2.2　時間序列的平穩(wěn)性

在進行時間序列分析時，針對時間序列的平穩(wěn)（Stationary）和非平穩(wěn)特性需要采取不同的建模方法進行研究，因此區(qū)分研究對象是平穩(wěn)時間序列還是非平穩(wěn)時間序列是時間序列分析的首要步驟。

時間序列分析理論中有兩種平穩(wěn)性定義，即所謂嚴平穩(wěn)性（Strictlystationary）和弱平穩(wěn)性（Weaklystationary）。

2.2.1　嚴平穩(wěn)性

嚴平穩(wěn)性也稱強平穩(wěn)性（Stronglystationary），是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認為只有當序列所有的統(tǒng)計性質(zhì)都不會隨著時間的推移而發(fā)生變化時，該序列才能被認為平穩(wěn)。而我們知道，隨機變量族的統(tǒng)計性質(zhì)完全由他們的聯(lián)合概率分布族決定，所以嚴平穩(wěn)時間序列的定義如下。

定義：設為一時間序列，對任意正整數(shù)m ，任取對任意整數(shù)τ，有：

則稱時間序列為嚴平穩(wěn)時間序列。

在實踐中要獲得隨機序列的聯(lián)合分布是一件非常困難的事，而且即使知道隨機序列的聯(lián)合分布，計算和應用起來也非常不便。所以嚴平穩(wěn)時間序列通常只具有理論意義，在實踐中用得更多的是條件比較寬松的弱平穩(wěn)時間序列。

2.2.2　弱平穩(wěn)性

弱平穩(wěn)性也稱協(xié)方差平穩(wěn)性（Covariance Stationary）、二階平穩(wěn)性（Second-order Stationary）或?qū)捚椒€(wěn)性（Wide-sense Stationary），它是在時間序列二階矩基礎上定義的平穩(wěn)性。簡單來說，弱平穩(wěn)時間序列的一階矩和二階矩不隨時間的變化而改變。

弱平穩(wěn)性（Weakstationary）是使用序列的特征統(tǒng)計量來定義的一種平穩(wěn)性。它認為序列的統(tǒng)計性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階（二階）矩平穩(wěn)，就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。

定義：如果滿足以下三個條件：

（1）任取t,j∈T，有

（2）任取μ為常數(shù)

（3）任取t,j,s∈T，有

則稱為寬平穩(wěn)時間序列，寬平穩(wěn)也稱為弱平穩(wěn)或二階平穩(wěn)（Second-order Stationary）。

弱平穩(wěn)定義中，（1）和（2）表明弱平穩(wěn)時間序列具有有限的常數(shù)均值和方差，（3）表明弱平穩(wěn)時間序列的自協(xié)方差只與時滯s有關，而與時間的起始位置無關。因此可以將自協(xié)方差函數(shù)由二維函數(shù)γ(t,s)簡化為一維函數(shù)γ(s?t)。概括來說，弱平穩(wěn)時間序列的一階矩和二階矩都是不隨時間變化而改變的常數(shù)。

由于平穩(wěn)時間序列的自相關系數(shù)是時滯s的函數(shù)，因此通常也稱ρs為自相關函數(shù)（Auto-Correlation Function,ACF），ρs對時滯s作圖通常稱為自相關圖（Correlogram）。

容易驗證，和相關系數(shù)一樣，自相關系數(shù)具有如下三個性質(zhì)：

（1）規(guī)范性

（2）對稱性

（3）非負定性

對任意正整數(shù)m ，相關陣Γm為對稱非負定陣。

值得注意的是ρk除了具有這三個性質(zhì)外，它還具有一個特別的性質(zhì)：非唯一性。

一個平穩(wěn)時間序列一定唯一決定了它的自相關函數(shù)，但一個自相關函數(shù)未必唯一對應著一個平穩(wěn)時間序列。在本書所涉及的時間序列建模理論中，只考慮平穩(wěn)性即可，因此本書中后續(xù)涉及的平穩(wěn)性都指弱平穩(wěn)性。

一般來說，滿足嚴平穩(wěn)的序列也具有弱平穩(wěn)性，但嚴平穩(wěn)卻并不能全部涵蓋弱平穩(wěn)。例如，如果一個嚴平穩(wěn)時間序列不存在二階矩或一階矩（如柯西分布），則它就不滿足弱平穩(wěn)性。

2.2.3　時序圖檢驗

所謂時序圖就是一個平面二維坐標圖，通常橫軸表示時間，縱軸表示序列取值，時序圖可以直觀地幫助我們掌握時間序列的一些基本分布特征。

根據(jù)平穩(wěn)時間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時序圖應該顯示出該序列始終在一個常數(shù)值附近隨機波動，而且波動范圍有界的特點。如果觀察序列的時序圖顯示出該序列有明顯的趨勢性或周期性，那它通常不是平穩(wěn)序列。根據(jù)這個性質(zhì)，很多非平穩(wěn)序列通過查看它的時序圖可以立刻被識別出來。

繪制2017年12月5日到12月29日的上證綜指收盤價的時間序列，可得到如圖2-1所示的趨勢圖。

可以看出12月收盤價的時間序列圍繞一個常數(shù)值上下波動，很可能是一個平穩(wěn)的序列。而2017年5—6月上證綜指的時序圖呈現(xiàn)明顯的向上趨勢，如圖2-2所示，該時間段內(nèi)的時間序列明顯不是平穩(wěn)的。更嚴謹?shù)钠椒€(wěn)性檢驗將在后面的章節(jié)中介紹。