第一節　矩陣的概念

一、矩陣的定義

設有線性方程組，去掉未知量以及加減號、等號，剩下的數可以構成一個數表，這個數表就是一個三行五列的矩陣.它的每一行就代表了一個方程.可以把對方程組的討論轉換成對這個矩陣的討論.

定義2-1-1　由m×n個數aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排列成的一個m行n列的矩形數表

稱為一個m×n矩陣，記作Am×n=（aij）m×n.其中橫排稱為行，豎排稱為列，數aij稱為矩陣第i行第j列的元素.

一般用大寫字母A、B、C…表示矩陣.用Am×n或（aij）m×n表示矩陣為m行n列的矩陣.

【例2-1-1】　某公司有四個連鎖商店，第一季度的銷售額如下表所示（單位：萬元）：

如果把表格中每個銷售額的數據取出，保持原來的相對位置，就可得到一個4行3列的矩陣

其中每一個元素都有確切的含義.如第一行第二列的數據10，表示1月份第二個連鎖商店的銷售額為10萬元；第二行的數據表示2月份各個連鎖商店的銷售額；第3列的數據表示第三個連鎖商店在第一季度各個月份里的銷售額.

當m與n取一些特殊的值時，可以得到幾種特殊形狀的矩陣.

當m=n時，

稱為n階矩陣或n階方陣.由該方陣的元素按原來的相對位置排成的n階行列式稱為矩陣A的行列式，記作｜A｜.

當m=1時，矩陣只有一行，稱為行矩陣；當n=1時，矩陣只有一列，稱為列矩陣；當m=n=1時，矩陣就是一個數.

當m×n矩陣所有元素都是零時，稱為零矩陣，記為Om×n.例如，

所有元素都為非負數的矩陣稱為非負矩陣.

把矩陣A的所有元素aij都改變符號而得到的矩陣，稱為A的負矩陣，記

-A=（-aij）

例如：.

二、幾種特殊的矩陣

1.單位矩陣

主對角線上的元素全是1，其他元素都是零的n階矩陣，稱為n階單位矩陣，簡稱單位矩陣.記為En，即

2.對角矩陣

如果n階矩陣（aij）中的元素滿足條件aij=0（i≠j；i，j=1，2，…，n），則稱該矩陣為對角矩陣，簡稱對角陣，簡記為Λ=diag（a11，a22，…，ann）.即

3.數量矩陣

如果n階對角矩陣中的元素a11=a22=…=ann=a時，則該矩陣為n階數量矩陣.即

4.三角矩陣

如果n階矩陣A=（aij）中的元素滿足aij=0（i>j；i，j=1，2，…，n），則稱A為n階上三角形矩陣.即

如果n階矩陣A=（aij）中的元素滿足aij=0（i<j；i，j=1，2，…，n），則稱A為n階下三角形矩陣.即

5.對稱矩陣

如果n階矩陣A=（aij）滿足aij=aji（i，j=1，2，…，n），則稱A為對稱矩陣.即對稱矩陣的元素關于主對角線對稱.即

例如是一個三階對稱矩陣.

6.反對稱矩陣

如果n階矩陣A=（aij）滿足aii=0，aij=-aji（i≠j；i，j=1，2，…，n），則稱A為反對稱矩陣.即

例如是一個三階反對稱矩陣.