1.2　倍和數與倍積數

本節介紹涉及自身數字構成的另一類新穎整數：優美倍和數與倍積數。

這類整數的“優美”是指其組成數字不重復，“和”是指組成該數的各數字之和，“積”是指組成該數的各數字之積。

1.2.1　優美倍和數

定義：由n個互不相同的數字（可含數字0）組成的n位整數x若是其n個數字之和s的整數m倍，即有

x＝m×s

則稱整數x為n位優美倍和數，整數m為對應的倍數。

例如，上面求得的水仙花數407的3個數字之和為11，407＝37×11，407就是一個3位優美倍和數，37為相應倍數。

【問題1】　試求3位優美倍和數的倍數m的最大值。

【思考】　以m的表達式為依據，逐個數字試驗探求。

設3位優美倍和數x的3個互不相同數字為a，b，c，即x＝100a＋10b＋c，s＝a＋b＋c，則

由表達式看，分母中a，b，c是平等的，但分子就不一樣了，相差很大。

基本思路：求取倍數m最大時，通常取a＞b＞c，當然以x能被s整除為前提。若x不能被s整除，則通常在較小的數字b，c中局部調整。

據式（1），要使m最大，在x能被s整除的前提下，取c盡可能小，不妨取c＝0，則

據式（2），對任何a取值，要使m最大，b盡可能取最小，不妨取b＝1，即有

據式（3），要使m最大，a可取最大9，此時m＝91。

若取0＜c≤9，可知m＜91。

因而得：倍數m最大的3位優美倍和數為910，其相應的最大倍數為91。

【問題2】　探求3位優美倍和數的倍數m的最小值。

【思考】　同樣以m的表達式為依據，逐個數字試驗探求。

為求取倍數m的最小值，通常取a＜b＜c，同樣以x能被s整除為前提。若x不能被s整除，則在數字b，c中局部調整。

據式（1），取a＝1，即有

由上式可知要使m最小，c應取最大，因而c從9開始遞減取值。

若取c＝9，則，無論b取何值，m非整數，不符合要求。

若取c＝8，則，要使m為整數，取b＝9，得m＝11；或取b＝0，得m＝12。

因而可得：a＝1時，取x＝198得m＝11為最小。

據式（1），取a＝2，有

由上式可知要使m最小，c盡可能取最大，因而c從9開始遞減取值。

若取c＝9，則，要使m為整數，則取b＝0，得m＝19，顯然大于11。

若取c＝8，則，要使m為整數，則取b＝2（與a相同，舍去）或b＝8（與c相同，舍去）。

若取c＝7，則，要使m為整數，則取b＝4，得m＝19，顯然大于11。

依此a逐一遞增取值，得m均大于11。

因而得：倍數m最小的3位優美倍和數為x＝198，其相應的最小倍數為m＝11。

【拓展】　探索n位優美倍和數及其倍數m的最大值與最小值。

輸入正整數n（2≤n≤9），統計n位優美倍和數的個數，求出倍數m的最大值與最小值，并輸出對應m最大與最小時的n位優美倍和數。

1. 設計要點

（1）枚舉與分離數字。首先通過循環求出n位沒有重復數字的最小與最大整數a，b，然后設置x（a~b）循環枚舉n位整數；然后對每一個n位整數x應用整除／與取余%操作，分離x的n個數字k；最后通過求和s＋＝k；得到x的n個數字和s。

（2）統計與判別。應用f數組f[k]＋＋；統計數字k的頻數，以便排除各數字k存在相等的情形；然后判別x能否被s整除：若x能被s整除，則產生一個n位優美倍和數x及其倍數m＝x/s，用變量i統計優美倍和數個數。

（3）比較求最值。通過比較求取倍數m的最大值max與最小值min，并分別記錄m最大、最小時的x與s的值，為輸出m最大與最小時的優美倍和數提供數據。

2. 探求程序設計

3. 程序運行示例與變通

     請輸入位數n(2≤n≤9):4
     4位優美倍和數共645個。
     倍數m最大為760:9120=760×12
     倍數m最小為61:1098=61×18

如果輸入n＝3，即可得3位優美倍和數的個數及它們的倍數的最大值與最小值。

當n比較大時，例如n＝8，9，程序的運行相應變慢。建議通過輸入不同整數n值運行程序，具體感受枚舉時間的差異。

變通：把組成數字排除0，保留n個數字互不相同，即組成n位整數的n個數字限定為互不相同的正數。

在以上搜索程序中測試整數x是否有重復數字時還需測試n個數字是否含0，即把程序中的測試條件進行以下改變：f[k]＞1改為f[k]＞1||f[0]＞0。這一變通，可得n位不含0的優美倍和數的相應結果。例如，當n＝4時，程序運行結果如下所示。

     請輸入位數n(2≤n≤9):4
     4位優美倍和數共322個。
     倍數m最大為534:9612=534×18
     倍數m最小為71:1278=71×18

1.2.2　優美倍積數

定義：由n個互不相同的非零數字組成的n位整數x若是其n個數字之積t的整數m倍，即有

x＝m×t

則稱整數x為n位優美倍積數，整數m為對應的倍數。

例如，3276的4個數字之積為252，3276＝13×252，3276就是一個4位優美倍積數，13為對應倍數。

輸入正整數n（2≤n≤9），探求n位優美倍積數的個數，及n位優美倍積數的倍數m的最大值與最小值，并輸出倍數m最大與最小時對應的n位優美倍積數。

對于某些n，若沒有相應的n位優美倍積數，則予以指出。

1. 編程設計要點

（1）枚舉與分離。首先求出n位沒有重復非零數字的最小與最大整數a，b，然后設置x（a~b）循環枚舉n位整數；對每一個n位整數x應用整除／與取余%操作，分解x的n個數字k；通過求積t?＝k；得到x的n個數字之積t。

（2）統計與判別。對每一整數應用f數組f[k]＋＋；統計數字k的頻數，以排除各數字k存在相等（f[k]＞1）的情形；然后判別x能否被t整除：若x能被t整除，則產生一個n位優美倍積數x及其倍數m＝x/t，用變量i統計優美倍積數個數。

（3）比較求最值。通過比較求取倍數m的最大值max與最小值min，并分別記錄m最大、最小時的x與t的值，為輸出m最大與最小時的優美倍積數提供數據。

2. 探求n位優美倍積數程序設計

3. 程序運行示例與說明

     請輸入位數n(2≤n≤9):5
     5位優美倍積數共9個。
     倍數m最大為167:64128=167×384
     倍數m最小為19:12768=19×672

請修改程序，輸出指定n位所有優美倍積數。

這里引申出一個新的問題：對于指定的位數n，是否存在n位優美倍和同時倍積的整數？

4. 引申探求n位優美倍和積數

定義：如果n位整數x是優美倍和數，也是優美倍積數，則稱x為n位優美倍和積數。

例如，3位整數216，其數字之和為9，216＝24×9；同時其數字之積為12，216＝18×12；可見216就是一個3位優美倍和積數。

試修改以上程序，搜索并輸出指定n位所有優美倍和積數。

修改：

（1）增加統計數字和變量s，以及數字和的倍數j。

（2）求數字積時，同時求數字和：t?＝k；s＋＝k；（s需先清零）

（3）判別數字積的倍數，同時判別數字和的倍數：（x%t＝＝0&&x%s＝＝0）

（4）計算數字積的倍數，同時計算數字和的倍數：m＝x/t；j＝x/s；

（5）修改輸出語句，并刪除有關最大最小操作。

例如，指定n＝5時，程序運行結果如下所示。

     請輸入位數n(2≤n≤9):5
     1:12768=532×24,12768=19×672
     2:13248=736×18,13248=69×192
     3:13824=768×18,13824=72×192
     4:18432=1024×18,18432=96×192
     5:61824=2944×21,61824=161×384
     5位優美倍和積數共5個。

顯然，以上輸出的5個5位優美倍和積數是上面9個5位優美倍積數的一個子集。其中，第2，3，4個優美倍和積數都是由1，2，3，4，8通過不同排列組成的5位數，以后將其稱為“變序數”。