1.2 數(shù)學(xué)模型的分類以及建立模型的一般步驟

總結(jié)數(shù)學(xué)模型的分類以及建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟對于初學(xué)者而言是非常重要的。雖然數(shù)學(xué)模型多種多樣，但是其中有著內(nèi)在的相似之處。經(jīng)?？偨Y(jié)經(jīng)驗(yàn)有助于初學(xué)者盡快掌握各類模型，適應(yīng)不同的數(shù)學(xué)建模問題。

數(shù)學(xué)模型可以按照不同方式來分類。比如，按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域可以分為數(shù)量經(jīng)濟(jì)模型、醫(yī)學(xué)模型、地質(zhì)模型、社會模型等；更具體的有人口模型、交通模型、生態(tài)模型等；按照建立模型的數(shù)學(xué)方法可以分為幾何模型、微分方程模型、圖論模型等。數(shù)學(xué)建模的初衷是洞察源于數(shù)學(xué)之外的事物或系統(tǒng)；通過選擇數(shù)學(xué)系統(tǒng)，建立原系統(tǒng)的各部分與描述其行為的數(shù)學(xué)部分之間的對應(yīng)，達(dá)到發(fā)現(xiàn)事物運(yùn)行的基本過程的目的。因此，人們通常也用如下的方法分類：

觀察模型與決策模型 基于對問題狀態(tài)的觀察、研究，所提出的數(shù)學(xué)模型可能有幾種不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如，決策模型是針對一些特定目標(biāo)而設(shè)計(jì)的。典型的情況是：某個(gè)實(shí)際問題需要做出某種決策或采取某種行動以達(dá)到某種目的。決策模型常常是為了使技術(shù)的發(fā)展達(dá)到頂峰而設(shè)計(jì)的，它包括算法和由計(jì)算機(jī)完成的特定問題解的模擬。例如，一般的馬爾可夫鏈模型是觀察模型，而動態(tài)規(guī)劃模型是決策模型。

確定性模型和隨機(jī)性模型 確定性模型建立在如下假設(shè)的基礎(chǔ)上：即如果在時(shí)間的某個(gè)瞬間或整個(gè)過程的某個(gè)時(shí)段有充分的確定信息，則系統(tǒng)的特征就能準(zhǔn)確的預(yù)測，如2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的系泊系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題。確定性模型常常用于物理和工程之中，微分方程模型就是常見的確定性模型。隨機(jī)性模型是在概率意義上描述系統(tǒng)的行為，它廣泛應(yīng)用于社會科學(xué)和生命科學(xué)中出現(xiàn)的問題，如2009年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的眼科病床的合理安排問題。

連續(xù)模型和離散模型 有些問題可用連續(xù)變量描述，比如2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的“嫦娥三號”軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略；有些問題適合離散量描述，比如2013年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的碎紙片拼接復(fù)原問題。有些問題由連續(xù)性變量描述更接近實(shí)際，但也允許離散化處理。

解析模型和仿真模型 建立的數(shù)學(xué)模型可直接用解析式表示，結(jié)果可能是特定問題的解析解，或得到的算法是解析形式的，通?？梢哉J(rèn)為是解析模型，如2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的創(chuàng)意折疊桌椅問題。而實(shí)際問題的復(fù)雜性經(jīng)常使目前的解析法滿足不了實(shí)際問題的要求或無法直接求解。因此，很多實(shí)際問題需要進(jìn)行仿真，如2015年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的太陽影子定位問題。仿真模型可以對原問題進(jìn)行直接或間接的仿真。

在現(xiàn)實(shí)生活工作中所面臨的問題紛繁復(fù)雜，如果需要借助數(shù)學(xué)模型來求解，往往不可能孤立地使用一種方法。需要根據(jù)對研究對象的了解程度和建模目的來決定采用什么數(shù)學(xué)工具。一般來說，建模的方法可以分為機(jī)理分析法、數(shù)據(jù)分析法和類比仿真法等。

機(jī)理分析是根據(jù)對現(xiàn)實(shí)對象特征的認(rèn)識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律。用這種方法建立起來的模型，常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。各個(gè)“量”之間的關(guān)系可以用幾個(gè)函數(shù)、幾個(gè)方程（或不等式）乃至一張圖等數(shù)學(xué)工具明確地表示出來。在內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求時(shí)，可以嘗試采用數(shù)據(jù)分析的方法。首先測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。這種方法也可稱為系統(tǒng)辨識。有時(shí)還要將這兩種方法結(jié)合起來運(yùn)用，即用機(jī)理分析建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)辨識來確定模型的參數(shù)。類比則是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對比，找出若干相同或相似之處，推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維模式，這樣便可借用其他一些已有的模型，推測現(xiàn)實(shí)問題應(yīng)該或可能的模型結(jié)構(gòu)。仿真（也稱為模擬）是以類比為邏輯基礎(chǔ)，用計(jì)算機(jī)模仿實(shí)際系統(tǒng)的運(yùn)行過程。在整個(gè)運(yùn)行時(shí)間內(nèi)，對系統(tǒng)狀態(tài)的變化進(jìn)行觀察和統(tǒng)計(jì)，從而得到系統(tǒng)基本性能的估計(jì)或認(rèn)識。但是，仿真法一般不能得到解析的結(jié)果。

建立數(shù)學(xué)模型沒有固定的模式，通常它與實(shí)際問題的性質(zhì)、建模的目的等有關(guān)。當(dāng)然，建模的過程也有其共性，一般來說大致可以分為以下幾個(gè)步驟：

形成問題 要建立現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)模型，首先要對所要解決的問題有一個(gè)十分明確的提法。只有明確問題的背景，盡量清楚對象的特征，掌握有關(guān)的數(shù)據(jù)，確切地了解建立數(shù)學(xué)模型要達(dá)到的目的，才能形成一個(gè)比較明晰的“問題”。

假設(shè)和簡化 根據(jù)對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要地、合理地假設(shè)和簡化。如前所述，現(xiàn)實(shí)問題通常是紛繁復(fù)雜的，必須緊抓本質(zhì)的因素（起支配作用的因素），忽略次要的因素。此外，一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題不經(jīng)過假設(shè)和化簡，很難歸結(jié)成數(shù)學(xué)問題。因此，有必要對現(xiàn)實(shí)問題做一些簡化，有時(shí)甚至是理想化的簡化假設(shè)。

模型構(gòu)建 根據(jù)所做的假設(shè)，分析對象的因果關(guān)系，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言刻畫對象的內(nèi)在規(guī)律，構(gòu)建現(xiàn)實(shí)問題中各個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。這里，有一個(gè)應(yīng)遵循的原則，即盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具。

檢驗(yàn)和評價(jià) 數(shù)學(xué)模型能否反映原來的現(xiàn)實(shí)問題，必須經(jīng)受多種途徑的檢驗(yàn)。這里包括數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的正確性，即沒有邏輯上自相矛盾的地方；適合求解，即是否會有多解或無解的情況出現(xiàn)；數(shù)學(xué)方法的可行性，迭代方法收斂性以及算法的復(fù)雜性等。而最重要和最困難的問題是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠裾嬲从吃瓉淼默F(xiàn)實(shí)問題。模型必須反映實(shí)際，但又不等同于現(xiàn)實(shí)；模型必須簡化，但過分的簡化則使模型遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)，無法解決現(xiàn)實(shí)問題。因此，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性，對于建模的成敗非常重要。評價(jià)模型的根本標(biāo)準(zhǔn)是看它能否準(zhǔn)確地解決現(xiàn)實(shí)問題。此外，是否容易求解也是評價(jià)模型的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。

模型的改進(jìn) 模型在不斷的檢驗(yàn)過程中進(jìn)行修正，逐步趨向完善，這是建模必須遵循的重要規(guī)律。一旦在檢驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)問題，人們必須重新審視在建模時(shí)所做的假設(shè)和簡化的合理性，檢查是否正確刻畫對象內(nèi)在量之間的相互關(guān)系和服從的客觀規(guī)律。針對發(fā)現(xiàn)的問題做出相應(yīng)的修正。然后，再次重復(fù)建模、計(jì)算、檢驗(yàn)、修改等過程，直到獲得某種程度的滿意模型為止。

模型的求解 經(jīng)過檢驗(yàn)，能比較好地反映現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)模型，最后通過求解得到數(shù)學(xué)上的結(jié)果；再通過“翻譯”回到現(xiàn)實(shí)問題，得到相應(yīng)的結(jié)論。模型若能獲得解的確切表達(dá)式固然最好，但現(xiàn)實(shí)中多數(shù)場合需依靠計(jì)算機(jī)數(shù)值求解。正是由于計(jì)算技術(shù)的飛速發(fā)展，使得數(shù)學(xué)建模現(xiàn)在變得越來越重要。

應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實(shí)際問題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是十分困難的一步。建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，對實(shí)際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，是數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑，數(shù)學(xué)建模在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的重要作用越來越受到數(shù)學(xué)界和工程界的普遍重視，它已成為現(xiàn)代科技工作者必備的重要能力之一。

為了適應(yīng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要和培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次科技人才，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)在大學(xué)教育中普遍開展，國內(nèi)外越來越多的大學(xué)正在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)和參加開放性的數(shù)學(xué)建模競賽，將數(shù)學(xué)建模教學(xué)和競賽作為高等院校的教學(xué)改革和培養(yǎng)高層次科技人才的一個(gè)重要內(nèi)容?，F(xiàn)在許多院校正在將數(shù)學(xué)建模與教學(xué)改革相結(jié)合，努力探索更有效的數(shù)學(xué)建模教學(xué)法和培養(yǎng)面向21世紀(jì)人才的新思路。與我國高校的其他數(shù)學(xué)類課程相比，數(shù)學(xué)建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活、對教師和學(xué)生要求高等特點(diǎn)，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個(gè)不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。為了改變過去以教師為中心、以課堂講授、知識傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模課程指導(dǎo)思想是：以實(shí)驗(yàn)室為基礎(chǔ)、學(xué)生為中心、問題為主線；以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來組織教學(xué)工作。通過教學(xué)使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高他們分析問題和解決問題的能力；提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力，使他們在以后的工作中能經(jīng)常性地使用數(shù)學(xué)去解決問題，提高他們盡量利用計(jì)算機(jī)軟件及當(dāng)代高新科技成果的意識，能將數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)有機(jī)地結(jié)合起來去解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建模以學(xué)生為主，教師利用一些事先設(shè)計(jì)好的問題啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生主動查閱文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)新知識，鼓勵(lì)學(xué)生積極開展討論和辯論，培養(yǎng)學(xué)生主動探索、努力進(jìn)取的學(xué)風(fēng)，培養(yǎng)學(xué)生從事科研工作的初步能力，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神，形成一個(gè)生動活潑的環(huán)境和氣氛。教學(xué)過程的重點(diǎn)是創(chuàng)造一個(gè)環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，教學(xué)過程強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是求得某個(gè)具體問題的結(jié)果。

接受參加數(shù)學(xué)建模競賽賽前培訓(xùn)的同學(xué)大都需要學(xué)習(xí)諸如數(shù)理統(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化、圖論、微分方程、計(jì)算方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、層次分析法、模糊數(shù)學(xué)，以及數(shù)學(xué)軟件包的使用等“短課程（或講座）”，用的學(xué)時(shí)不多，多數(shù)是啟發(fā)性的講一些基本的概念和方法，主要是靠同學(xué)們自己去學(xué)，充分調(diào)動同學(xué)們的積極性，充分發(fā)揮同學(xué)們的潛能。培訓(xùn)中廣泛地采用討論班方式，同學(xué)自己報(bào)告、討論、辯論，教師主要起質(zhì)疑、答疑、輔導(dǎo)的作用，競賽中一定要使用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的軟件，如SPSS, LINGO, Maple, Mathematica, MATLAB甚至排版軟件等。