1.1　時(shí)間序列的發(fā)展過程

最早的時(shí)間序列分析可以追溯到7000年前的古埃及，古埃及人把尼羅河漲落的情況每天記錄下來，從而構(gòu)成了一個(gè)時(shí)間序列。對這個(gè)時(shí)間序列長期的觀察使他們發(fā)現(xiàn)尼羅河的漲落非常有規(guī)律，由于掌握了漲落的規(guī)律，古埃及的農(nóng)業(yè)迅速發(fā)展。這種從觀測時(shí)間序列得到直觀規(guī)律的方法即為描述性分析方法。在時(shí)間序列分析方法的發(fā)展歷程中，經(jīng)濟(jì)、金融、工程等領(lǐng)域的應(yīng)用始終起著重要的推動(dòng)作用，時(shí)間序列分析的每一步發(fā)展都與應(yīng)用密不可分。

一般地，人們認(rèn)為現(xiàn)代時(shí)間序列分析起源于英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.u.Yule在1927年提出的AR（Auto Regressive，自回歸）模型。該模型與英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.T.Walker在1931年提出的MA（Moving Average，滑動(dòng)平均）模型和ARMA（Auto Regression Moving Average）模型，共同構(gòu)成了時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)，至今仍被廣泛應(yīng)用。這三個(gè)模型主要應(yīng)用于單變量、同方差場合的平穩(wěn)序列。

值得一提的是，Box和Jenkins在1927年出版的Time Series Analysis: Forecasting and Control被認(rèn)為是時(shí)間序列分析發(fā)展歷程中的里程碑。該書為實(shí)際工作者提供了對時(shí)間序列進(jìn)行分析、預(yù)測，以及對ARIMA模型進(jìn)行識別、估計(jì)和診斷的系統(tǒng)方法。ARIMA模型也被稱為Box-Jenkins模型，主要應(yīng)用于單變量、同方差場合的線性模型。該模型可以處理非平穩(wěn)序列，主要思想是先對非平穩(wěn)序列進(jìn)行差分，使之變?yōu)槠椒€(wěn)序列，然后再用ARMA模型來擬合差分后的序列。

前面所說的AR模型、MA模型、ARMA模型和ARIMA模型都要求時(shí)間序列為單變量、同方差的線性模型。隨著時(shí)間序列分析及其理論的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)這些假設(shè)在一些情形下并不成立，例如Moran（1953）在對加拿大山貓數(shù)據(jù)的建模過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的怪異特征，即大于均值的樣本點(diǎn)的殘差顯著地小于那些小于均值的樣本點(diǎn)的殘差。因此，人們越來越關(guān)心異方差、多變量、非線性的時(shí)間序列。

針對異方差情形，Engle（1982）首先提出ARCH（Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity，自回歸條件異方差）模型。ARCH模型的基本思想是假設(shè)同一時(shí)刻噪聲服從均值為零，方差是一個(gè)隨時(shí)間變化的量（即為條件異方差）的正態(tài)分布，且這個(gè)隨時(shí)間變化的方差是過去有限項(xiàng)序列值平方的線性組合（即為自回歸）。作為一種全新的理論，ARCH模型在近幾十年里得到了極大的發(fā)展，已被廣泛地應(yīng)用于驗(yàn)證金融理論中的規(guī)律性描述，以及金融市場的預(yù)測和決策結(jié)果。該模型也被認(rèn)為是近年來金融計(jì)量學(xué)發(fā)展中最重大的創(chuàng)新。然而，ARCH模型只適用于異方差函數(shù)短期自相關(guān)過程，為此Bollerslev（1986）將ARCH模型推廣至廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型，GARCH模型更能反映實(shí)際數(shù)據(jù)的長期記憶性質(zhì)。ARCH的另外幾種推廣形式有Engle等人（1987）提出的ARCH-M模型和Nelson（1991）提出的指數(shù)廣義自回歸條件異方差（EGARCH）模型等。

針對多變量的情形，自然的想法是把一維時(shí)間序列的分析方法推廣至多維。因此，早期多維時(shí)間序列的分析方法中，往往要求每個(gè)序列都是平穩(wěn)的。常見的模型有向量ARMA模型、向量自回歸模型（VAR）等。由于從一元自回歸滑動(dòng)平均模型到多元自回歸滑動(dòng)平均的情形不能直接推廣，其中存在很多問題和需要克服的困難，包括模型的識別、估計(jì)和解釋等，因此這方面的發(fā)展相對較慢。直到Engle和Granger（1987）提出了協(xié)整（Co-integration）理論及其方法，為多維非平穩(wěn)序列的建模提供了一種途徑。協(xié)整理論中，各序列可以都是不平穩(wěn)的，但它們的線性組合卻是平穩(wěn)序列，該理論可以解釋變量之間長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系。協(xié)整方法已成為了分析線性非平穩(wěn)序列數(shù)量關(guān)系的最重要工具之一。對于序列之間存在非線性調(diào)整機(jī)制的情形，Balke和Fomby（1997）提出了閾值協(xié)整（Threshold Cointegration）方法。例如，在股票交易過程中，由于交易費(fèi)用、交易政策等因素的變化會導(dǎo)致股價(jià)的非對稱調(diào)整；國家的貨幣政策由于制度方面的原因也會使通貨膨脹率產(chǎn)生非對稱調(diào)整。

針對非線性情形，Tong和Lim（1980）提出了TAR（Threshold Autoregressive Regressice，門限自回歸）模型。TAR模型假定在狀態(tài)空間的不同區(qū)域，模型有不同的線性形式，狀態(tài)空間的劃分通常由一個(gè)門限變量來確定，該模型屬于參數(shù)模型。近二十年來，人們更多地關(guān)注時(shí)間序列的非參數(shù)模型，如非參數(shù)自回歸（NAR）模型、非參數(shù)自回歸異方差（NARCH）模型等。

時(shí)間序列分析方法的另一個(gè)突破是在譜分析方面。給定一個(gè)時(shí)間序列樣本，通過傅里葉變化可以把時(shí)域上的數(shù)據(jù)變換到頻域，這就是經(jīng)典譜分析方法，例如周期圖譜法等。Burg（1967）在他從事的地震信號分析與處理的工作中提出最大熵譜，把信息熵的概念融入信號處理中，有時(shí)又稱為時(shí)序譜分析方法，是現(xiàn)代譜分析的開始。Capon（1969）提出了最小方差譜估計(jì)方法。這兩個(gè)方法共同奠定了現(xiàn)代譜估計(jì)的基礎(chǔ)。此后Shore和Johnson（1980）又提出了最小交叉熵法。理論證明，最大熵譜分析法只是最小交叉熵法的一個(gè)特例。當(dāng)存在先驗(yàn)信息時(shí)，最小交叉熵法可獲得比最大熵法好得多的分辨率。但最小交叉熵法的缺點(diǎn)是運(yùn)算太復(fù)雜。一般地，經(jīng)典譜分析對于長數(shù)據(jù)序列有良好的譜估計(jì)性能，但對于短數(shù)據(jù)序列，經(jīng)典譜分析存在分辨率不高等致命弱點(diǎn)，現(xiàn)代譜估計(jì)法則具有優(yōu)良性能。