1.1　水仙花與蘭德爾數

蘭德爾（Randle）數又稱自方冪數，是一類涉及自身數字特點的整數。

本節從探求最簡單的3位水仙花數開始，進而編程探索一般n（3~8）位蘭德爾數。

1.1.1　水仙花數

一個3位整數如果等于它的3個數字的立方和，那么該3位數稱為水仙花數。

【問題】　有多少個水仙花數？試探求水仙花數。

【思考】　從最小數字開始，逐個數字實驗探求。

設水仙花數為abc（a為百位數字，b為十位數字，c為個位數字），滿足

100a＋10b＋c＝a³＋b³＋c³　（a，b，c為整數，1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）

這是一個3元3次不定方程，因涉及3個立方項，簡單處理并不現實，擬采用逐位實驗探求。

由水仙花數的定義可知，它的3個數字中至少有一個數字在5以上，否則其3個數字的立方和不足3位。

先列出一個數字x的立方x³（見表1-1）以備調用。

1. 試取最小數字為0

由表1-1可知，第2個數字的立方不含數字0，即第2個數字必須大于0。

（1）第2個數試取1，第3個數字為x，x³＋1的結果中須含數字0，1與x，顯然x不存在。

（2）第2個數試取2，2³＝8，第3個數字為x，x³＋8的結果中須含數字0，2與x。試取x＝8，512＋8＝620，含數字0，2，但不含數字8，也不符合要求。

（3）第2個數試取3，3³＝27，第3個數字為x，x³＋27的結果中須含數字0，3與x。試取x＝7，343＋27＝370，含有數字0，3與7，因而得到第1個解370。繼續第3個數字取x＝8，9，不滿足要求。

（4）第2個數試取4，4³＝64，第3個數字為x，x³＋64的結果中須含數字0，4與x。試取x＝7，343＋64＝407，含數字0，4與7，因而得到第2個解407。繼續第3個數字x＝8，9，不滿足要求。

（5）第2個數試取5，6，…，無滿足要求的3位整數。

2. 試取最小數字為1

由表1-1可知，第2個數字必須大于1。

（1）第2個數試取2，2³＝8，選第3個數字為x，x³＋9的結果中須含數字1，2與x。試取x＝8，512＋9＝521，含數字1，2，但不含數字8，不符合要求。

（2）第2個數試取3，3³＝27，第3個數字為x，x³＋28的結果中須含數字1，3與x。試取x＝5，125＋28＝153，含數字1，3與5，因而得到第3個解153。繼續試取x＝6，216＋28＝244，不符合要求。繼續試取x＝7，343＋28＝371，含數字1，3與7，因而得到第4個解371。

（3）第2個數試取4，5，6，…，無滿足要求的3位整數。

以此類推，試驗最小數字為2，3，…，無滿足要求的3位數。

綜合以上實驗探求，得到4個水仙花數：370，407，153，371。

以上探求水仙花數的方法就是數學實驗，由小到大選擇各數字逐位試驗、調整，探求滿足不定方程的解。

順便指出，數學實驗是一種非常重要的數學方法，可培養與加強探索能力的提升。

1.1.2　蘭德爾數

蘭德爾數：一個n（n≥3）位正整數如果等于它的n個數字的n次冪之和，那么該數稱為n位蘭德爾數，又稱自方冪數。

當n＝3時稱為水仙花數，當n＝4時稱為四葉玫瑰花數，當n＝5時稱為五角星數，當n＝6時稱為六合數，當n＝7時稱為北斗七星數，當n＝8時稱為八仙數，等等。

試編程搜索n（3≤n≤8）位蘭德爾數。

1. 探求設計要點

為求n次冪方便，相關變量設置為double型。

（1）循環枚舉與分離數字。

建立n（3~8）循環枚舉位數。

計算最小的n位整數t后，建立y（t＋1~10?t-1）循環枚舉n位整數。

應用求余函數fmod（y，10）與取整函數floor（y/10）分離整數y的n個數字k。

（2）求和與檢測。

數字k的n次冪即為pow（k，n）；通過s＋＝pow（k，n）；求得n個數字的n次冪之和s。

通過y＝＝s即可檢測y是否為n位蘭德爾數。

通過檢測后即可輸出n位蘭德爾數，并用變量m統計其個數。

2. 蘭德爾數程序設計

3. 程序運行示例與變通

前面應用逐位試驗的數學實驗探求3位水仙花數并不簡捷，當n≥4時，因涉及構成數字的n次方，用同樣的推理探求n位蘭德爾數并不現實。

以上程序快捷地求出了6種蘭德爾數，說明了編程探索與拓展的優越性，進一步說明在趣味數學發展與深入的進程中，程序設計手段不可或缺。

變通：可把以上枚舉循環語句for（n＝3；n＜＝8，n＋＋）改變為從鍵盤輸入整數n語句，即可探求某一個n（n≥9）位正整數的n位蘭德爾數。

當n≥9時，程序搜索n位蘭德爾數的時間隨n的增加變得越來越長。