第一節　二階、三階行列式

一、二階行列式

一般的二元線性方程組形式如

　　 （1-1-1） 　　

其中，x1、x2為未知量，其余均為常數.

用加減消元法解這個方程組，能夠得到解的規范化公式.

方程一兩邊同時乘以a22，方程二兩邊同乘a12，得

方程一減去方程二得

（a11a22-a12a21）x1=b1a22-a12b2

同理可得　?。?span id="r1jqo4y" class="italic">a11a22-a12a21）x2=a11b2-b1a21

當a11a22-a12a21≠0時，方程組有唯一解：

　　 （1-1-2） 　　

為了便于記憶方程組的解，引進如下記號，令其表示a11a22-a12a21，即，稱此記號為二階行列式.

其中a11、a12、a21、a22稱為這個二階行列式的元素，橫排為行，豎排為列.二階行列式有兩行、兩列.元素aij中的i是行標，表示該元素位于第i行.j是列標，表示該元素在第j列.如a21位于第二行、第一列.二階行列式左上角到右下角的對角線稱為主對角線，右上角到左下角的對角線稱為次對角線.

計算二階行列式用對角線法則：主對角線上元素的乘積減去次對角線上元素的乘積.

這種計算也叫做行列式的展開.

根據定義，式（1-1-2）中的分子、分母可以分別記為：

因此可以把二元線性方程組的解式（1-1-2）記為

　　 （1-1-3） 　　

其中，D稱為該方程組的系數行列式，這里D≠0.

【例1-1-1】　解二元線性方程組

解：，所以方程組有唯一解.

于是方程組的解為：

二、三階行列式

對于三元線性方程組

　　 （1-1-4） 　　

解的一般形式更為復雜，因此需要引進類似的記號加以簡化.

用來表示代數和

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32

稱

aij（i，j=1，2，3）為三階行列式的元素；aij為第i行第j列上的元素.

三階行列式為六項的代數和，每一項為取自不同行、不同列的三個元素的乘積.

三階行列式的計算（展開）用對角線法則

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32

對角線法則只適用于二、三階行列式的計算.

對于三元線性方程組（1-1-4），當系數行列式時，如果記

則方程組有唯一解

　　 （1-1-5） 　　

【例1-1-2】　計算三階行列式

解：根據對角線法則，有

D=1×0×6+2×5×（-1）+3×4×0-3×0×（-1）-1×5×0-2×4×6

　=-10-48=-58

【例1-1-3】　a，b滿足什么條件時有？

【例1-1-4】　解三元線性方程組

因此，方程組有唯一解