2.1　初等模型

一個數(shù)學模型的優(yōu)劣取決于它的應用效果，而不是在于它采用了多么高深的數(shù)學方法。對于某個實際問題，如果能夠用初等方法建立數(shù)學模型，并且和所謂的高等方法相比較具有同樣的應用效果，那么簡單、有效的方法將更受人們歡迎。

本節(jié)研究對象的機理比較簡單，一般用靜態(tài)、線性、確定性模型描述就能達到建模的目的，基本上可以用初等數(shù)學和簡單的微積分的方法來構造和求解模型。通過下面的幾個實例能夠看到，用很簡單的數(shù)學方法就可以解決一些有趣的實際問題。

2.1.1　桌子能放平嗎

把一把四只腳的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只要稍挪動幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了。如何解釋這種現(xiàn)象？

（1）模型假設

①椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸可視為一個點，四腳的連線呈正方形。

②地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面。

③對于椅腳的間距和椅腳的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。

（2）問題分析

這個例子說明了對實際問題作出合理的、簡化的假設，以便于用數(shù)學語言確切地表述實際問題的重要性。任何位置椅子總有三只腳同時著地，中心問題轉化為用數(shù)學語言把椅子四只腳同時著地的條件和結論表示出來。

（3）模型建立

為了用數(shù)學語言來表示椅子四只腳著地的條件和結論，首先用變量表示椅子的位置，由于椅腳的連線呈正方形，以中心為對稱點，正方形繞中心的旋轉正好代表了椅子的位置的改變，于是可以用旋轉角度θ這一變量來表示椅子的位置。其次要把椅腳著地用數(shù)學符號表示出來，如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離，當這個距離為零時，表示椅腳著地了。椅子要挪動位置說明這個距離是位置變量θ的函數(shù)（圖2.1）。

由于正方形的中心對稱性，只要設兩個距離函數(shù)就行了，記A、C兩腳與地面距離之和為f（θ），B、D兩腳與地面距離之和為g（θ），顯然f（θ）、g（θ）≥0，由模型假設②知f（θ）、g（θ）都是連續(xù)函數(shù)，再由模型假設③知f（θ）、g（θ）至少有一個為0。當θ=0時，不妨設g（θ）=0，f（θ）>0，這樣改變椅子的位置使四只腳同時著地，就歸結為如下命題2.1。

命題2.1　已知f（θ）、g（θ）是θ的連續(xù)函數(shù)，對任意θ，f（θ）g（θ）=0，且g（0）=0，f（0）>0，則存在θ0，使g（θ0）=f（θ0）=0。

（4）模型求解

將椅子旋轉90°，對角線AC和BD互換，由g（0）=0，f（0）>0可知g（π/2）>0，f（π/2）=0。令h（θ）=f（θ）-g（θ），則h（0）>0，h（π/2）<0，由f，g的連續(xù)性知h（θ）也是連續(xù)函數(shù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理，必存在θ0（0<θ0<π/2）使h（θ0）=0，g（θ0）=f（θ0），由g（θ0）f（θ0）=0，所以g（θ0）=f（θ0）=0。

（5）模型的進一步討論

本模型的巧妙之處在于用一元變量表示椅子的位置，用兩個連續(xù)函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離，從而把椅子四腳著地的結論用簡單準確的數(shù)學語言描述出來，進而構造了數(shù)學模型。但是如果對模型假設做一些改變，會有什么結果出現(xiàn)呢？

①考慮椅子四腳呈長方形的情形。設A、B兩腳與地面距離之和為f（θ），C、D兩腳與地面距離之和為g（θ），θ為AC連線與x軸正向的夾角（圖2.2）。顯然f（θ）、g（θ）≥0，由模型假設②知f（θ）、g（θ）都是連續(xù)函數(shù)，再由模型假設③知f（θ）、g（θ）至少有一個為0。當θ=0時，不妨設g（θ）=0，f（θ）>0，這樣改變椅子的位置使四只腳同時著地，就歸結為如下命題2.2。

命題2.2　已知f（θ）、g（θ）是θ的連續(xù)函數(shù)，對任意θ，f（θ）g（θ）=0，且g（0）=0，f（0）>0，則存在θ0，使g（θ0）=f（θ0）=0。

將椅子繞對稱中心旋轉180°（π），正方形ABCD變成C'D'A'B'了（圖2.2），即AB與CD互換，由g（0）=0，f（0）>0可知g（π）>0，f（π）=0。令h（θ）=f（θ）-g（θ），則h（0）>0，h（π）<0，由f（θ）、g（θ）的連續(xù)性知h（θ）也是連續(xù)函數(shù)，由零點定理可得，必存在θ0（0<θ0<π）使h（θ0）=0，即g（θ0）=f（θ0），由g（θ0）f（θ0）=0，所以g（θ0）=f（θ0）=0。

從而可見模型假設①的“四腳連線成正方形”不是本質的。

②考慮椅子四腳呈不規(guī)則四邊形（即任意四邊形）的情形。在椅子四腳連線所構成的四邊形ABCD的內部任取一點O，作為坐標原點，建立直角坐標系（圖2.3），記AO與x軸正向夾角為θ，記A、B兩腳與地面距離之和為f（θ），C、D兩腳與地面距離之和為g（θ），根據(jù)模型假設③不妨設當θ=θ1時，g（θ1）=0，f（θ1）>0，將椅子逆時針旋轉一定角度，使A、B兩腳與地面之和為0，此時，AO與x軸正向的夾角變?yōu)?span id="5g4relr" class="italic">θ2，由模型假設③（任意時刻椅子至少有三只腳著地）易知當θ=θ2，f（θ2）=0，g（θ2）≥0，令h（θ）=f（θ）-g（θ），則h（θ1）>0，h（θ2）<0，由f（θ）、g（θ）的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)，由零點定理可得，必存在θ0（θ1<θ0<θ2），θ1∈［0，2π），θ2∈（θ1，2π］，使h（θ0）=0，即g（θ0）=f（θ0），由g（θ0）f（θ0）=0，所以g（θ0）=f（θ0）=0。

利用正方形的中心對稱性及旋轉90°并不是本質的。并且，可以得到更一般的結論：四腳連線為不規(guī)則四邊形的椅子能在不平的地面上放穩(wěn)。

2.1.2　雙層玻璃窗的功效

北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層玻璃且中間留有一定的空隙。據(jù)說這樣做的目的是為了保暖，即減少室內的熱量向室外流失。下面將要建立一個模型來描述熱量通過窗戶的流失（即擴散）過程，并將雙層玻璃窗與同樣多材料做成的單層玻璃窗的熱量流失進行對比，對雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結果（圖2.4）。

（1）符號假定

詳見表2.1中所列。

（2）模型假設

①熱量的損失過程只有傳導，沒有對流，即假定窗戶的密封性能良好，兩層玻璃之間的空氣是不流動的。

②室內溫度T1與室外溫度T2保持不變，熱傳導過程已處于穩(wěn)定狀態(tài)，即沿熱傳導方向，單位時間通過單位面積的熱量是常數(shù)。

③玻璃材料均勻，熱傳導系數(shù)是常數(shù)。

（3）問題分析

在上述假設下熱傳導過程遵從下面的物理定律：厚度為D的均勻介質，兩側溫度差為ΔT，則單位時間由溫度高的一側向溫度低的一側通過單位面積的熱量Q，與ΔT成正比，與D成反比，即

　　 （2.1） 　　

（4）模型建立及求解

記雙層玻璃窗內玻璃的外側溫度為Ta，外側玻璃窗的內側溫度為Tb，玻璃的熱傳導系為k1，空氣的熱傳導系數(shù)為k2，由式（2.1）得單位時間單位面積的熱量流失（即熱量傳導的量）為：

　　 （2.2） 　　

從式（2.2）中消去Ta，Tb可得

　　 （2.3） 　　

對于厚度為2D的單層玻璃窗，容易寫出單位時間單位面積的熱量流失為：

　　 （2.4） 　　

　　 二者之比為 　　 　　 （2.5）

顯然Q<Q'。為了得到更具體的結果，需要得到k1與k2的數(shù)據(jù)（或比值）。從有關資料可知，我們作最保守的估計，取。由式（2.3）和式（2.5）可得。比值反映了雙層玻璃窗在減少熱量損失上的功效，它只與有關，但一般來說h不宜也不可能過大，在實際中一般取值小于5。

（5）模型應用

這個模型具有一定的應用價值，盡管在制作雙層玻璃窗方面會增加一些費用，但它減少的熱量損失卻是相當可觀的。通常，建筑規(guī)范要求h近似等于4。按照這個模型，計算出，即雙層玻璃窗比同樣多的玻璃材料做成的單層玻璃窗節(jié)約熱量97％左右。當然實際中雙層窗戶的功效會比上述結果要差一些，因為還有其他的一些因素沒有考慮到。

本模型應用簡單的物理學定律，在適當合理的假設之下建立數(shù)學模型，很好地解決了雙層玻璃窗的能量節(jié)約問題，既實用又有效，這是一個利用初等數(shù)學知識解決實際問題的很好的例子。

2.1.3　動物的身長與體重

在生豬收購站或屠宰場工作的人們，有時希望由生豬的身長估計其體重，對于沒有磅秤的邊遠山區(qū)的農民而言，這有一定的實際意義。試建立數(shù)學模型討論四足動物的軀干的長度（不含頭、尾）與它的體重的關系。

（1）問題分析

不同種類的動物，其生理構造不盡相同，如果對此問題陷入對生物學復雜生理結構的研究，就很難得到所要求的具有應用價值的數(shù)學模型并導致問題的復雜化。因此舍棄具體動物的生理結構討論，僅借助力學的某些已知結果，采用類比方法建立四足動物的身長和體重關系的數(shù)學模型。

建模的基本原理：類比法是依據(jù)兩個對象的已知的相似性，把其中一個對象的已知的特殊性質遷移到另一對象上去，從而獲得另一個對象的性質的一種方法。它是一種尋求解題思路、猜測問題答案或結論的發(fā)現(xiàn)的方法，而不是一種論證的方法，它是建立數(shù)學模型的一種常見的、重要的方法。

（2）模型假設與求解

對于生豬，其體重越大，軀干越長，則其脊椎下陷越大，這與彈性梁類似，故可以通過彈性梁理論來研究生豬的身長與體重問題。

為了簡化問題，把生豬的軀干看作圓柱體，設其長度為l、直徑為d、斷面面積為s（圖2.5）。將這種圓柱體的軀干類比作一根支撐在四肢上的彈性梁，這樣就可以借助力學的某些結論研究動物的身長與體重的關系。

設動物在自身體重f的作用下，軀干的最大下垂度為b，即彈性梁的最大彎曲。根據(jù)對彈性梁的研究，可以知道。又由于f∝sl（體積），于是

　　 （2.6） 　　

式中，b是動物軀干的絕對下垂度；b/l是動物軀干的相對下垂度。b/l太大，四肢將無法支撐動物的軀干，b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費，因此，從生物學角度可以假定，經過長期進化，對于每一種動物而言，b/l已經達到其最適宜的數(shù)值，換句話說，b/l應視為與動物尺寸無關的常數(shù)，而只與動物的種類有關。

因此

l3∝d2　　（2.7）

又由于f∝sl，s∝d2，故f∝l4，從而

f=kl4　　（2.8）

由此可見四足動物的體重與軀干長度的四次方成正比。這樣，對于某種四足動物（如生豬），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定上述比例系數(shù)k后，就可以依據(jù)上述模型，由軀干的長度估計出動物的體重了。

（3）模型的討論

本模型的建立，應用了簡單的比例關系，稱為比例模型。建模原理比較簡單，往往需要結合借鑒其他學科的專業(yè)知識。

本模型中通過類比法將動物的軀干類比作彈性梁是一個十分大膽的假設，其假設的合理性，模型的可信度應該通過實際數(shù)據(jù)進行檢驗。但這種思考問題、建立數(shù)學模型的方法是值得借鑒的。在上述問題的研究中，如果不熟悉彈性梁、彈性力學的有關知識，就不可能把動物軀干類比作彈性梁，就不可能想到將動物軀干長度和體重的關系這樣一個看來無從下手的問題，轉化為已經有明確研究成果的彈性梁在自重作用下的撓曲問題。

類比法的作用是啟迪思維，幫助我們尋求解題的思路，而它對建模者的要求是具有廣博的知識，只有這樣才能將所研究的問題與某些已知的問題、某些已知的模型建立起聯(lián)系。為了進一步說明類比法的應用，再通過一個揭示商品包裝規(guī)律的模型加以說明。

（4）比例模型的進一步應用：商品包裝的規(guī)律

許多商品都是包裝出售的，同一種商品的包裝也有大小不同的規(guī)格。而且可以注意到，同一種商品大包裝的單位價格比小包裝的單位價格低。試建立數(shù)學模型，分析商品包裝的內在規(guī)律。

模型的基本假設如下。

①商品的生產和包裝的工作效率是固定不變的。

②商品包裝的成本只由包裝的勞動力投入和包裝材料的成本構成。

③商品包裝的形狀是相似的，包裝材料相似。

模型的符號說明如下。

a——生產一件商品的成本；

b——包裝一件商品的成本（b1、b2分別表示勞動力和包裝材料的成本）；

w——每件商品的重量；

s——每件商品的表面積；

v——每件商品的體積；

c——每件商品的單位成本。

由上面的模型假設①，可以認為商品的生產成本a正比于商品的重量w，即

a=k1w　（k1∈R）

顯然，包裝的勞動力成本b1正比于商品的重量，即b1=k2w（k2∈R）。由上面的模型假設③商品包裝材料的成本b2正比于商品的表面積s，而商品的表面積s與體積有如下關系，商品的體積又正比于重量，于是有

每件商品的單位成本c為

　　 （2.9） 　　

這就是商品重量為w時單位商品總成本c的數(shù)學模型。

不難看出，c是w的減函數(shù)，表明當包裝增大時每件商品的單位成本將下降，這與平時的生活經驗是一致的。如果這個模型只是敘述上面的事實，它就顯得十分平庸，因為它沒有超出生活經驗上的認識。僅這一點，這個模型的價值就很有限。那么是否能從模型得出其他更深入的結論？

下面從定性分析的角度進一步討論模型的性質。可以看到商品單位成本c隨商品重量w增加的下降速率，它也是商品重量w的減函數(shù)，表明當包裝比較大時商品單位成本的降低越來越慢。因此，當購買商品時，并不一定是越大的包裝越合算。這是一個一般人不一定了解的結論。

2.1.4　公平的席位分配

分配問題是日常生活中經常遇到的問題，它涉及如何將有限的人力或其他資源以“完整的部分”分配到下屬部門或各項不同任務中，分配問題涉及的內容十分廣泛。例如：大到召開全國人民代表大會，小到某學校召開學生代表大會，均涉及到將代表名額分配到各個下屬部門的問題。代表名額的分配（亦稱為席位分配問題）是數(shù)學在人類政治生活中的一個重要應用，應歸屬于政治模型。一個自然的問題是如何分配代表名額才是公平的呢？

（1）問題的描述

在數(shù)學上，代表名額分配問題的一般描述是：設名額數(shù)為N，共有s個單位，各單位的人數(shù)分別為pi，i=1，2，…，s。問題是如何尋找一組整數(shù)n1，n2，…，ns使得n1+n2+…+ns=N，其中ni是第i個單位所獲得的代表名額數(shù)，并且“盡可能”地接近它應得的份額，即所規(guī)定的按人口比例分配的原則。

（2）模型的建立與求解

如果對一切的i=1，2，…，s，嚴格的比值恰好是整數(shù)，則第i個單位分得ni名額，這樣分配是絕對公平的，每個名額所代表的人數(shù)是相同的。但由于人數(shù)是整數(shù)，名額也是整數(shù)，ni是整數(shù)這種理想情況是極少出現(xiàn)的，這樣就出現(xiàn)了用接近于ni的整數(shù)之代替的問題。在實際應用中，這個代替的過程會給不同的單位或團體帶來不平等，這樣以一種平等、公正的方式選擇ni是非常重要的，即確定盡可能公平（不公平程度達到極小）的分配方案。

引例　設某校有3個系（s=3）共有200名學生，其中甲系100名（p1=100），乙系60名（p2=60），丙系40名（p3=40）。該校召開學生代表大會共有20個代表名額（N=20），公平而又簡單的名額分配方案是按學生人數(shù)的比例分配，顯然甲乙丙三個系分別應占有n1=10，n2=6，n3=4個名額。這是一個絕對公平的分配方案。現(xiàn)在丙系有6名同學轉入其他兩系學習，這時p1=103，p2=63，p3=34，按學生人數(shù)的比例分配，此時ni不再是整數(shù)，而名額數(shù)必須是整數(shù)。一個自然的想法是：對ni進行“四舍五入取整”或者“去掉尾數(shù)取整”，這樣將導致名額多余或者名額不夠分配。因此，我們必須尋求新的分配方案。

①哈密頓（Hamilton）方法。哈密頓方法具體操作過程如下：

第一步，先讓各個單位取得份額ni的整數(shù)部分［ni］；

第二步，計算ri=ni-［ni］，按照從大到小的數(shù)序排列，將余下的席位依次分給各個相應的單位，即小數(shù)部分最大的單位優(yōu)先獲得余下席位的第一個，次大的取得余下名額的第二個，依此類推，直至席位分配完畢。

哈密頓方法看來是非常合理的，但這種方法也存在缺陷。譬如當s和人數(shù)比例不變時，代表名額的增加反而導致某單位名額ni的減少。

上述三個系的20個名額的分配結果見表2.2。

考慮上述某校學生代表大會名額分配問題。因為有20個代表參加的學生代表大會在表決某些提案時可能出現(xiàn)10:10的局面，會議決定下一屆增加一個名額。按照哈密頓方法分配結果見表2.3。

顯然這個結果對丙系是極其不公平的，因為總名額增加一個，而丙系的代表名額卻由4個減少為3個。由此可見，哈密頓方法存在很大缺陷，因而被放棄。

②惠丁頓（Huntington）方法。惠丁頓方法是在20世紀20年代初期由哈佛大學數(shù)學家惠丁頓提出的一個新方法。

眾所周知，pi/ni表示第i個單位每個代表名額所代表的人數(shù)。很顯然，當且僅當pi/ni全相等時，名額的分配才是公平的。但是，一般來說，它們不會全相等，這就說明名額的分配是不公平的，并且pi/qi中數(shù)值較大的一方吃虧或者說對這一方不公平。同時我們看到，在名額分配問題中要達到絕對公平是非常困難的。既然很難做到絕對公平，那么就應該使不公平程度盡可能小，因此我們必須建立衡量不公平程度的數(shù)量指標。

不失一般性，我們考慮A，B雙方席位分配的情形（即s=2）。設A，B雙方的人數(shù)為p1，p2，占有的席位分別為n1，n2，則A，B的每個席位所代表的人數(shù)分別為p1/n1，p2/n2，如果p1/n1=p2/n2，則席位分配是絕對公平的，否則就是不公平的，且對數(shù)值較大的一方不公平。為了描述不公平程度，需要引入數(shù)量指標，一個很直接的想法就是用數(shù)值｜p1/n1-p2/n2｜來表示雙方的不公平程度，稱之為絕對不公平度，它衡量的是不公平的絕對程度。顯然，其數(shù)值越小，不公平程度越小，當｜p1/n1-p2/n2｜=0時，分配方案是絕對公平的。用絕對不公平度可以區(qū)分兩種不同分配方案的公平程度，例如：

p1=120，n1=9，p2=100，n2=11，，p1=120，n1=10，p2=100，n2=10，，顯然第二種分配方案比第一種更公平。但是，絕對不公平度有時無法區(qū)分兩種不公平程度明顯不同的情況：

第一種情形顯然比第二種情形更不公平，但它們具有相同的不公平度，所以“絕對不公平度”不是一個好的數(shù)量指標，我們必須尋求新的數(shù)量指標。這時自然想到用相對標準。下面我們引入相對不公平的概念。

如果p1/n1>p2/n2，則說明A方是吃虧的，或者說對A方是不公平的，則稱為對A的相對不公平度；如果p1/n1>p2/n2，則稱為對B的相對不公平度。

相對不公平度可以解決絕對不公平度所不能解決的問題，考慮上面的例子：

p1=120，n1=10，p2=100，n2=10

p1=10020，n1=10，p2=10000，n2=10

顯然均有p1/n1>p2/n2，此時，，與前一種情形相比后一種更公平。

建立了衡量分配方案的不公平程度的數(shù)量指標rA，rB后，制訂分配方案的原則是：相對不公平度盡可能小。首先我們作如下的假設：

a.每個單位的每個人都具有相同的選舉權利；

b.每個單位至少應該分配到一個名額，如果某個單位，一個名額也不應該分到的話，則應將其剔除在分配之外；

c.在名額分配的過程中，分配是穩(wěn)定的，不受任何其他因素所干擾。

假設A，B雙方已經分別占有n1，n2個名額，下面我們考慮這樣的問題。當分配名額再增加一個時，應該給A方還是給B方，如果這個問題解決了，那么就可以確定整個分配方案了，因為每個單位至少應分配到一個名額，我們首先分別給每個單位一個席位，然后考慮下一個名額給哪個單位，直至分配完所有名額。

不失一般性，假設p1/n1>p2/n2，這時對A方不公平，當再增加一個名額時，就有以下三種情形。

情形1：p1/（n1+1）>p2/n2，這表明即使A方再增加一個名額，仍然對A方不公平，所以這個名額應當給A方。

情形2：p1/（n1+1）<p2/n2，這表明A方增加一個名額后，就對B方不公平，這時對B的相對不公平度為。

情形3：p1/n1>p2/（n2+1），這表明B方增加一個名額后，對A方更加不公平，這時對A方的相對不公平度為。

公平的名額分配方法應該是使得相對不公平度盡可能小，所以若情形1發(fā)生，毫無疑問增加的名額應該給A方；否則需考察rB（n1+1，n2）和rA（n1，n2+1）的大小關系，如果rB（n1+1，n2）<rA（n1，n2+1），則增加的名額應該給A方，否則應該給B方。

注意到rB（n1+1，n2）<rA（n1，n2+1）等價于，而且若情形1發(fā)生，仍然有上式成立。記，則增加的名額應該給Q值較大的一方。

上述方法可以推廣到s個單位的情形，設第i個單位的人數(shù)為pi，已經占有ni個名額，i=1，2，…，s，當總名額增加一個時，計算

　　 （2.10） 　　

則這個名額應該分給Q值最大的那個單位。

表2.4是利用惠丁頓法重新分配三個系21個名額的計算結果。丙系保住了險些喪失的一個名額。

（3）模型的進一步討論

名額（席位）分配問題應該對各方公平是理所當然的，問題的關鍵是在于建立衡量公平程度的既合理又簡明的數(shù)量指標。惠丁頓法所提出的數(shù)量指標是相對不公平值rA，rB，它是確定分配方案的前提。在這個前提下導出的分配方案分給Q［式（2.10）］值最大的一方無疑是公平的。但這種方法也不是盡善盡美的，這里不再探討。由本例可知，在數(shù)學建模過程中，不在于所使用方法的難易，反而是根據(jù)問題的實際條件多方面、多角度地思考和解決問題才是更應該具備的素質。

2.1.5　效益的合理分配

聯(lián)盟與合作是現(xiàn)實生活各種經濟或者社會實體中經常遇到的問題，通常會獲取更大的經濟或者是社會效益。假設有n個實體，它們各自單獨經營都有一定的經濟效益。如果它們相互間的利益不是對抗性的，又有科學的管理方法，一般來說，聯(lián)合經營的總效益可以超過各自獨立經營所得效益之和，并且合作的實體越多，總效益就越高（否則就不會有合作）。因為各自的實力不同，優(yōu)點不一，由此各自的貢獻必定存在差異。為了鞏固合作的經營形式，必須有一個合理的分配制度。試建立數(shù)學模型對合作經營的效益進行合理的分配。

（1）問題分析

效益的分配方法有很多種，先來看一種簡單的分配方法：設n個實體各自經營時所得的效益分別為x1，x2，…，xn（非負）。聯(lián)合經營時所得的總效益為x，且。記

　　 （2.11） 　　

一般地，可以用，，…，作為這n個實體的效益分配值。

考慮到聯(lián)合經營的組合方式很多。對于n個實體而言，可以任意2個進行聯(lián)合，也可以任意三個進行聯(lián)合，任意四個聯(lián)合……直到全體聯(lián)合。如果各種組合方式都有實際效益。而又以全體聯(lián)合的總效益最高，于是式（2.11）并不能體現(xiàn)其他聯(lián)合形式的效益。由此我們的分配原則應該是使每個實體在全體聯(lián)合中的實際收入比它參加的除全體聯(lián)合的形式之外的任何形式的任何收入都高，至少應相等，同時要想使合作愉快，必須給出一個合理的唯一的分配方法，最好不要有多個方法出現(xiàn)。

（2）理論基礎

上述的問題稱為n人合作對策問題，其解（即分配方法）的確定有多種方法，如核心、穩(wěn)定集、談判解以及內核等，本模型主要采用Shapley值法，這是基于一系列公理化方法基礎之上建立起來的，具有很好的經濟意義，而且有極為簡單的求解方法，因此得到了廣泛的應用。

上述問題對應Shapley值法的基本定義和主要結論如下。

首先把n個實體的集合可以簡單地記作I={1，2，…，n}共n個自然數(shù)的集合，其中i∈I就表示第i個單位。設I的一個子集S={i1，i2，…，ik}，則S就是i1，i2，…，ik單位的集合。

現(xiàn)在考慮效益的符號表示。設I的一個子集S={i1，i2，…，ik}。以下用v（S）表示i1，i2，…，ik共k個單位合作的效益，也就是特征函數(shù)。若不考慮負效益，則特征函數(shù)v（S）總是一個非負實數(shù)。由此v（I）就是全體合作的效益；若i∈I，則記v（{i}）為v（i），它表示第i個單位獨自經營時的效益，同時規(guī)定v（ф）=0。

一般認為，合作的實體越多，總效益就越高。故對于v還可以補充假設：若S1，S2?I，且S1∩S2=ф，則

v（S1∪S2）≥v（S1）+v（S2）　　（2.12）

又設S?I，且i∈S，記S-{i}=S\i，稱v（S）-v（S\i）為i在S合作中的貢獻。由式（2.12）知，任何單位在任意合作中的貢獻都是非負的。

經過數(shù)學上的推導，可以證明每個單位的收益是唯一的，且第i個單位在合作經營中的收益為：

　　 （2.13） 　　

式中，｜S｜表示S中元素的個數(shù)；S（i）表示I中所有包含有i的子集的集合。

（3）案例分析

下面通過兩個實例進行說明。

【例2.1】　收入的分配　設乙、丙受雇于甲經商。已知甲獨自經營每月獲利1萬元；只雇乙可獲利2萬元；只雇丙可獲利3萬元；乙、丙都雇用可獲利4萬元。問：應如何合理分配這4萬元的收入？

將甲、乙和丙記為I={1，2，3}，特征函數(shù)分別為：v（{1，2，3}）=4，v（{1，2}）=2，v（{1，3}）=3，v（{1}）=1，v（{2，3}）=v（{2}）=v（{3}）=v（{ф}）=0。代入式（3.13）得：

即甲的收益為2.5萬元，乙的收益為0.5萬元，丙的收益為1.0萬元。這就是最后的效益分配結果。

【例2.2】　費用的分攤　設沿河依次有A，B，C三個城鎮(zhèn)（圖2.6）。A城在河流的上游，距B城有20千米，B城距河流下游的C城有38千米。規(guī)定各城的污水必須經過處理才能排入河中，三城可以單獨建立污水處理廠，也可以用管道將污水輸送到下游適當城鎮(zhèn)再聯(lián)合建廠。用Q表示污水量（噸/秒）。L表示管道長（千米），按照經驗公式，建廠費為p1=73Q0.712（千元），鋪設管道費用p2=0.66Q0.51L（千元）。且已知三鎮(zhèn)污水量分別為Q1=5，Q2=3，Q3=5。試從節(jié)約三鎮(zhèn)總投資的原則出發(fā)提出合理的建廠方案，并向三城鎮(zhèn)合理分攤所需的資金。

用1、2、3表示A，B，C三城鎮(zhèn)，C（·）表示對象的投資費用。首先注意到可以建廠的方案有以下4種，計算出投資費用以作出比較。

①A，B，C三城鎮(zhèn)分別建廠。

投資分別為C（1）=73×50.712≈230，C（2）=73×30.712≈160，C（3）=73×50.712≈230。

總投資D1=C（1）+C（2）+C（3）=620。

②A、B合作，在B城建廠。

投資C（1，2）=73×（5+3）0.712+0.66×50.51×20≈350，總投資D2=C（1，2）+C（3）=580。

③B，C合作，在C城建廠。

投資C（2，3）=73×（3+5）0.712+0.66×30.51×38≈365，總投資D3=C（1）+C（2，3）=595。

④三鎮(zhèn)合作，在C城建廠。

總投資為D4=C（1，2，3）

　　　　　=73×（5+3+5）0.712+0.66×50.51×20+0.66×（5+3）0.51×38≈556

比較結果以D4=556（千元）為最小，所以應選擇聯(lián)合建廠方案，下面的問題是如何分擔費用D4。

總費用D4中有三部分：聯(lián)合建廠費d1=73×（5+3+5）0.712≈453，A城至B城的管道費d2=0.66×50.51×20≈30，B城至C城的管道費d3=0.66×（5+3）0.51×38=73。C城提出，d1由三城按污水量比例5:3:5分擔，d2，d3是為A，B兩城鋪設的管道費，應由它們負擔；B城同意，并提出d3由A，B兩城按污水量比例5:3分擔，d2由A城自己負擔；A城提不出反對意見，但他們計算了按上述辦法各城應分擔的費用如下。

C城分擔的費用為：。

B城分擔的費用為：。

A城分擔的費用為：。

結果表明B、C兩城分擔的費用均比它們單獨建廠費用C（2），C（3）小，而甲城分擔的費用卻比C（1）大。顯然甲城不能同意這種分擔費用的辦法。

為了促成三城聯(lián)合建廠以節(jié)約總投資，應該尋求合理的分擔總費用的方案。三城的合作節(jié)約了投資，產生了效益，于是可以將分擔費用問題轉化為分配效益問題。將三個城市記為I={1，2，3}，將聯(lián)合建廠比單獨建廠節(jié)約的投資定義為特征函數(shù)，于是

　　v（{1}）=v（{2}）=v（{3}）=v（{ф}）=v（{1，3}）=0

　　v（{1，2}）=C（1）+C（2）-C（1，2）=40，v（{2，3}）=C（2）+C（3）-C（2，3）=25

　　v（{1，2，3}）=C（1）+C（2）+C（3）-C（1，2，3）=64

代入式（3.13）得

φ1（v）=19.7（千元），φ2（v）=32.1（千元），φ3（v）=12.2（千元）

看來乙城從總效益中分配的份額最大。最后得出在聯(lián)合建廠方案總投資556（千元）中，各城鎮(zhèn)的分擔費用分別為

A城　　　　C（1）-φ1（v）=230-19.7=210.3（千元）

B城　　　　C（2）-φ2（v）=160-32.1=127.9（千元）

C城　　　　C（3）-φ3（v）=230-12.2=217.8（千元）

（4）Shapley方法的局限性

Shapley方法以嚴格的公理為基礎，分配結果公正合理，操作簡單，易于實施，但也存在局限性，尤其當特征函數(shù)的值無法確定時，就無法使用Shapley方法了，這時就需要尋求其他方法進行求解，如協(xié)商解、均衡解等方法，感興趣的讀者可以查閱相關資料。