑可走？”歐幾里得笑道：“抱歉，陛下!學習數學和學習一切科學一樣，是沒有什么捷徑可走的。學習數學，人人都得獨立思考，就像種莊稼一樣，不耕耘是不會有收獲的。在這一方面，國王和普通老百姓是一樣的。”

從此，“在幾何學里，沒有專為國王鋪設的大道”這句話成為千古傳誦的學習箴言。

“柏拉圖學園”

歐幾里得是古希臘著名數學家、歐氏幾何學的開創者。歐幾里得生于雅典，當時雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當他還是個十幾歲的少年時，就迫不及待地想進入“柏拉圖學園”學習。

一天，一群年輕人來到位于雅典城郊外林蔭中的“柏拉圖學園”。只見學園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌，上面寫著：“不懂幾何者，不得入內!”這是當年柏拉圖親自立下的規矩，為的是讓學生們知道他對數學的重視，然而卻把前來求教的年輕人給鬧糊涂了。有人在想，正是因為我不懂數學，才要來這兒求教的呀，如果懂了，還來這兒做什么?正在人們面面相覷，不知是退、是進的時候，歐幾里得從人群中走了出來，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然后果斷地推開了學園大門，頭也沒有回地走了進去。

“柏拉圖學園”是柏拉圖40歲時創辦的一所以講授數學為主要內容的學校。在學園里，師生之間的教學完全通過對話的形式進行，因此要求學生具有高度的抽象思維能力。數學，尤其是幾何學，所涉及對象就是普遍而抽象的東西。它們同生活中的實物有關，但是又不來自于這些具體的事物，因此學習幾何被認為是尋求真理的最有效的途徑。

柏拉圖甚至聲稱：“上帝就是幾何學家。”這一觀點不僅成為學園的主導思想，而且也為越來越多的希臘民眾所接受。人們都逐漸地喜歡上了數學，歐幾里得也不例外。他在有幸進入學園之后，便全身心地沉潛在數學王國里。他潛心求索，以繼承柏拉圖的學術為奮斗目標，除此之外，他哪兒也不去，什么也不干，熬夜翻閱和研究了柏拉圖的所有著作和手稿，可以說，連柏拉圖的親傳弟子也沒有誰能像他那樣熟悉柏拉圖的學術思想、數學理論。經過對柏拉圖思想的深入探究，他得出結論：圖形是神繪制的，所有一切現象的邏輯規律都體現在圖形之中。因此，對智慧訓練，就應該從以圖形為主要研究對象的幾何學開始。他確實領悟到了柏拉圖思想的要旨，并開始沿著柏拉圖當年走過的道路，把幾何學的研究作為自己的主要任務，并最終取得了世人敬仰的成就。

2.2.2　阿基米德

阿基米德是歷史上兼數學家與力學家的偉大學者。在數學上，阿基米德取得了輝煌的成就，被譽為“數學之神”。

阿基米德對數學的最大貢獻是對曲邊形和曲面體的研究，其中蘊含著豐富的積分學的思想。

阿基米德留下了許多著作，如《論球與圓柱》《圓的度量》《劈錐曲面與回轉橢圓體》《論螺線》《平面圖形的平衡或其重心》《數沙器》《拋物線圓形求積法》《論浮體》《引理集》《群牛問題》《方法論》等。在這些著作中，阿基米德重點討論了幾何圖形的面積和體積計算的有關問題。

導圖

在《圓的度量》中，阿基米德將窮竭法用于圓的周長和面積計算。

《論螺線》中討論了阿基米德螺線（一條射線繞固定點勻速旋轉，同時有一點從端點出發沿射線勻速運動，此點形成的曲線）的面積和切線等，證明了第一面積等于第一圓面積的1/3。

在《平面圖形的平衡或其重心》中，阿基米德利用杠桿原理找出了平行四邊形、三角形及梯形的重心。

在《數沙器》中阿基米德給出了大數（一萬以上的數）記法（主要是將數分級），計算出整個宇宙只能填充1063粒沙子。

人物小史與趣事

阿基米德（公元前287—公元前212），數學家、力學家、天文學家，古希臘敘拉古人，早年去亞歷山大跟歐幾里得的學生學習過，后來一直與亞歷山大學派的人有聯系，因而是亞歷山大學派的成員之一。阿基米德享有“力學之父”的美稱，與高斯、牛頓并列為世界三大數學家。他曾說過：“給我一個支點和一根足夠長的杠桿，我就能撬動整個地球。”

浮力原理的發現

相傳敘拉古赫農王讓工匠替他做了一頂純金的王冠。王冠做好后，國王疑心工匠做的金冠并非全金，但這頂金冠確實與當初交給金匠的純金一樣重。工匠到底有沒有私吞黃金呢？既想檢驗真假，又不能破壞王冠，這個問題不僅難倒了國王，也使諸大臣們面面相覷。

經一大臣建議，國王請來阿基米德檢驗。

最初，阿基米德也是冥思苦想，無計可施。一天，他在家洗澡，當他坐進澡盆時，看到水往外溢，同時感到身體被輕輕托起。他突然悟到可以用測定固體在水中排水量的辦法，來確定金冠的密度。他興奮地跳出澡盆，連衣服都顧不得穿上就跑了出去，大聲喊著“尤里卡！尤里卡！”（意思是“我找到了”）。

經過了進一步的實驗以后，他來到了王宮。他把王冠和同等重量的純金放在盛滿水的兩個盆里，比較兩盆溢出來的水，發現放王冠的盆里溢出來的水比另一盆多。這就說明王冠的體積比相同重量的純金的體積大，密度不相同，證明了王冠里摻進了其他金屬。

這次試驗的意義遠遠大過查出金匠欺騙國王，阿基米德從中發現了浮力定律（阿基米德原理）：物體在液體中所獲得的浮力，等于它所排出液體的重量。一直到現代，人們還在利用這個原理計算物體密度和測定船舶載重量等。

阿基米德與杠桿原理

阿基米德對于機械的研究源自他在亞歷山大城求學時期。

有一天，阿基米德在久旱的尼羅河邊散步，看到農民提水澆地相當費力，經過思考之后他發明了一種利用螺旋作用將水管里的水吸上來的工具，后世的人稱其為“阿基米德螺旋提水器”。一直到現在，埃及還有人使用這種器械。這個工具成了后來螺旋推進器的先祖。

當時的歐洲，在工程和日常生活中，經常使用一些簡單機械，譬如螺釘、滑車、杠桿、齒輪等，阿基米德花了許多時間去研究，發現了“杠桿原理”和“力矩”的觀念，對于經常使用工具制作機械的阿基米德而言，將理論運用到實際的生活上是輕而易舉的。他曾說：“給我一個支點和一根足夠長的杠桿，我就能撬動整個地球。”

剛好海維隆王遇到了一個棘手的問題：國王替古埃及托勒密王造了一艘船，因為太大、太重，船無法放進海里，國王就對阿基米德說：“你連地球都舉得起來，把一艘船放進海里應該沒問題吧？”阿基米德立刻巧妙地組合各種機械，造出一架設備，在一切準備妥當后，將牽引設備的繩子交給國王，國王輕輕一拉，大船果然移動下水，國王不得不為阿基米德的天才所折服。從這個歷史記載的故事里我們可以了解到，阿基米德極可能是當時全世界對于機械的原理與運用了解最透徹的人。

新式武器

阿基米德年老的時候，敘拉古和羅馬之間發生了戰爭。羅馬軍隊的最高統帥馬塞勒斯率領羅馬軍隊包圍了他所居住的城市，還占領了海港。阿基米德雖不贊成戰爭，但又不得不盡自己的職責，保衛自己的祖國。

他制造了一種叫作石弩的拋石機，把大石塊投向羅馬軍隊的戰艦，或者使用發射機把矛和石塊射向羅馬士兵。

阿基米德還發明了多種武器來阻擋羅馬軍隊的前進。他發明了大型起重機，把羅馬的戰艦高高地吊起，隨后猛地將其摔進大海，船破人亡。最后羅馬士兵都不敢靠近城墻，只要有一根繩子在上方出現，他們就會被嚇跑，因為他們相信那個可怕的阿基米德一定在用一種什么新奇的怪物，會使他們一命嗚呼。

鏡子聚光

太陽的光和熱使地球上的萬物生長，它蘊藏著無窮無盡的能量。那么，是誰最先想到把太陽能聚集起來加以利用呢？

古希臘的敘拉古城遭到了羅馬軍隊的侵襲。羅馬軍隊乘著揚帆的戰艦，耀武揚威地駛向敘拉古港口，敘拉古城的青壯年和士兵們一起上前線去了，城里只剩下了老人、婦女和孩子，處于萬分危急的時刻。

就在這時，老阿基米德為了自己的祖國站了出來。他讓婦女和孩子們每人都拿著自己家中的鏡子一起來到海岸邊，讓鏡子對準強烈的陽光，集中照射到敵艦的主帆上，千百面鏡子的反光聚集在船帆的一點上，船帆燃燒起來了，火勢趁著風力越燒越旺，羅馬人不知底細，以為阿基米德又發明了新式武器，就慌慌張張地逃跑了。

阿基米德的怪癖

那時，人們在平板上覆蓋一層薄沙，在沙上面畫圖研究幾何學。這就是當時的“黑板”。

阿基米德只要看到類似的東西，一概加以利用。如果平板上面積了一層灰，他不是把灰塵抹掉，而是在灰上作圖研究幾何學。如果有了爐灰，他就把灰抹平，在上面開始畫圖研究。

當時的人們還有一種習慣，洗完澡從水里出來后，要在身上涂抹橄欖油。每逢這時，阿基米德便表現出他的怪癖，用指尖在自己的皮膚上畫圖，開始研究幾何學。

“等一下殺我的頭！”

據說，敘拉古城淪陷時，羅馬官兵知道阿基米德足智多謀，又富有愛國精神，所以他們懼怕阿基米德勝過懼怕敘拉古國王，進城后不急于進攻王宮而直奔阿基米德的住處。

官兵一腳踢開房門，只見床上空蕩蕩的，而地上一動不動地蹲著一個兩腮長著長長花白胡子的老人，原來這位75歲的數學家通宵未眠，正雙手托著下巴，聚精會神地看著畫在地上的幾何圖形。當羅馬士兵的利劍碰到阿基米德的鼻尖時，他才從數學王國里回過神來。但他毫無懼色，用手推開了劍，平靜地說：“等一下殺我的頭，再給我一會兒工夫，讓我把這條幾何定理證明完，不能給后人留下一道還沒有證出來的難題。”說完又沉思起來。

然而殘暴而又愚蠢的羅馬士兵不由分說，一劍砍了過去。這一劍不僅砍下了一位偉大數學家的腦袋，也砍掉了一條沒有問世的“阿基米德定理”。

2.2.3　阿波羅尼奧斯

亞歷山大時期第三位重要的數學家阿波羅尼奧斯（約公元前262—公元前190），出生于小亞細亞的珀爾加。阿波羅尼奧斯的貢獻涉及幾何學和天文學，但他最重要的數學成就是在前人工作的基礎上創立了相當完美的圓錐曲線理論。

導圖

《圓錐曲線論》一書共8卷487個命題，主要討論了當時人們感興趣的圓錐曲線問題，是古希臘幾何學的最高成就。

在數學方面，阿波羅尼奧斯寫成了多本著作，如《截取線段成定比》《截取面積等于已知面積》《論接觸》《平面軌跡》等。

阿波羅尼奧斯提出了多個傳世問題，如“阿波羅尼奧斯問題”“阿波羅尼奧斯圓”等。

人物小史與趣事

阿波羅尼奧斯（約公元前262—公元前190），古希臘詩人、語法學家、數學家，是亞歷山大學派中排在歐幾里得和阿基米德之后的數學家。據說他年輕時曾跟歐幾里得的學生學習過，后回到小亞細亞的帕加馬為當時的國王服務，晚年熱衷于天文學，曾計算過月亮到地球的距離，推廣了前人關于“本輪”“均輪”學說，為《至大論》奠定了基礎。他的著作《圓錐曲線論》將圓錐曲線的性質網羅殆盡，幾乎使后人無插足的余地。

游學的故事

阿波羅尼奧斯年輕時曾到亞歷山大跟隨歐幾里得的后繼者學習，當時正值托勒密三世統治時期。到了托勒密四世時，他在天文學研究方面已頗有名氣。

后來，他到過小亞細亞西岸的帕加馬王國。國王阿塔羅斯一世除崇尚武功外，還注重文化建設。阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》從第四卷起均是呈遞給阿塔羅斯的。

亞歷山大里亞圖書館館長的故事

《阿爾戈船英雄紀》是阿波羅尼奧斯的主要著作，它不像荷馬史詩那樣著力描寫英雄事件，而是重點敘述美狄亞和伊阿宋的愛情故事。

據說，作為一個年輕人的阿波羅尼奧斯，在亞歷山大里亞為人們朗誦了《阿爾戈船英雄紀》，卻廣受嘲笑，羞愧地逃到了羅德島。

在羅德島，人們熱情地招待了他，并給予他公民權。

在這之后，他得意洋洋地回到了亞歷山大里亞，很快就被選為亞歷山大里亞圖書館的館長。