2.3 亞歷山大后期數學

崛起于意大利半島中部的羅馬民族，在公元前1世紀完全征服了古希臘各國，從而奪得了地中海地區的霸權，并建立了強大的羅馬帝國。羅馬統治下的亞歷山大城，由于古希臘文化的慣性影響以及羅馬統治者對那里的自由研究的寬松態度，在相當長一段時間內仍然維持著學術中心的地位，并產生了一批杰出的數學家和數學著作。通常把公元前30年到公元6世紀的這一段時期，稱為希臘數學的“亞歷山大后期”。

2.3.1　海倫

亞歷山大后期的古希臘幾何，已經失去前期的光輝，這一時期開始階段唯一值得一提的幾何學家是海倫（約公元1世紀）。

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人物小史與趣事

海倫，古希臘數學家、力學家、機械學家，生卒年已不可考。約公元62年活動在亞歷山大城，是亞歷山大學派后期一員。他多才多藝，善于博采眾長，寫過很多書，如《測量儀器》《自動建造技術》《武器制作法》《定義》《幾何》《度量》《測體積學》等。海倫在論證中大膽使用某些經驗性的近似公式，注重數學的實際應用。

海倫的生平

海倫擅長測量，給出了多種求圖形面積和體積的定理和公式，其中最著名的是海倫公式，即已知三邊長求三角形面積。海倫的許多學術著作都是用希臘文撰寫，但大部分早已失傳。其主要著作有《度量》《測體積學》《幾何》等。

海倫曾在亞歷山大博物館工作過。在那里，他傳授幾何、物理、氣體學和機械學。他的書可分成兩類：一類是理論的部分，包括幾何、算數、天文學和物理；另一類是技能指南的部分，包括物質學、建筑學、木工和生活上使用到的技巧。天文學方面，他提出如何利用月亮來測量亞歷山大城到羅馬城的距離；氣體學方面，他提出如何利用空氣、河流和水壓來制作機械，并將其運用到戰場上；物理學方面，他利用杠桿、滑輪、階梯或螺旋來撐起重物，并考慮物體的中心等問題；數學方面，他已經會求三角形和正方形的面積，知道邊數是3～12的正多面體種類，錐和柱的表面積算法，并且會算平方根的近似值，實際上他也找出了1～100所有的數的立方根，當然海倫最著名的是證明了“海倫公式”。

海倫的著作介紹

海倫在數學方面最能代表其成就的是《度量》（Metrica）。該書共分為三卷：第一卷由矩形和三角形開始，討論了平面圖形和立體表面的面積，并給出了著名的“海倫公式”；第二卷探討立體圖形，包括圓錐體、圓柱體、棱柱體等立體體積的求法；第三卷介紹了平面和立體圖形按給定比例的分割，并用到了求立方根的近似公式。

海倫另外一部關于測地學的著作《測量儀器》（Dioptra）也很有名。在這本書中，他對如何在隧道兩端同時動工而能使之銜接給出說明，并解釋如何測量兩地的距離，包括有一地不能到達以及兩地均能看見但均不能到達的情形；同時他也說明如何從已知點到不可及的一線作垂線，以及無須進入地面而如何測量這塊地的面積。

海倫的著作摻和了嚴密數學、近似方法以及前人的公式，他繼承了前人的測量科學并將其發揚光大。他的測地學著作被沿用了好幾百年。

2.3.2　托勒密

亞歷山大后期幾何學最富創造性的成就是三角學的建立，其中最卓越的代表人物是托勒密（約100—170）。

托勒密所著的《天文學大成》以公理化方法寫成，主要闡述了當時的天文歷法?！短煳膶W大成》中應用了大量的數學知識。

將圓周分成了360°，引入了角度的60進制。

列出了0 °～180°每隔°的圓心角所對的弦的長度，相當于給出了0°～90°間隔°的角的正弦值。

提出并證明了托勒密定理：在一個內接四邊形中，如圖所示，有AB×CD+AD×BC=AC×BD。

給出了3個三角函數恒等式：

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人物小史與趣事

托勒密（約100—170），古希臘后期著名天文學家、數學家、地理學家、光學家，生前主要活動在亞歷山大城，為托勒密王朝服務。他一生寫了多部科學著作，其中有3部對科學發展有重大影響。第一部是最負盛名的《天文學大成》，也叫《大成》或《至大論》；第二部是《地理學指南》，全面探討了古希臘羅馬地區的地理知識；第三部是有關占星學的《四書》，其嘗試改進占星術中繪制星圖的方法，以便融入亞里士多德的自然哲學。

不準確的地圖

托勒密對地理位置的計算很不準確，據說他計算出的從歐洲橫跨大西洋到亞洲的距離，比真實距離要小得多。這導致哥倫布企圖從西班牙向西駛往亞洲印度，結果到了美洲，發現了新大陸。

“地心說”的故事

托勒密信奉亞里士多德的地心說，并且完善了地心理論。他認定“地球在世界的中央，所有的重物都朝著它運動”。

他設計了偏心輪、本輪和均輪三種圓周運動，還用它們的組合來描述各個行星的運動，比較成功地預言了行星的視位置，對天文學的發展有一定的貢獻。

直到16世紀中期哥白尼的日心說發表，地心說才被推翻。

2.3.3　丟番圖

古希臘數學亞歷山大后期的一個重要特征，是突破了前期以幾何學為中心的傳統，使算術和代數成為獨立的學科，這方面的先行者是尼可馬科斯（約1世紀）。在所有亞歷山大后期的數學著作中，對古典希臘幾何傳統最離經叛道的一本是丟番圖（約246—330）的《算術》。這部著作用純分析的途徑處理數論與代數問題，可以看作是希臘算術與代數成就的最高標志。

《算術》是本問題集，主要討論了數論問題，包含了多項數學成就，共13卷，290個問題。書中廣泛研究了不定方程問題。

1637年，法國數學家費馬受其啟發，提出了“費馬猜想”。

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人物小史與趣事

丟番圖（約246—330），古希臘亞歷山大學后期的重要學者和數學家，是代數學的創始人之一，有“代數之父”之稱。關于他的生平今天人們僅知道兩件事：一是其曾在亞歷山大后期的一個基督學校教過書，其著名的《算術》就是獻給學校校長的一本教材；二是其活了84歲，年齡是后人通過公元5世紀希臘詩文集中收錄的一首丟番圖的墓志銘推算出來的。丟番圖對算術理論有深入的研究，其完全脫離了幾何形式，在希臘數學中獨樹一幟。

丟番圖的墓志銘

在《希臘詩文集》中，麥特羅爾寫了丟番圖的墓志銘。

墓志銘是用詩歌形式寫成的：“過路的人！這兒埋葬著丟番圖。請計算下列數目，便可知他一生經過了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年。再過去一生的七分之一，他建立了幸福的家庭。五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數的一半。晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風燭殘年。請你算一算，丟番圖活了多久，才和死神見面？”

巧妙解題的故事

丟番圖最得意的學生叫帕普斯。他從很小的時候就開始跟隨著丟番圖學習數學。

有一天，帕普斯遇到一道讓他十分為難的問題：有4個數，把其中每三個相加，其和分別為20、22、24和27，求這四個數。

按照通常列方程解應用題的方法，帕普斯設4個數分別為t，依題意列方程組，可在求解時他被這個方程組搞得昏頭昏腦，難以順利進行。

百思不解的帕普斯只得向老師丟番圖請教，問是否有簡便的方法解答這個問題。

丟番圖看后笑著回答：“行?。⌒邪?！”隨即就給帕普斯講了一個極為簡單的解法。丟番圖一反常規，不去分設4個未知數，而是設4個未知數的和為x減去其余三個數之和所得的差，然后列方程解答。

丟番圖的解答讓帕普斯茅塞頓開，心悅誠服的他從此堅定了畢生從事數學研究的決心，后來也成為了一位著名的數學家。

2.3.4　帕普斯

亞歷山大最后一位重要的數學家是帕普斯（約300—350）。他唯一的傳世之作《數學匯編》是一部總結前人成果的經典著作，在數學史上有著特殊的意義。

帕普斯證明了等周問題，即周長相等的平面圖形中圓面積最大。

帕普斯證明了圓錐曲線的焦點和準線性質：一動點到一定點的距離與到一直線的距離比等于常數，則動點軌跡為圓錐曲線。當常數等于1時為拋物線，小于1時為橢圓，大于1時為雙曲線。

帕普斯發現了旋轉體的體積計算（帕普斯幾何中心定理，也叫古爾丁定理）：一個平面繞一平面上的軸線旋轉而成的立體的體積，等于這個圖形面積乘以其重心相應半徑所畫的圓周長。

帕普斯證明了“帕普斯問題”：設P1、P2、P3是一點到3條固定直線的距離，若，λ是常數，則點的軌跡為圓錐曲線。

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人物小史與趣事

帕普斯

帕普斯（或巴普士，約300—350），古希臘數學家，是古希臘后期最偉大的幾何學家。帕普斯一生有大量著作，但可惜只有《數學匯編》保存下來?！稊祵W匯編》不僅對前輩學者的著作做了系統性的整理，而且還發展了前輩的某些思想，保存了很多古代珍貴的數學作品的資料，對數學史具有重大的意義。

帕普斯定理

設a、b、c、d、e和f 為平面上6條直線。如果a與b的交點A、c與d的交點B、e與f的交點C共線，且d 與e的交點A'、a與f 的交點B'、b與c的交點C'共線，則a與d的交點X、b與e的交點Y、c與f 的交點Z共線。這個定理叫作帕普斯定理。

帕普斯與《數學匯編》

《數學匯編》共有8篇：第1篇是算術；第2篇提出了連乘法；第3篇是關于平面幾何與立體幾何，其中有尋找兩條已知線段的比例中項問題，有關于算術平均、幾何平均、調和平均以及把三者表示在一個幾何圖形上的問題，并揭示了如何把正五面體內接于一個球內；第4篇是關于3個已知圓彼此外切問題，還詳細討論了阿基米德螺線、尼科梅德斯蚌線及希庇亞斯割圓曲線問題等，并涉及任何角的三等分問題；第5篇是關于面積和體積問題；第6篇是對先前的天文學家和數學家的著作的評注；第7篇闡述了術語分析和綜合以及定理和問題之間的區別；第8篇主要是關于力學。