2.1 古希臘數學的發端

2.1.1　泰勒斯

現在所知最早的古希臘數學家是泰勒斯（約公元前624—公元前546）。泰勒斯出生于小亞細亞（今土耳其）西部愛奧尼亞地方的米利都城。

泰勒斯認為世界上處處有生命與運動，水是萬物之源。

他曾利用日影來測量金字塔的高度，也曾準確地預測過日食。他是古希臘第一個將一年修正為365天的人。

泰勒斯在數學方面的突出貢獻是開始了命題的證明，具有劃時代的意義。

泰勒斯定理：若A、B、C是圓周上的三點，且AC是該圓的直徑，那么∠ABC必然為直角?；蛘哒f，直徑所對的圓周角是直角。

該定理的逆定理也同樣成立，即直角三角形中，直角的頂點在以斜邊為直徑的圓上。

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人物小史與趣事

泰勒斯（約公元前624—約公元前546），公元前7世紀至公元前6世紀古希臘時期的思想家、科學家、哲學家，希臘七賢之一。他創立了古希臘最早的哲學學派—米利都學派，也稱愛奧尼亞學派。他被尊為“科學和哲學之祖”，是古希臘及西方思想史上第一個有名字記載的哲學家。他的學生有阿那克西曼德、阿那克西米尼等。

預言日食而阻止戰爭的故事

大約公元前7世紀到公元前6世紀，伊朗草原上強盛的米底亞王國向西進兵小亞細亞，遇到了呂底亞王國的頑強抵抗，雙方在哈呂斯河（今克孜勒河）一帶展開了激烈戰斗。戰爭在你爭我奪中持續了五年，百姓深陷苦難。

泰勒斯預先推測出某天有日食，便宣揚上天反對人世的戰爭，某月某日必以日食作警告。果然，日食如期而至。那日，正當雙方將士短兵相接酣戰正激時，太陽突然失去光輝，白晝頓成黑夜。兩國將士大為驚恐，馬上停戰和好，后來兩國還互通婚姻。這件事在希羅多德的《希波戰爭史》第一卷中有記載。

當然，這次戰爭的結束還有其他政治經濟上的原因，日食不過起到促進作用。但據此可知，當時的泰勒斯已能預測日食。

騾子的故事

除了在科學與哲學上有很高的造詣，泰勒斯同樣是一個聰明的商人。多年的商旅生活使他了解到各地的人情風俗，眼界也更開闊。

他曾用過騾子運鹽。有一次，一頭騾子不慎滑到在溪中，鹽被溶解掉了一部分，背上的負擔減輕了不少。于是，這頭騾子每過溪水就打一個滾。泰勒斯為了改變這頭騾子偷懶的惡習，讓它改馱海綿。海綿在吸水之后，重量倍增。從此，這頭騾子再也沒有偷懶過了。

橄欖的故事

雖然身為商人，泰勒斯卻沒有好好經商，而是熱衷于去探索些“沒用”的事情，因此他并不富裕。他一有點錢，就去旅行花掉了。因而有人說，哲學家是些沒用的人，賺不到錢的人，很窮的人。

有一年，泰勒斯運用他掌握的知識賺了一筆錢。相傳他知道那一年雅典的橄欖會豐收，便租下了全村所有的榨橄欖油的機器，乘機壟斷，并抬高價格賺了一筆錢，以此來證明哲學家其實是有智慧的人，只是他有更重要的事情要做，而不是把精力放在賺錢上，如果他想賺錢的話，完全可以比別人賺得更多。

只顧天空不看腳下的天文學家

一天晚上，泰勒斯獨自走在曠野之間，他抬頭看著天空，星星滿天，他預言第二天會下雨。正在此時，專心想事的他沒有注意到腳下剛好有一個坑，結果掉進了那個坑里摔得很重，他大聲呼救，幸好有人路過才將他救了出來。

泰勒斯很感激地道了謝。他對路人說：“謝謝您把我救起。你知道嗎？明天會下雨?！?/p>

于是就有了一個關于哲學家的笑話，哲學家是只知道看天上的事情卻不知道腳下發生什么事情的人。

兩千年以后，德國哲學家黑格爾說，一個民族只有有那些關注天空的人，這個民族才有希望。如果一個民族只是關心眼下、腳下的事情，這個民族是沒有未來的。而泰勒斯就是標志著古希臘智慧的第一個人。

測量金字塔高度

據說，埃及的大金字塔修成一千多年后，還沒有人能夠準確地測出它的高度。曾經也有不少人做過很多努力，可惜都沒能成功。

有一年春天，泰勒斯去了埃及。人們想試探一下他的能力，就問他是否能解決這個難題。泰勒斯很有把握地說可以，但有一個條件—法老必須在場。

第二天，法老如約而至，金字塔的周圍也聚集了不少圍觀的老百姓。

泰勒斯來到金字塔前，陽光把他的影子投在地面上。每過一會兒，他就讓別人測量一下他影子的長度，當測量值與他的身高完全吻合時，他立刻在金字塔在地面上的投影處做一記號，然后再丈量金字塔底到投影尖頂的距離。這樣，他就報出了金字塔確切的高度。

在法老的請求下，他向大家講解了如何從“影長等于身長”推到“塔影等于塔高”的原理。也就是今天所說的相似三角形定理。

2.1.2　畢達哥拉斯

古希臘論證數學的另一位祖師是畢達哥拉斯（公元前572—公元前497）。畢達哥拉斯與中國的孔子為同一時期的人，是科學史上最重要的人物之一，不僅影響了柏拉圖，還影響了文藝復興時期的哲學家和科學家。約公元前530年，他建立了一個宗教、政治、學術合一的團體——畢達哥拉斯學派。

畢達哥拉斯創造了哲學（愛智慧）和數學（可學到的知識）兩個詞，提出了四元素說（物質是由水、火、土、氣四元素構成，每一元素又由四種基本物性：冷、熱、溫、燥兩兩組合而成），認為大地是個球體，宇宙是圍繞一個中心火構成的，提出了“四藝”（幾何、天文、音樂、算術）的說法等。

畢達哥拉斯證明了勾股定理。

畢達哥拉斯發現了五種正多面體。

畢達哥拉斯第一次研究了直線形面積的變換。

畢達哥拉斯給出了一元二次方程的幾何解法。

畢達哥拉斯深入研究了正整數，奠定了現代數論基礎。提出了奇數和偶數的概念，區分了自然數。提出了因子概念，由此提出了完全數、過剩數、不足數和親和數的概念。

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人物小史與趣事

畢達哥拉斯（公元前572—公元前497），古希臘著名哲學家和科學家。生于小亞細亞的薩摩斯島，年輕時曾游學于古埃及和古巴比倫，可能還到過古印度，之后回到大希臘的克洛托內（現在意大利的東南部），建立了一個學術團體——畢達哥拉斯學派，全心致力于哲學和數學研究。

劈柴的故事

有一天，小畢達哥拉斯背著一捆劈柴在街上走。一位紳士看見了他，覺得那捆劈柴的組合方式很高明。紳士心存疑問：這種組合是少年有意精心安排的，還是無意中擺成的？于是他叫住小畢達哥拉斯：“過來，過來！能為我辦點兒事嗎？不是很麻煩，只是請你把這捆劈柴放下，把柴棍搗亂，然后重新堆擺起來，行嗎？”

畢達哥拉斯很納悶，“這人真怪，竟提出這樣的請求！”但他還是照紳士的話去做了。他放下柴捆，把劈柴搗亂，然后重新把它們組合起來。

紳士看到，這位少年堆擺劈柴的方法的確高明，令人欽佩，于是對小畢達哥拉斯說：“你不想鉆研學問嗎？為什么不試試呢？”

據說，在這位紳士的鼓勵下，畢達哥拉斯離開了薩摩斯島，拜泰勒斯為師。也有人說，畢達哥拉斯并不是泰勒斯的弟子，他的老師是阿那克西曼德。

但不管怎樣，有一點是可以肯定的：畢達哥拉斯從老師那兒學到了大部分當時已被人們掌握的數學知識。而后遵照老師的勸告，去古埃及留學。據說在留學期間，畢達哥拉斯還訪問過古巴比倫王國。

“百牛祭”的故事

據傳，畢達哥拉斯發明了勾股定理后，破例殺了100頭牛，舉行“百牛祭”，邀請全城的人慶祝。在這次祭會上，畢達哥拉斯發表了演講，向人們描繪了一幅畫面：由數產生點，由點產生線，由線產生出平面圖形，由平面圖形產生出立體圖形，由立體圖形感覺到的一切物體產生出水、火、土、氣四種元素。這四種元素以各種不同的方式相互轉化，并創造出有生命的、有精神的、球形的世界。認識世界，就是要認識支配世界的數。

鑄幣的故事

畢達哥拉斯在克羅通時，曾經設計過一種鑄幣。鑄幣的正面有陽文的本城的紋章，圓周形的邊紋有城名的幾個主要字母；另一面是同樣的圖案，但為陰文。

這些鑄幣體現了畢達哥拉斯關于“宇宙上下兩方和中央所處的地位關系是相同的，只是彼此相反”的觀點。

數學家眼中的大理石地磚

有一次，畢達哥拉斯應邀參加一位政要的餐會。

主人家里非常富有，豪華宮殿般的餐廳鋪著正方形美麗的大理石地磚。

由于大餐遲遲不上桌，這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言，而善于觀察和理解的數學家畢達哥拉斯卻凝視腳下這些排列規則、美麗的方形地磚。

他不是欣賞地磚的美麗，而是在思考它們和“數”之間的關系。于是，他拿了畫筆并且蹲在地板上，選了一塊地磚以它的對角線AB為邊畫一個正方形，他發現這個正方形面積恰好等于兩塊地磚的面積和。

對此，他很好奇。于是，他再以兩塊地磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形，并發現這個正方形之面積等于5塊地磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。

至此，畢達哥拉斯作了大膽的假設：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和。

那場餐會，這位古希臘數學大師的視線一直都沒有離開過地面。

畢達哥拉斯與黃金分割

畢達哥拉斯的黃金分割——a:b=(a＋b):a。

一天，畢達哥拉斯路過一個鐵匠作坊，聽到里面叮叮當當的聲音，覺得十分悅耳。

于是，他便用工具測量了鐵錘與鐵砧的尺寸，并發現它們之間有一定的比例。

回到家里，他把一條直線段分為兩節，經過反復比較，最后終于確認1∶1.618的比例最優雅，其比值為0.618的近似值，稱之為黃金比例。

畢達哥拉斯學派認為太陽、月亮、星辰的軌道和地球的距離之比，分別等于三種主要的和音，即八音度、五音度、四音度。

畢達哥拉斯學派認為從數量上看，夏天是熱占優勢，冬天是冷占優勢，春天是干占優勢，秋天是濕占優勢，最美好的季節則是冷、熱、干、濕等元素在數量上和諧的均衡分布。

畢達哥拉斯學派從數學的角度，即數量上的矛盾關系列舉出有限與無限、一與多、奇數與偶數、正方與長方、善與惡、明與暗、直與曲、左與右、陽與陰、動與靜十對對立的范疇，其中有限與無限、一與多的對立是最基本的對立，并稱世界上一切事物均能還原為這十對對立。

創辦“學?！?/span>

畢達哥拉斯長期留學古埃及之后，返回故鄉薩摩斯島。他原打算在薩摩斯島上建立學校，但沒有成功。于是他遷居克洛頓，在那兒創辦了一所學校（即畢達哥拉斯學派）。但這所學校實際上是一個宗教集團或公會，宗旨是加強團結。

在這個“學校”內，嚴禁把內部教學的內容和內部得到的發現泄露給外人。而且“學校”的發現都歸于畢達哥拉斯名下。因此，如今人們認為是畢達哥拉斯發現的東西，其中究竟哪些是他本人的發現，哪些是畢達哥拉斯學派的發現，根本無法區別。

畢達哥拉斯創設的這所學校曾光榮一時，但后來由于過問政治，引起反對派的憎恨，最后學校遭到燒掠襲擊而毀。畢達哥拉斯也在一次夜間騷亂中被殺害。

2.1.3　雅典時期的古希臘數學

畢達哥拉斯學派在政治上傾向于貴族制，在希臘民主力量高漲時期受到沖擊并逐漸解體。古希臘波斯戰爭（公元前492—公元前449）以后，雅典成為古希臘民主政治與經濟文化的中心，古希臘數學也隨之走向繁榮，學派林立。

伊利亞學派，以居住在意大利南部伊利亞地方的芝諾（約公元前490—公元前430）為代表。較晚的德謨克里特（約公元前460—公元前370）原子論學派，則與伊利亞學派在思想上有一定的繼承關系。

詭辯學派，也稱智人學派，活躍于公元前5世紀下半葉的雅典城。

雅典學派（柏拉圖學派），柏拉圖（公元前427—公元前347）曾師從畢達哥拉斯學派，約公元前387年在雅典創辦學院，形成了自己的學派。

亞里士多德學派，亞里士多德（公元前384—公元前322）是柏拉圖的學生，公元前335年建立自己的學派。

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（1）學派

（2）三大幾何問題

（3）無限性概念的早期探索

（4）邏輯演繹結構的倡導

人物小史與趣事

希波克拉底（約公元前460—公元前377），古希臘伯里克利時代醫師，被西方尊為“醫學之父”。其所處的上古時代，醫學并不發達，然而他卻能將醫學發展成為專業學科，使之與巫術及哲學分離，并創立以之為名的醫學學派，對古希臘的醫學發展貢獻良多。希波克拉底提出“體液學說”，他的醫學觀點對以后西方醫學的發展有巨大影響。另外，希波克拉底也是位數學家，他用勾股定理得到了弓形的面積，指出相似弓形的面積與其弦的平方成正比，促進了三大幾何問題之一的“化圓為方”的研究。

撲滅瘟疫的故事

公元前430年，雅典發生瘟疫，許多人突然發燒、嘔吐、腹瀉、抽筋、身上長滿膿瘡、皮膚嚴重潰爛?；疾〉娜私佣B三地死去。沒過幾日，雅典城中便隨處可見來不及掩埋的尸首。對這種索命的疾病，人們唯恐避之不及。

但此時希臘北邊馬其頓王國的一位御醫，卻冒著生命危險前往雅典救治。他一面調查疫情，一面探尋病因及解救方法。不久，他發現全城只有一種人沒有染上瘟疫，那就是每天和火打交道的鐵匠。他由此設想，或許火可以防疫，于是在全城各處燃起火堆來撲滅瘟疫。

這位御醫就是被西方尊為“醫學之父”的古希臘著名醫生希波克拉底。

“希波克拉底臼床”的故事

有一天，希波克拉底碰到一個巫醫在給骨折病人治病。病人左腿被車輪輾斷，已昏死過去，受傷的部位鮮血淋淋。但巫醫還硬叫家屬扶著病人用右腿跪在神像前，他自己則念念有詞，不知在說些什么。

希波克拉底實在看不下去了。他氣憤地走上前說道：“靠念咒語怎能治好他的傷呢？這簡直是在折磨病人，太荒唐了！”

巫醫不屑一顧地說：“看來你會治傷啊，那好，你說他的傷怎樣治？”

“清洗創口，進行牽引，使斷骨復位！”

希波克拉底對骨折病人提出的治療方法，是合乎科學道理的。為紀念他，后人將用于牽引和其他矯形操作的臼床稱為“希波克拉底臼床”。

癲癇癥的故事

一天，希波克拉底在市場上見到一個人突然神志喪失，全身抽動，面色青紫，嘴里還吐出白沫。周圍的人都驚慌失措地喊道：“這人中了邪啦！快去請巫師來！”

正好有個僧侶經過這里，有人馬上拖他來治病。僧侶看了看病人，板起面孔說：“??！這人得了神病，要請神來寬恕他。快把他抬到神廟里去！”

“慢著！”希波克拉底搶上一步喊道，“這人患的根本不是什么神病，而是癲癇癥！把他抬到神廟去是治不好病的！”

那僧侶向希波克拉底瞪了一眼，高傲地說：“什么癲癇不癲癇的，這人的病是山神引起的，只有祈禱山神才有用。你懂什么？小心別惹怒了山神，讓你也患上神?。　?/p>

希波克拉底毫不示弱地說：“這癲癇癥一點也不比其他疾病神秘，而是同其他疾病一樣，具有相同的性質和相似的起因。只有魔法、江湖術士和騙子之流，才把它說成是什么神??！”

“你竟敢當著這么多人的面咒罵山神！好，你說這病不是山神引起的，那是什么引起的？”

“是腦引起的！”希波克拉底斬釘截鐵地回答說，“我相信這是腦子出了問題，才變成這個模樣的。”

現代醫學認為，癲癇是一種突然發作的暫時性大腦功能紊亂的病癥。希波克拉底指出的病因是正確的，他提出的這個病名，也一直沿用到今天。但是，他的科學解釋在當時不可能被人們理解和接受。在僧侶的催促下，那病人還是被抬到神廟里去了，沒有得到有效的治療。

希帕索斯

希帕索斯，生卒年月不詳，生活于大約公元前500年。他是發現無理數的第一人，是畢達哥拉斯的得意門生。希帕索斯發現等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比不是有理數，舉出了當時畢達哥拉斯學派“一切量都可用有理數表示”的一個反例。

“第一次數學危機”

公元前5世紀，畢達哥拉斯學派認為數最崇高、最神秘，他們所講的數是指整數?！皵导慈f物”，即宇宙間各種關系都可以用整數或整數之比來表達。但是，希帕索斯發現，邊長為1的正方形，它的對角線（）卻不能用整數之比來表達。這就觸犯了畢達哥拉斯學派的信條，于是該學派規定了一條紀律：誰都不準泄露存在（即無理數）的秘密。天真的希帕索斯無意間向別人談到了他的發現，結果被殺害。但很快就引起了數學思想的大革命。科學史上把該事件稱為“第一次數學危機”。