5．近似數

近似數是指與準確數相近的一個數，是把一個數按照具體要求截取到指定的數位而得到的。如我國的人口數是無法絕對精確計算的，但是可以說出一個近似數，比如說我國人口有13億，13億就是一個近似數。

一個近似數四舍五入到哪一位，那么就說這個近似數精確到哪一位，從左邊第一個不是0的數字起，到精確的數位止；從左邊第一個不是0的數字起，到末位數字為止的所有數字，都叫作這個數的有效數字。

近似數的加減一般可按下列法則進行：①確定計算結果能精確到哪一個數位。②把已知數中超過這個數位的尾數“四舍五入”到這個數位的下一位。③進行計算，并且把算得的數的末一位“四舍五入”。

1）求近似數的方法

求近似數的方法一般有以下三種。

（1）四舍五入法

四舍五入是一種精確度相對較高的計數保留法，與其他方法本質相同。但特殊之處在于，采用四舍五入法，能夠使被保留部分與實際值之間的差值不超過最后一位數量級的1/2。假如0～9等概率出現，對大量的被保留數據，這種保留法的誤差總和是最小的。這也是我們使用這種方法為近似數的基本保留法的原因。

在數學運算中，我們經常使用四舍五入法來取近似值。比如，在遇到多位小數時，可截取若干位，如被舍部分的頭一位數滿五，就在所取數的末位加1，不滿五的就舍去。例如，圓周率π=3.14159265…若取五位小數，則為3.14159；若取四位小數，則為3.1416。

四舍時，近似數比準確數小；五入時，近似數比準確數大。

但是在四舍五入中，舍去的概率有4/9，而進一的概率有5/9，兩者并不相等。所以又有“四舍六入”的說法。按照這種說法，若被舍部分的頭一位是5，是舍是入則需要看前一位數，如果前一位數是奇數，則進一；如果前一位數是偶數，則去尾。當然，這種方法并不常用，我們通常還是用“四舍五入法”。

（2）進一法

進一法是去掉多余部分的數字后，在保留部分的最后一個數字上加1。這樣得到的近似值為過剩近似值（即比準確值大）。

在我們的現實生活中四舍五入法不一定隨時都適用，有時為了使結果更符合客觀現實或者使結果有意義，會用到進一法（即省略的位上只要大于零都要進一位）。

例子：一個袋子能裝50斤玉米，現有180斤玉米，需要幾個袋子才能裝完？

解：180斤÷50斤／袋=3.6袋

此時就需要用進一法，需要4個袋子才能裝完。

（3）去尾法

去尾法是去掉數字的小數部分，只取其整數部分。其取值比準確值小。這種方法常常被用在生活中。如“裁布制衣”問題，在布料制成衣服后還有多余時，通常舍去小數部分，只保留整數部分。

例子：制作一件衣服需要用布2.4米，現有50米布，可以做這樣的衣服多少件？

解：50米÷2.4米／件=件

結果是，如果按照四舍五入法截取近似值，那么應該得21件。但是我們應該知道，做衣服不能四舍五入，剩下的布雖然能做0.8件，但是不夠做成1件，是需要舍棄的。所以類似的題目，我們只能采取去尾法。

即50米布可以做這樣的衣服20件。

去尾法一般可以把所要求去尾的數值化成小數，然后直接去掉小數部分，取整數部分的值。一般可以用符號“（）”表示。

例如：

（3.1415）≈3

（π）≈3

（3.98）≈3

2）估算法

什么是估算？估算就是在精確度要求不太高的情況下，進行粗略的估值。也就是大致推算。估算一般有三種情況：一是推算最大值；二是推算最小值；三是推算大約多少。

“估算法”毫無疑問是速算第一法，也是學生計算能力中很重要的一個方面，在所有計算進行前都要首先考慮能否先行估算。一般在選擇題中選項相差較大，或者在被比較的數據相差較大的情況下使用。比如對于一些選擇題，我們可以根據數量關系、各數字之間的特性等判斷出答案的一個大致范圍，然后結合選項提供的信息來得出唯一的正確答案。

還有的估算是要先對參與計算的數值取其近似值，把一個比較復雜的計算題變成可以口算的簡單計算，得出一個近似值。如估算32×55的最大值，可以把它們都放大一些，按照比原來大的整十數來計算，所以最大是40×60=2400；如果估算32×55的最小值，則把它們都縮小一些，按照比原來小的整十數計算，所以最小是30×50=1500；至于大約等于多少，可以采用“四舍五入法”取接近的數來計算，大約在30×60=1800；如果想精度高一點，還可以只四舍五入一個數，變成30×55=1650左右。

進行估算的前提是選項或者待比較的數字相差必須比較大，并且這個差別的大小決定了“估算”時候的精度要求。一般來說，各元素的大小關系較為隱蔽，需要經過一定的對比分析才能得到。

估算的功能分為兩方面，一是數學上的功能，例如培養數感（如判斷24×12=2408計算結果的合理性），為精確計算做準備（如要計算492÷12時，往往先用480÷10或490÷10或500÷10來試商）。二是估算在生活中的應用，當無法精確計算或沒有必要精確計算時，有時用估算也能解決問題。

下面介紹試商的方法。

在求商的時候，有時不能一次得出準確的商，需要先估算一下，然后再進行調整。如果商大了要調小；如果商小了要調大，這個過程叫作試商。

（1）試商的方法

①四舍五入法

當除數接近整十、整百的數時，常可以用四舍五入法試商。

例如，如果除數是29，可以當成30去試除；如果除數是82，可以當成80去試除。

②去尾法

把除數直接去尾成整十、整百的數試除。用這種方法，一般初商有時會偏大，需要適當調小。

例如，246÷42，用去尾法，把除數當成40去試除，得到初商6。再調整為5。

③進一法

把除數直接進一成整十、整百的數試除。用這種方法，一般初商有時會偏小，需要適當調大。

例如，246÷48，用進一法，把除數當成50去試除，得到初商4。再調整為5。

④同舍同入法

把被除數和除數一起舍或者入，然后試除。

例如，257÷38，試商時可以把被除數當成260，除數當成40，進行試商（同入）。

382÷41，試商時可以把被除數當成380，除數當成40，進行試商（同舍）。

⑤同頭無除試商法

如果被除數和除數首位相同（同頭），但卻不夠除（無除），一般可以用9、8或7來試商。

例如，3452÷38，被除數前兩位為34，除數為38，頭相同但不夠除，此時初商可以用9、8或7來試商。

⑥折半法

當被除數的前兩位接近除數的一半時，可以用5或4來試商。

例如，1928÷38，被除數的前兩位正好等于除數的一半，所以可以用5來試商。如果被除數的前兩位比除數的一半大一點點，那么也可以用5來試商；如果被除數的前兩位比除數的一半小一點點，則可以用4來試商。

（2）除數是兩位數的除法巧妙試商

除法的目的是求商，但從被除數中突然看不出含有多少商時，可以試商。如果除數是兩位數的除法，可以采用下面一些巧妙試商方法，提高計算速度。

①用“商五法”試商

方法：

（a）當除數（兩位數）的10倍的一半，與被除數相等（或相近）時，可以直接試商5。

（b）當被除數前兩位不夠除，且被除數的前兩位恰好等于（或接近）除數的一半時，可以直接試商5。

例子：計算2385÷45=_______。

解：符合（b），前兩位不夠除，而且23與45的一半很接近，可以試商5。

所以，2385÷45=53。

②同頭無除商8、9

方法：

被除數和除數最高位上的數字相同，且被除數的前兩位不夠除，這時，商定在被除數高位數起的第三位上面，直接用商8或商9。

例子：計算4176÷48=_______。

解：被除數和除數最高位上的數字相同，且被除數的前兩位不夠除，第三位可以試商8或9。

所以，4176÷48=87。

③用“商九法”試商

方法：

當被除數的前兩位數字臨時組成的數小于除數，且前三位數字臨時組成的數與除數之和，大于或等于除數的10倍時，可以一次定商為9。

例子：計算4508÷49=_______。

解：因為45＜49，且450+49=499＞490，被除數的第三位上可定商為9。

所以，4508÷49=92。

④用“差數試商法”試商

當除數是11、12、13、…、18和19，被除數前兩位又不夠除的時候，可以用“差數試商法”，即根據被除數前兩位臨時組成的數與除數的差來試商的方法。

方法：

（a）若差數是1或2，則初商為9。

（b）若差數是3或4，則初商為8。

（c）若差數是5或6，則初商為7。

（d）若差數是7或8，則初商是6。

（e）若差數是9，則初商為5。

（f）若不準確，則調小1。

為了便于記憶，我們可將它編成下面的口訣。

差一差二商個九，差三差四八當頭；

差五差六初商七，差七差八先商六；

差數是九五上陣，試商快速無憂愁。

例子：計算1278÷17=_______。

解：17與12的差為5，初商為7，經試除，商7正確。

所以，1278÷17=75。