第三節　連續型隨機變量及其分布

一、連續型隨機變量

［定義1］　若對于隨機變量X的分布函數F（x），存在非負可積函數f（x），使得對于任意實數x，有

　　 （2-3-1） 　　

則稱X為連續型隨機變量，稱f（x）為X的概率密度函數，簡稱為概率密度或密度函數，記為X～f（x）.概率密度函數的圖形稱為X的密度曲線.

根據定義可知概率密度具有以下性質：

①f（x）≥0；

②.

反之，若一個函數滿足上述性質，則該函數可以作為某個連續型隨機變量的概率密度函數.

連續型隨機變量分布函數有以下性質.

①對于一個連續型隨機變量X，若已知它的概率密度f（x），根據定義可以求得分布函數F（x），同時可以通過密度函數的積分來求X落在任何區間上的概率，即

　　 （2-3-2） 　　

②連續型隨機變量X取任一指定值a（a∈R）的概率為0，因為

因此，對連續型隨機變量X，有

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}

由此性質可見，連續型隨機變量X取任意值a的概率為0，這說明概率為零的事件不一定是不可能事件.同樣，概率為1的事件也不一定是必然事件.

③若f（x）在x處連續，則有

F'（x）=f（x）　　（2-3-3）

【例2-3-1】　設隨機變量X的概率密度為

（1）求系數c；

（2）求X的分布函數；

（3）求P{2<X≤3.5}.

解：（1）根據概率密度的性質有

解得，因此，密度函數為

（2）當x<0時，；

當0≤x<3時，；

當3≤x≤4時，；

當x>4時，

因此

（3）.

【例2-3-2】　設隨機變量X的分布函數為

（1）求概率P{0.3<X<0.7};

（2）X的概率密度.

解：（1）P{0.3<X<0.7}=F（0.7）-F（0.3）=0.4；

（2）X的概率密度為

二、幾種常用的連續分布

1.均勻分布

［定義2］　若連續型隨機變量X的概率密度為

稱X服從區間［a，b］上的均勻分布，記作X～U［a，b］.

由定義可知：（1）f（x）≥0；（2）.

均勻分布的分布函數為

對于任意的x1，x2∈［a，b］（x1<x2），有

這表明均勻分布的隨機變量X落入［a，b］任意子區間的概率與該子區間的長度成正比，而與子區間的位置無關.

【例2-3-3】　某城市每天有兩班開往某旅游景點的列車，發車時間分別為早上7點30分和8點，設一游客到達車站的時刻均勻分布于早上7～8點之間，求此游客候車時間不超過20分鐘的概率.

解：設游客到達車站的時間為7點過X分，則X～U［0，60］，因此X的概率密度為

游客只有在7：10～7：30之間或7：40～8：00之間到達車站，候車時間不超過20分鐘，因此所求概率為

2.指數分布

［定義3］　若連續型隨機變量X的概率密度為

其中λ>0為常數，則稱X服從參數為λ的指數分布，記作X～e（λ）.

指數分布的分布函數為

指數分布常用來描述各種“壽命”，如電子元器件的壽命、動物壽命、隨機服務系統中的等候時間都服從指數分布.指數分布在可靠性理論和排隊輪中有廣泛的應用.

【例2-3-4】　設某電子元器件的壽命X（單位：小時）服從參數為的指數分布.

（1）求該元器件在使用800小時后仍沒有壞的概率；

（2）求在該元件已經使用了600小時未壞的條件下，它還可以再使用800小時的概率.

解：（1）元器件的壽命X的分布函數為

因此

（2）

上例（2）中的計算結果表明：P{X>1400│X>600}=P{X>800}，即在元件使用了600小時未壞的條件下，可以再繼續使用800小時的概率，等于它從啟用起使用800小時不壞的無條件概率，這種性質稱為指數分布的“無記憶性”，相當于說，元器件對已使用過的600小時沒有記憶，不影響它以后使用壽命的統計規律.

3.正態分布

［定義4］　若連續型隨機變量X的概率密度為

其中μ、σ均為常數，且σ>0，則稱X服從參數為μ、σ2的正態分布，記作X～N（μ，σ2）.

正態分布的概率密度具有以下性質：

①概率密度的圖形關于直線x=μ對稱，當x=μ時，f（x）達到最大值：；

②概率密度曲線在x=μ±σ處對應有拐點；

③概率密度曲線以x軸為水平漸近線.

正態分布的密度曲線也稱作正態曲線，它是一條鐘形曲線：中間高、兩邊低、左右對稱.從圖2-3-1、圖2-3-2中可以看出，參數μ確定了正態曲線的位置，而σ的大小決定了曲線的陡峭程度.

正態分布是概率論與數理統計中最重要的分布，很多隨機現象可以用正態分布描述或近似描述，例如：

①測量時產生的誤差ε是隨機變量，時大時小，時正時負，但是誤差大的可能性小，誤差小的可能性大，正負誤差出現的機會相同，這個特點與正態曲線“中間高、兩邊低、左右對稱”是吻合的，因此測量誤差服從正態分布；

②自動包裝流水線上生產的罐頭重量服從正態分布；

③同年齡人的身高與體重分別都服從正態分布；

④某個地區的年降雨量（單位：毫米）服從正態分布；

⑤超市在一周內售出的雞蛋的總重量服從正態分布.

正態分布的分布函數為

在正態分布中，當參數μ=0、σ=1時稱為標準正態分布，記作X～N（0，1），此時密度函數

分布函數

此時正態曲線見圖2-3-3.

x≥0時，標準正態分布的分布函數值Φ（x）由標準正態分布表（附表2）可查，由此來計算正態分布的概率，根據標準正態曲線的對稱性，可知，當x<0時

Φ（x）=1-Φ（-x）　　（2-3-4）

若X～N（0，1），則

①P{X≤x}=Φ（x）

②P{X>x}=1-Φ（x）

③P{x1<X≤x2}=Φ（x2）-Φ（x1）

④P{｜X｜≤x}=2Φ（x）-1，（x≥0）

【例2-3-5】　設X～N（0，1），求P{X≤-1.25}及P{-1.5<X<2.3}.

解：由附表2可查得Φ（1.25）=0.8944，于是

P{X≤-1.25}=Φ（-1.25）=1-Φ（1.25）=1-0.8944=0.1056

　　P{-1.5<X<2.3}=Φ（2.3）-Φ（-1.5）=Φ（2.3）-［1-Φ（1.5）］

　　　　　　　　　=0.9893+0.9332-1=0.9225

任何一個一般的正態分布都可以通過線性變換轉化為標準正態分布.

定理　設X～N（μ，σ2），則.

證明　的分布函數

令，上式等于

即

P{Y≤x}=Φ（x）

因此 　　

設X～N（μ，σ2），則X的分布函數

　　 （2-3-5） 　　

若X～N（μ，σ2），則

（1）

（2）

（3）

【例2-3-6】　設X～N（8，0.52），求P{｜X-8｜≤1}及P{X<10}.

　　解：　　

【例2-3-7】　設X～N（μ，σ2），求：

（1）P{μ-σ<X<μ+σ}，

（2）P{μ-2σ<X<μ+2σ}

（3）P{μ-3σ<X<μ+3σ}

解：（1）

（2）

（3）

由此看出：X的取值大部分落在區間（μ-σ，μ+σ）內，基本上落在區間（μ-2σ，μ+2σ）內，幾乎全部落在區間（μ-3σ，μ+3σ）內，落在以μ為中心、3σ為半徑的區間外的概率不到0.003.

從理論上講，服從正態分布的隨機變量X的取值范圍是（-∞，+∞），但實際上X取區間（μ-3σ，μ+3σ）外的數值的可能性微乎其微.因此，往往認為它的取值是個有限區間，即區間（μ-3σ，μ+3σ），即實用中的三倍標準差規則，也叫3σ規則.在企業管理中，經常應用這個規則進行質量檢查和工藝過程控制.

【例2-3-8】　某廠生產罐裝咖啡，每罐標準重量為1千克，長期生產實踐表明自動包裝機包裝的每罐咖啡的重量X服從參數σ=0.1千克的正態分布.為了使重量少于1千克的罐頭數不超過10％，應把自動包裝線控制的平均值μ調節到什么位置上？

解：X～N（μ，0.12），若把自動包裝線控制的在μ值調節到1千克位置，則有：

即重量少于1千克的罐頭占全部罐頭數的50％，這顯然不符合要求.所以應該把自動包裝線控制的μ值調節到比1千克大一些的位置，使得

查附表2可得Φ（1.29）=0.90147>0.9，得μ=1+0.1×1.29=1.129.

即將包裝控制的平均值μ調節到1.129處，可使得少于1千克的罐頭數不超過10％（見圖2-3-4、圖2-3-5）.