第二節　矩陣的運算

一、矩陣的相等

定義2-2-1　設A=（aij）m×n，B=（bij）m×n，如果A與B對應位置的元素相等，稱矩陣A與矩陣B相等.即A=B當且僅當aij=bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）.

【例2-2-1】　設矩陣

且A=B，求a，b，c，d.

解：根據定義2-2-1，由A=B，即

則a=-2，b=1，c=3，d=-5.

二、矩陣的加法

定義2-2-2　兩個m行n列的矩陣A=（aij）m×n、B=（bij）m×n對應位置的元素相加得到的m行n列的矩陣，稱為矩陣A與矩陣B的和，記為A+B.即

A+B=（aij）m×n+（bij）m×n=（aij+bij）m×n

【例2-2-2】　現有兩種物資（單位：噸）從三個產地運往四個銷地，其調運方案分別為矩陣A和B，即

求從各產地運往各銷地的兩種物資的總運量.

解：兩種物資總運量

由矩陣的加法和負矩陣的概念可以定義矩陣的減法：

A-B=A+（-B）=（aij）m×n+（-bij）m×n=（aij-bij）m×n

由于矩陣的加法歸結于它們元素的加法，也就是數的加法，所以不難驗證矩陣加法滿足以下運算律：

（1）交換律：A+B=B+A.

（2）結合律：（A+B）+C=A+（B+C）.

（3）A+O=O+A=A.

（4）A+（-A）=O.

三、數與矩陣的乘法

定義2-2-3　以數k乘以矩陣A=（aij）m×n的每一個元素所得到的矩陣，稱為數k與矩陣A的積，記作kA.

kA=k（aij）m×n=（kaij）m×n

矩陣的數乘滿足的運算律：設A、B都是m×n矩陣，k、l是數，則

（1）k（A+B）=kA+kB

（2）（k+l）A=kA+lA

（3）（kl）A=k（lA）

（4）l·A=A

【例2-2-3】　設三個產地與四個銷地之間的里程（單位：千米）為矩陣A，

若已知貨物的每噸每千米的運費為1.5元，求各個產地與各個銷地之間每噸貨物的運費.

解：設各個產地與各個銷地之間每噸貨物的運費記為矩陣B，則

【例2-2-4】　已知，且A+2X=B，求X.

【例2-2-5】　設A=（aij）m×n為三階矩陣，若已知｜A｜=-2，求‖A｜·A｜.

四、矩陣的乘法

定義2-2-4　設矩陣A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，且

，稱m×n階矩陣C=（cij）m×n為矩陣A與矩陣B的積，記為C=AB.即

由定義可知，矩陣A與矩陣B的積C中的第i行第j列的元素是矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列元素對應乘積之和.只有當左邊矩陣的列數與右邊矩陣的行數相等時才可乘.AB常讀作A左乘B或B右乘A.

【例2-2-6】　若，，求AB.

，顯然AB≠BA.

【例2-2-7】　若，，求AB與BA.

由【例2-2-6】可知，矩陣的乘法不滿足交換律，因此矩陣相乘要注意順序.由【例2-2-7】的BA=O可知，兩個非零的矩陣相乘結果可能是零矩陣.如果兩個矩陣A與B相乘有AB=BA，稱矩陣A與矩陣B是可交換的.

【例2-2-8】　若，，，求AC、BC.

即AC=BC，但A≠B.可見矩陣的乘法不滿足消去律.

【例2-2-9】　把線性方程組表示為矩陣乘法.

為該方程組的系數矩陣.

令，，則該方程組可以用矩陣的乘法表示成：

或簡記為

AX=b

矩陣的乘法滿足以下運算律（設下列矩陣都可以進行有關的運算）：

（1）乘法結合律（AB）C=A（BC）；

（2）數乘結合律k（AB）=（kA）B=A（kB）；

（3）乘法分配律C（A+B）=CA+CB；

　　　　　　　（A+B）C=AC+BC；

（4）AE=EA.

五、矩陣的轉置

定義2-2-5　將m×n矩陣A的行與列互換，得到的n×m矩陣稱為A的轉置矩陣，記為AT或A'.

即如果，則.

【例2-2-10】　設矩陣

寫出它們的轉置矩陣，并求ATA、AAT及BTB.

轉置矩陣有下列性質：

（1）（AT）T=A；

（2）（A+B）T=AT+BT；

（3）（kA）T=kAT（其中k是常數）；

（4）（AB）T=BTAT.

【例2-2-11】　A是對稱矩陣，B是反對稱矩陣，證明：

（1）A2是對稱矩陣；

（2）AB-BA是對稱矩陣.

證：（1）因為A是對稱矩陣，則AT=A，所以

（A2）T=（AA）T=ATAT=AA=A2；

即A2是對稱矩陣.

（2）因為A是對稱矩陣，B是反對稱矩陣，則AT=A，BT=-B，所以

（AB-BA）T=（AB）T-（BA）T=-BA+AB=AB-BA

即AB-BA是對稱矩陣.

六、方陣的冪

定義2-2-6　對于方陣A及正整數k，稱為方陣A的k次冪.

當k=0時，規定A0=E.

方陣的冪有如下性質：設A是方陣，k1、k2是自然數，則

（1）

（2）

【例2-2-12】　設矩陣，求Ak，其中k為正整數.

解：當k=2時，.

設k=m時，，則當k=m+1時，

由數學歸納法可知，.

七、方陣的行列式

定義2-2-7　設A是n階方陣，將A的元素保持原有位置不變所構成的n階行列式

稱為n階方陣A的行列式，記作｜A｜或detA.

n階方陣A的行列式有以下性質：

（1）｜AT｜=｜A｜；

（2）｜kA｜=kn｜A｜；

（3）｜AB｜=｜A‖B｜.

【例2-2-13】　設矩陣，，求｜2A｜，｜AB｜.