4．分數(shù)

1）一些特殊的分數(shù)轉換成小數(shù)

這些分數(shù)很特殊，也很常用，所以建議大家把它們記住。

（1）分母為2的分數(shù)轉換成小數(shù)

1/2=0.5

（2）分母為3的分數(shù)轉換成小數(shù)

,

（3）分母為4的分數(shù)轉換成小數(shù)

1/4=0.25, 2/4=1/2=0.5, 3/4=0.75

（4）分母為5的分數(shù)轉換成小數(shù)

1/5=0.2, 2/5=0.4, 3/5=0.6, 4/5=0.8

（5）分母為6的分數(shù)轉換成小數(shù)

, 3/6=1/2=0.5,,

（6）分母為8的分數(shù)轉換成小數(shù)

1/8=0.125, 2/8=1/4=0.25, 3/8=0.375, 4/8=1/2=0.5, 5/8=0.625, 6/8=3/4=0.75, 7/8=0.875

（7）分母為9的分數(shù)轉換成小數(shù)

（8）分母為10的分數(shù)轉換成小數(shù)

1/10=0.1, 2/10=1/5=0.2, 3/10=0.3, 4/10=2/5=0.4, 5/10=1/2=0.5, 6/10=3/5=0.6, 7/10=0.7, 8/10=4/5=0.8, 9/10=0.9

（9）分母為11的分數(shù)轉換成小數(shù)

（10）分母為7的分數(shù)轉換成小數(shù)

這個比較特殊，循環(huán)。記住這一個即可，其他的可以用1/7的小數(shù)乘以相應的數(shù)得到。

記住這些有什么好處呢？它會方便我們計算一些除法，讓我們快速得到答案。

例子：計算17÷8=_______。

解：17÷8=2……1

因為：1÷8=0.125

所以：17÷8=2.125

同理，任何整數(shù)除以8，如果不能被整除，有余數(shù)：

若有余數(shù)是1，小數(shù)點后邊肯定是0.125。

若有余數(shù)是2，小數(shù)點后邊肯定是0.25。

若有余數(shù)是3，小數(shù)點后邊肯定是0.375。

若有余數(shù)是4，小數(shù)點后邊肯定是0.5。

若有余數(shù)是5，小數(shù)點后邊肯定是0.625。

若有余數(shù)是6，小數(shù)點后邊肯定是0.75。

若有余數(shù)是7，小數(shù)點后邊肯定是0.875。

擴展：

如果除數(shù)是11，我們先看看下列的算式。

由以上算式的規(guī)律不難看出，任何數(shù)除以11如果除不盡，有余數(shù)，商的小數(shù)部分就是這個余數(shù)×0.09…

例子：計算47÷11=_______。

解：先把被除數(shù)47能被11整除的部分44和余數(shù)3分解開，得到商4余3，然后用余數(shù)3乘以，積與商4相加，便是結果。

所以，

如果除數(shù)是99，同理，我們來看看下列的算式。

由以上算式的規(guī)律不難看出，任何數(shù)除以99如果除不盡，有余數(shù)，商的小數(shù)部分就是這個余數(shù)乘以。

例子：計算135÷99=_______。

解：先把被除數(shù)135÷99的商和余數(shù)分別算出來，商是1，余數(shù)是36，然后用，與商的整數(shù)相加，便是結果。

所以，

2）通分與約分

（1）概念

①約分。把一個分數(shù)的分子、分母同時除以公因數(shù)，使分數(shù)的值不變，但分子、分母都變小，這個過程叫約分。

②通分。根據(jù)分數(shù)（式）的基本性質，把幾個異分母分數(shù)（式）化成與原來分數(shù)（式）相等的同分母的分數(shù)（式）的過程，叫作通分。

③最簡分數(shù)。分子、分母只有公因數(shù)1的分數(shù)，或者說分子和分母互質的分數(shù)，叫作最簡分數(shù)，又稱既約分數(shù)。

（2）方法

①約分

約分時，要注意找它的公約數(shù)，然后將所有公約數(shù)乘起來就是它們的最大公約數(shù)。如果能很快看出分子和分母的最大公約數(shù)，直接用它們的最大公約數(shù)去除比較簡便。

約分的步驟如下。

（a）將分子分母分解因數(shù)。

（b）找出分子分母公因數(shù)。

（c）消去非零公因數(shù)。

②通分

通分的關鍵是確定幾個分數(shù)的最簡公分母，也就是幾個分母的最小公倍數(shù)。

通分的步驟如下。

（a）先求出原來幾個分數(shù)（式）的分母的最簡公分母。

（b）根據(jù)分數(shù)（式）的基本性質，把原來分數(shù)（式）化成以最簡公分母為分母的分數(shù)（式）。

（3）例子

①把化成最簡分數(shù)。

所以化成最簡分數(shù)為。

②約分。

所以，。

③通分。

2的質因數(shù)為2；6的質因數(shù)為2、3；9的質因數(shù)為3、3。

所以，2、6、9的最小公倍數(shù)為2×3×3=18。

3）分數(shù)比較大小

（1）化同法

“化同法”是在比較兩個分數(shù)大小時，將這兩個分數(shù)的分子或分母化為相同或相近，從而達到簡化計算的目的。

化同法一般包括以下三個層次。

①將分子（分母）化為完全相同，從而只需比較分母（或分子）即可。

②將分子（或分母）化為相近之后，出現(xiàn)“某一個分數(shù)的分母較大而分子較小”或“某一個分數(shù)的分母較小而分子較大”的情況，則可直接判斷兩個分數(shù)的大小。

③將分子（或分母）化為非常接近之后，再利用其他速算技巧進行簡單判定。

（2）差分法

我們在做兩個分數(shù)大小比較時，若其中一個分數(shù)的分子與分母都比另外一個分數(shù)的分子與分母分別只大一點點，這時候可以使用“差分法”來解決問題。

運用差分法，我們首先定義分子與分母都比較大的分數(shù)叫“大分數(shù)”，分子與分母都比較小的分數(shù)叫“小分數(shù)”，把這兩個分數(shù)的分子、分母分別做差后，將得到的新的分數(shù)定義為“差分數(shù)”。

在進行大小比較時，我們可以用“差分數(shù)”來代替“大分數(shù)”，與“小分數(shù)”進行大小比較。

①若差分數(shù)比小分數(shù)大，則大分數(shù)比小分數(shù)大。

②若差分數(shù)比小分數(shù)小，則大分數(shù)比小分數(shù)小。

③若差分數(shù)與小分數(shù)相等，則大分數(shù)與小分數(shù)相等。

（3）變形式差分法

要比較a×b與c×d的大小，如果a與c相差很小，并且b與d相差也很小，這時候可以將乘法a×b與c×d的比較轉化為除法a/d與c/b的比較，這樣就可以運用“差分法”來解決類似的乘法問題。

方法：

①求出差分數(shù)。

②用差分數(shù)代替大分數(shù)，與小分數(shù)比較。

例子：比較與的大小關系。

解：

而，所以。

（4）分數(shù)大小比較的其他方法

方法：

①化同分子法。使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關系比較。

②化同分母法。使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關系比較。

③中間數(shù)比較法。確定一個中間數(shù)，使所有的分數(shù)都和它進行比較。

④化成小數(shù)法。把所有分數(shù)轉化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較。

⑤化為整數(shù)法。把兩個分數(shù)同時乘以其中一個分數(shù)的分母，使其中一個分數(shù)化成整數(shù)，與另外一個數(shù)進行比較。

⑥倒數(shù)比較法。利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑦交叉相乘法。如果第一個分數(shù)的分子與第二個分數(shù)的分母相乘的積大于第二個分數(shù)的分子與第一個分數(shù)的分母相乘的積，那么第一個分數(shù)比較大。

⑧除法比較法。用一個數(shù)除以另一個數(shù)，得出的數(shù)和1進行比較。

⑨減法比較法。用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑩差等比較法。如果兩個真分數(shù)的分子和分母的差相等，那么分子和分母比較，大的那個分數(shù)比較大。

例子：

（1）比較和的大小。

解：本題可以用倒數(shù)比較法。

的倒數(shù)為。

的倒數(shù)為。

所以。

（2）比較和的大小。

解：本題可以用化成小數(shù)法。

所以，。

（3）比較和的大小。

解：這兩個真分數(shù)的分子和分母的差都是1，而后一個分數(shù)的分子和分母比較大，所以，。

注意：有的題目可以用多種分數(shù)比較方法，只是看哪種方法更簡單而已。