3.1 古印度數學

3.1.1　古印度數學的主要成就

（1）《繩法經》

導圖

（2）古印度的十進制計數法

（3）古印度的算術與代數學

（4）古印度的幾何學

（5）三角學

人物小史與趣事

阿利耶毗陀

阿利耶毗陀（5—6世紀）是古印度首屈一指的數學家及天文學家，他在天文學方面最著名的學說是他的“日心說”。阿利耶毗陀的《阿利耶毗陀論》在公元8—9世紀被譯成阿拉伯文，之后傳入處于文藝復興前夕的意大利佛羅倫薩以及歐洲其他地方。哥白尼于1500～1503年曾在意大利留學，因此完全有可能接觸到阿利耶毗陀的學說。《阿利耶毗陀歷數書》提出了子夜作為一天的開始的科學觀念。

阿利耶毗陀提出的以數學作為天文學研究的基礎科學方法，對于印度后世天文學的發展產生了深遠的影響。

A. L. 巴沙姆認為：“在數學方面，西方世界受惠于古印度的程度無論怎樣估量都不會過度。若是沒有發達的數字系統，大多數歐洲引以自豪的偉大發明都是不可能的，如果歐洲一直被不方便使用的羅馬數字所束縛，這些發現與發明也都是不可能的。”美國科學史學者薩爾頓也曾經指出：“我們現在所使用的數字和零，是印度教徒發明的，然后經由阿拉伯人傳給我們。”這些評價總算厘清了事實，無疑是得當的。零的概念是在古印度形成的，和古印度宗教哲學中的“空”的觀念有關。無窮大似乎也和古印度哲學中認為宇宙本源是無限的這一觀念有關。零與無窮大的概念，直到中古時期才得到完全的理解。

公元5世紀的阿利耶毗陀在數學方面最引人矚目的成就是計算出了圓周率π的近似值是3.1416。同時期我國南朝偉大的數學家祖沖之也計算出了圓周率的值，他推算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間。應當說阿利耶毗陀和祖沖之代表了當時世界數學的最高成就，他們計算出的圓周率值比古希臘人精確。隨后，印度的數學家們又將圓周率的值計算到小數點后9位。

3.1.2　河谷文明時期與吠陀時期

（1）河谷文明時期

由于達羅毗荼人的象形文字至今不能解讀，所以對這一時期古印度數學的實際情況了解得很少。古印度數學最早有可考文字記錄的是吠陀時代，其數學材料混雜在婆羅門教的經典《吠陀》當中。

此時期的當地人已能建造房屋、排水溝、建設城市等，可見當時已有了大量計算方面的知識。

導圖

從印度哈拉帕地區出土的陶器和青銅器上，我們看到了直線、矩形、三角形、圓等一些幾何圖形，可見當時已有了一些幾何知識。

那個時期古印度的達羅毗荼人使用的文字至今不能被完全識讀，因而當時的數學發展水平尚不清楚。

（2）吠陀時期

創造了十進制計數法。

有了四則運算、開方運算和分數運算等。

討論了幾何作圖問題。

研究了圓的有關性質。

研究了排列組合問題。

3.1.3　悉檀多時期

悉檀多時期是古印度數學的繁榮鼎盛時期，其數學內容主要是算術與代數，出現了一些著名的數學家，如阿耶波多（476—550）、婆羅摩笈多（598—665）、馬哈維拉（公元9世紀）和婆什伽羅（1114—1185）等。

導圖

（1）阿耶波多

（2）婆羅摩笈多

（3）馬哈維拉

（4）婆什伽羅

人物小史與趣事

阿耶波多（476—550），現在知道的古印度最早的數學家和天文學家。其生平現在的人們知道的甚少。其著作主要有二部，一本是《阿耶波多歷數書》，另一本是《雅利安悉檀多》。《阿耶波多歷數書》中阿耶波多論述了計數法，整數的運算法則，自然數平方，立方求和公式，分數的約分和通分法則，三率法、算術數列、三角垛等算術問題，假設法、逆行法和特殊的線性方程組解法及一次不定方程（組）的解法。1976年，為紀念阿耶波多誕生1500周年，印度發射了以阿耶波多命名的第一顆人造衛星。

阿耶波多的數位體系

公元3世紀首次使用的數位體系也在阿耶波多的著作中出現，雖然他沒有開始使用符號，但法國數學家喬治?愛法爾認為阿耶波多在他的著作中暗示了將0作為10的指數運用在系數為1的變量前。然而，阿耶波多并沒有使用婆羅米文中的數學符號，而是使用字母表中的字母去代表數字。

阿耶波多的出生地

阿耶波多出生于拘蘇摩補羅，距現今的巴特拉不是很遠。巴特拉當時叫華氏城，是一座有名的古城，釋迦牟尼晚年曾行教至此。華氏城先后是孔雀王朝、笈多王朝的都城。公元5世紀初，即阿耶波多出生前近一個世紀，我國的高僧法顯曾在華氏城的佛教寺院從事學術活動。

阿耶波多與《阿耶波多歷數書》

《阿耶波多歷數書》是古印度的數學著作，由印度數學家、天文學家阿耶波多著，完成于公元499年。該書共有詩121行，分為四部分。

第一部分13行為引言，其中10行以非常簡略的形式給出了阿耶波多的天文系統中最重要的數據。他采用了特殊的字母符號，如給出地球直徑是1050尤加那，太陽直徑為4410尤加那，月亮直徑是315尤加那，還給出了太陽系中其他行星的直徑。

第二部分論述數學，共33行。

第三部分共25行，有關計時與行星模型，屬于天文歷法內容。

第四部分共50行，是關于球的測量。

《阿耶波多歷數書》主要涉及：計數法；整數的運算法則；自然數平方、立方等求和公式；分數約分和通分法則；三率法、算術序列、三角垛等算術問題；假位法、逆推法、特殊的線性方程組解法及一次不定方程（組）解法；建立“庫塔卡”算法（粉碎法）解一次不定方程；從利息問題引出的二次方程求根公式；直線形面積公式；勾股定理，并借此解決弓形中弦矢關系及相交兩圓弦矢關系的問題。

人物小史與趣事

婆羅摩笈多（598—665），印度著名數學家和天文學家，屬于烏賈因學派。他的著作主要有兩部：《婆羅摩修正體系》和《肯德卡迪亞格》。這兩部雖是天文學著作，但都涉及了數學。婆羅摩笈多的一些數學成就在世界數學史上有較高的地位。

婆羅摩笈多的負數概念

婆羅摩笈多提出的負數概念，用小點或小圈記在數字上面以表示負數，并給出了負數的運算法則。如“兩個正數之和為正數，兩個負數之和為負數，一個正數和一個負數之和等于它們的差”；再如“一個正數與一個負數的乘積為負數，兩個負數的乘積為正數，兩個正數的乘積為正數”等。婆羅摩笈多的負數概念及加減法則僅晚于中國《九章算術》，而早于世界其他各國，他的負數乘除法法則在世界都是領先的。

解佩爾方程

婆羅摩笈多在數學上最突出的貢獻就是解佩爾方程。1767年，J．L．拉格朗日運用連分數理論，給出了佩爾方程的完全解答。事實上，婆羅摩笈多早在公元628年便幾乎完全解出了這種方程，只是當時不為歐洲人所知。后來，他的解法被婆什伽羅改進。

婆什伽羅

婆什伽羅（1114—1185），印度中世紀著名的數學家和天文學家。他出生于婆羅門族家庭，成年后效力皇家，長期主持天文臺工作。他著有多部與天文學有關的著作，如《莉拉沃蒂》《算法本源》等。婆什伽羅比牛頓、萊布尼茨早五個世紀構想了微積分，被他們視為微積分的創立者。他也因證明了任何數除以0是無窮大、無窮大除以任何數依然是無窮大而著稱。

算數書《Lilavati》的故事

據說婆什伽羅占星，預知他的女兒Lilavati（莉拉沃蒂）的丈夫會在婚后很快死去。為避免這個悲劇發生，婆什伽羅要在一個他用一種特殊儀器測量的精確的時間地點舉辦婚禮。

他把儀器放在一個房間，并放上警示提醒Lilavati不要靠近。但Lilavati好奇，往儀器里窺視，剛巧她鼻環上的一顆珍珠掉了進去，干擾了儀器。

婚禮在錯誤的時間舉行，Lilavati很快就成了寡婦。據傳婆什伽羅教授了她很多數學來給她散心，并為她寫成了算數書《Lilavati》。

婆什伽羅妙算

婆什伽羅編的許多數學題被人稱作“印度問題”，在很多國家廣泛流傳。其中有一道著名的數學題如下。

某人對他的朋友說：“如果你給我100枚銅幣，我將比你富2倍。”

朋友回答說：“你只要給我10枚銅幣，我就比你富6倍。”

問兩人各有多少銅幣？

婆什伽羅發現了一種很巧妙的算法：設這個人有2x=70，即兩人分別有40和170枚銅幣。

我國古代數學著作《張邱建算經》里有一個類似的題目：“有甲、乙兩人攜錢各不知其數，若乙給甲十錢，則甲比乙所多的是乙余數的5倍；若甲給乙十錢，則兩人錢數相等。問甲、乙各有多少錢？”

更早些，《希臘文集》里已有了著名的“歐幾里得問題”的記載：“驢子和騾子馱著貨物并排走在大路上，驢子不住地抱怨馱的貨物太重，壓得受不了。騾子對它說：‘你發什么牢騷啊！我馱的比你更重。如果你給我1口袋，我馱的貨物就是你的2倍；而我給你1口袋，咱倆才剛好一般多。’問驢子和騾子各馱了幾口袋貨物？”