1.1 認(rèn)識數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模

目前對數(shù)學(xué)模型還沒有一個(gè)統(tǒng)一準(zhǔn)確的定義，站在不同的角度便可以有一個(gè)不同的定義。簡單地說：數(shù)學(xué)模型就是對實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)表述。具體一點(diǎn)說：數(shù)學(xué)模型就是對于一個(gè)特定的對象，為了一個(gè)特定目標(biāo)（目的），根據(jù)其特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，而得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。下面結(jié)合一個(gè)例子加以說明，嫦娥三號于2013年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，其關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求是：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為6個(gè)階段，要求滿足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。在現(xiàn)實(shí)世界中，科學(xué)家無法為嫦娥三號嘗試多次試飛，對比各種軟著陸策略的效果。在發(fā)射嫦娥三號前，科學(xué)家需要計(jì)算嫦娥三號的軟著陸軌道以及最優(yōu)控制策略。也就是說，為實(shí)現(xiàn)嫦娥三號軟著陸的目的，根據(jù)衛(wèi)星在太空中的受力分析規(guī)律，得到嫦娥三號的減速控制策略，此策略也就是所謂的數(shù)學(xué)模型。

我們將數(shù)學(xué)模型理解為是一種將數(shù)學(xué)理論與實(shí)際實(shí)踐相結(jié)合所產(chǎn)生的一種思想方法，是將實(shí)際生活中的切實(shí)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)理論，構(gòu)造算法加以解決的一種思想方法。數(shù)學(xué)模型課程中并沒有太多（對本科生來說）新的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而是將個(gè)人以前學(xué)過的數(shù)學(xué)理論與方法加以分類總結(jié)，指導(dǎo)學(xué)生如何應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的一門課程。

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程。這里的實(shí)際現(xiàn)象既包含具體的自然現(xiàn)象比如自由落體現(xiàn)象，也包含抽象的現(xiàn)象比如顧客對某種商品的價(jià)值傾向等。這里的描述不但包括對外在形態(tài)、內(nèi)在機(jī)制的描述，也包括預(yù)測、試驗(yàn)和解釋實(shí)際現(xiàn)象等內(nèi)容。

我們也可以這樣直觀地理解這個(gè)概念：數(shù)學(xué)建模是一個(gè)讓純粹數(shù)學(xué)家（指只懂?dāng)?shù)學(xué)而不太了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中應(yīng)用的數(shù)學(xué)家）變成物理學(xué)家、生物學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、心理學(xué)家等的過程。數(shù)學(xué)模型一般是實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)簡化。它常常是以某種意義上接近實(shí)際問題的抽象形式存在，但它和真實(shí)的事物有著本質(zhì)的區(qū)別。要描述一個(gè)實(shí)際現(xiàn)象可以有很多種方式，比如錄音、錄像、比喻、傳言等。為了使描述更具科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。使用數(shù)學(xué)等語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。有時(shí)候，我們需要做一些實(shí)驗(yàn)，但這些實(shí)驗(yàn)往往是用抽象出來了的數(shù)學(xué)模型代替實(shí)際物體而進(jìn)行的，實(shí)驗(yàn)本身也是實(shí)際操作的一種理論替代。

下面通過三個(gè)例子讓大家明白什么是數(shù)學(xué)模型、什么是數(shù)學(xué)建模。

例1.1 測量山高問題

小明站在一個(gè)小山上，想要測量這個(gè)山的高度。他站在山邊，采取了最原始的方法：從小山向下丟一小石子，他于5s后聽到了從小山下傳來的回音。請各位嘗試建立數(shù)學(xué)模型估計(jì)小山丘的高度。

解題思路

數(shù)學(xué)建模的初學(xué)者一看到這個(gè)問題也許會認(rèn)為數(shù)學(xué)建模并不是一件困難的事情，因?yàn)楹芏鄬W(xué)生在高中時(shí)就遇到過類似的問題。確實(shí)是這樣！這是一個(gè)比較簡單的實(shí)際問題（數(shù)學(xué)建模問題），大家很容易得到如下結(jié)果：

運(yùn)用自由落體公式可以計(jì)算出山的高度。也許有人會提出疑問：上述運(yùn)算是數(shù)學(xué)建模嗎？如果是，這樣數(shù)學(xué)建模不是很簡單嗎？

是的，我們可以認(rèn)為這樣的過程就是數(shù)學(xué)建模。上述建立的模型可以稱為最理想的自由落體模型，因?yàn)檫@是在非常理想化狀態(tài)下建立的模型，它沒有考慮任何其他可能影響測量的因素。數(shù)學(xué)模型就是一個(gè)解決實(shí)際問題的方法，解決問題即可視為數(shù)學(xué)建模，解決問題時(shí)所用到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)式即為數(shù)學(xué)模型。但是在此需要說明一點(diǎn)：數(shù)學(xué)建模問題與其他數(shù)學(xué)問題不同，數(shù)學(xué)建模問題的結(jié)果本身沒有對錯(cuò)之分，但有優(yōu)劣之分。建立模型解決問題也許不難，但需要所建立的數(shù)學(xué)模型有效地指導(dǎo)實(shí)際工作就比較困難。這正是數(shù)學(xué)建模的難點(diǎn)所在。下面繼續(xù)通過這個(gè)例子來解釋數(shù)學(xué)模型間的優(yōu)劣之分。

雖然上述理想的自由落體模型可以計(jì)算出山的高度，但計(jì)算所得到的結(jié)果可能存在較大的誤差。122.5m這個(gè)答案在中學(xué)考試中應(yīng)該是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案，不會認(rèn)為這個(gè)答案是錯(cuò)誤的。但是，專業(yè)測量隊(duì)在測量山高時(shí)絕對不會采用上述計(jì)算得到的結(jié)果。因?yàn)樗赡艽嬖谳^大的誤差，所以它是不能被接受的。在研究這個(gè)問題時(shí)請不要忘記：現(xiàn)在我們研究的不再是一個(gè)抽象的理論問題而是具體的實(shí)際問題。所建立的數(shù)學(xué)模型或者結(jié)果應(yīng)該能對實(shí)際工作有較強(qiáng)的指導(dǎo)意義，應(yīng)該盡力使求得的答案貼近事實(shí)。

那么，在這個(gè)問題中我們還需要考慮哪些因素？例如人的反應(yīng)時(shí)間，在現(xiàn)實(shí)中這是一個(gè)需要考慮的因素。通過查找資料（數(shù)學(xué)建模競賽過程中允許查找相關(guān)資料來幫助求解。查閱資料在數(shù)學(xué)建模中極其重要，也是現(xiàn)代大學(xué)生必須具備的基本素質(zhì)，http://iask.sina.com.cn/b/3352472.html），可以知道人的反應(yīng)時(shí)間約為0.1s，那么計(jì)算式在結(jié)果上能夠得到改善。

通過上面的分析可以認(rèn)為117.649m比122.5m更加接近實(shí)際情況。相比理想的自由落體模型，以上的數(shù)學(xué)建模過程可以稱為修正的自由落體模型。就實(shí)際測量而言，修正的自由落體模型比理想的自由落體模型更加優(yōu)秀，因?yàn)榈玫降慕Y(jié)果更加接近實(shí)際。兩種模型得到的答案也可以說都是正確的，兩種答案都是基于不同的假設(shè)前提而得到。理想的自由落體模型假設(shè)不考慮人的反應(yīng)時(shí)間，如果你作為專業(yè)測量隊(duì)的隊(duì)長，相信你也會選擇修正自由落體模型，因?yàn)樗玫降拇鸢父咏咏鼘?shí)際情況。

一個(gè)優(yōu)秀的隊(duì)伍往往能夠做更多！在考慮人的反應(yīng)時(shí)間這一因素后，還有沒有其他因素需要考慮，例如空氣阻力？如果從高達(dá)117.649m的山上丟下石子，能不考慮空氣阻力嗎？各位有了大學(xué)生的思維外，還有了大學(xué)生的手段——微積分。通過查閱相關(guān)資料，可以發(fā)現(xiàn)石頭所受空氣阻力和速度成正比，阻力系數(shù)與質(zhì)量之比為0.2。由此我們又可以建立以下微分方程模型：

解微分方程得

積分得

可以發(fā)現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果得到了很大的改善，理想的自由落體模型計(jì)算方法得到的山高122.5m的確存在著較大的誤差。

如果用心，大家可以做得更好。在實(shí)際生活中，回音傳播時(shí)間是另一個(gè)不可忽略的因素。因此我們在上述模型的基礎(chǔ)上引入回音傳播時(shí)間t2，對模型進(jìn)行如下修改：

在這個(gè)例題中，先后呈現(xiàn)了四種不同的解題方法，也可以說四種不同的數(shù)學(xué)模型。從理想的自由落體數(shù)學(xué)模型獲得的122.5m到考慮人的反應(yīng)、阻力、回音的數(shù)學(xué)模型獲得的是79.96m，可見理想模型的122.5m存在非常大誤差，相對誤差超過了50%。

希望大家能夠通過這個(gè)例子體會到數(shù)學(xué)模型的真諦：能夠解決問題的方法就是數(shù)學(xué)模型，其本身沒有對錯(cuò)之分。以上四種模型計(jì)算得到的答案應(yīng)該說都是正確的，但是卻有優(yōu)劣之分，問題在于思考的角度。它是一種新的思維方法，從上面的例子可以得到，數(shù)學(xué)模型往往是以下兩個(gè)方面的權(quán)衡：

1．?dāng)?shù)學(xué)建模是用以解決實(shí)際問題的，所建立的模型不能太理想、太簡單，過于理想化的模型往往脫離實(shí)際情況，這就違背了建模的目的；

2．?dāng)?shù)學(xué)建模必須是以能夠求解為前提的，建立的模型一定要能夠求出解，所建立的模型不能過于實(shí)際，過于實(shí)際的模型往往難以求解，因此做適當(dāng)合理的簡化假設(shè)是十分重要的。

很多剛開始接觸學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的學(xué)生可能認(rèn)為自己的數(shù)學(xué)能力不夠好，因此容易產(chǎn)生打退堂鼓的念頭。然而，他們不知道現(xiàn)在已經(jīng)有很多應(yīng)用軟件可以幫助他們完成數(shù)學(xué)模型的計(jì)算任務(wù)。這樣使得所有專業(yè)的學(xué)生可以站在同一起跑線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型。比如，如果自己不能求解上述微分方程，那么就交給軟件去做吧。上述常微分方程，通過數(shù)學(xué)軟件MATLAB的編程計(jì)算一點(diǎn)也不困難，僅僅一行代碼即可得到答案。在數(shù)學(xué)建模競賽過程中，大家可以借助一切手段（數(shù)學(xué)軟件、圖書資料等）得到你想要的結(jié)果。整體上來說，數(shù)學(xué)軟件MATLAB是一個(gè)非常龐大的軟件，要全部掌握是很困難的，而數(shù)學(xué)建模僅僅只用到其中的部分知識?；贛ATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，本書將結(jié)合例子做一些講解。

例1.2 教室光照問題

現(xiàn)有一個(gè)教室長為15m，寬為12m，在距離地面高2.5m的位置均勻地安放4個(gè)光源，假設(shè)橫向（縱向）墻壁與光源、光源與光源、光源與墻壁之間的距離相等，各個(gè)光源的光照強(qiáng)度均為一個(gè)單位。要求：

1．如何計(jì)算教室內(nèi)任意一點(diǎn)處距離地面1m處的光照強(qiáng)度？（光源對目標(biāo)點(diǎn)的光照強(qiáng)度與該光源到目標(biāo)點(diǎn)距離的平方成反比，與該光源的強(qiáng)度成正比）。

2．畫出距離地面1m處各個(gè)點(diǎn)的光照強(qiáng)度與位置（橫縱坐標(biāo)）之間的函數(shù)關(guān)系曲面圖，同時(shí)給出一個(gè)近似的函數(shù)關(guān)系式。

解題思路

假設(shè)光源對目標(biāo)點(diǎn)的光照強(qiáng)度與該光源到目標(biāo)點(diǎn)距離的平方成反比，并且各個(gè)光源符合獨(dú)立作用與疊加原理。光源在光源點(diǎn)的光照強(qiáng)度為“一個(gè)單位”，并且空間光反射情況可以忽略不計(jì)。

取地面所在的平面為xOy平面，x軸與教室的寬邊平行，y軸與教室的長邊平行，坐標(biāo)原點(diǎn)在地面的中心，如圖1-1所示。在空間中任意取一點(diǎn)i，它的坐標(biāo)可以表示為（xi, yi, zi），那么空間點(diǎn)i的光照強(qiáng)度Ei應(yīng)該滿足以下公式：

將空間點(diǎn)i的縱坐標(biāo)設(shè)定為1，就可以計(jì)算距離地面高1m處各點(diǎn)的光照強(qiáng)度。在MATLAB計(jì)算中都是對離散點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算操作，因此將距離地面高1m處的12m×15m平面離散為網(wǎng)格，每隔0.25m取一個(gè)點(diǎn)，而點(diǎn)與點(diǎn)之間采用插值算法可以得到這個(gè)平面的光照強(qiáng)度，如圖1-2所示。

通過示意圖可以發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)距離地面為1m的平面中，四個(gè)燈下的光照強(qiáng)度最強(qiáng)。上述模型是建立在不考慮墻面反射基礎(chǔ)上。那么，忽略反射的想法是否正確呢？考慮墻面反射對于平面各點(diǎn)光照強(qiáng)度會帶來怎樣的影響？為方便求解，首先假設(shè)墻面反射滿足鏡面反射原理，這也是最簡單的假設(shè)。重新計(jì)算可以得到在距離地面為1m的平面中各點(diǎn)的光照強(qiáng)度如圖1-3所示。對比有無一次鏡面反射，平面光照強(qiáng)度的改善情況如圖1-4所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)：墻邊附近的光照強(qiáng)度改善最大，墻角和墻邊的改善最小。因?yàn)閴呛蛪叺姆瓷渥钌?，這些都與實(shí)際情況符合。

圖1-4顯示，通過一次鏡面反射光照強(qiáng)度最大可以提高0.1左右。那么如果考慮二次反射，二次反射所能增加的光照強(qiáng)度將更加小，可以忽略不計(jì)。需要注意的是：在實(shí)際生活中，墻面的反射并不是簡單的鏡面反射，光源也不是點(diǎn)光源，光照強(qiáng)度也并非簡單疊加。這樣建立的模型將更為復(fù)雜！

例1.3 污染預(yù)測問題—CUMCM2005（部分）

長江是我國第一、世界第三大河流，長江水質(zhì)的污染程度日趨嚴(yán)重，已引起了相關(guān)政府部門和專家們的高度重視。2004年10月，由全國政協(xié)與中國發(fā)展研究院聯(lián)合組成“保護(hù)長江萬里行”考察團(tuán)，從長江上游宜賓到下游上海，對沿線21個(gè)重點(diǎn)城市做了實(shí)地考察，揭示了一幅長江污染的真實(shí)畫面，其污染程度讓人觸目驚心。假如不采取更有效的治理措施，依照過去10年的主要統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對長江未來水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢做出預(yù)測分析，比如研究未來10年的情況。表1-1為1995—2004年長江的排污量，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，預(yù)測2005—2014年長江的排污量。

解題思路

如果能夠找到一種合理的函數(shù)表達(dá)式來表示數(shù)據(jù)的增長趨勢，函數(shù)的自變量為年份，因變量為預(yù)測量，就可完成預(yù)測工作。一旦找到了這樣的函數(shù)，只需要將預(yù)測的年份代入函數(shù)表達(dá)式，就可以做預(yù)測。根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)，運(yùn)用最小二乘擬合方式，便可以確定函數(shù)的系數(shù)。預(yù)測過程如下所示：首先將1995—2004年的數(shù)據(jù)以散點(diǎn)圖的方式表現(xiàn)出來，如圖1-5所示，這樣可以觀察數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的內(nèi)在關(guān)系。通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)以類似二次函數(shù)形式增長。因此可以假定數(shù)據(jù)以二次函數(shù)形式增長，通過最小二乘擬合確定二次函數(shù)的系數(shù)（可用MATLAB來實(shí)現(xiàn)），并預(yù)測2005—2014年的排污量數(shù)據(jù)，如圖1-6所示。

通過MATLAB程序可以尋找出與實(shí)際數(shù)據(jù)最貼近的二次函數(shù)表達(dá)式為：

P=0.84×Year 2-3300×Year+3300000

通過圖1-6可以發(fā)現(xiàn)擬合效果還是比較好的，通過代入2005—2014，就可以得到那些年份的排污量數(shù)據(jù)如表1-2所示。

以上三題雖然涉及的內(nèi)容各不相同，但是作為數(shù)學(xué)建模問題有著以下的共同之處：

1．都是通過建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，可以看出數(shù)學(xué)模型不是特指哪一塊數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，而是指一種解決問題的思想。數(shù)學(xué)模型的很多內(nèi)容對大家來說并不是全新的，本書的目的就在于幫助大家整理所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，用所學(xué)的知識解決實(shí)際問題。

2．?dāng)?shù)學(xué)模型本身沒有對錯(cuò)，只是在方法、結(jié)果上有優(yōu)劣之分。解決一個(gè)實(shí)際問題的方法也許有很多，所建立的數(shù)學(xué)模型也會有很多，但是大家要學(xué)會分析和思考。

通過以上三個(gè)例子的簡單介紹，希望大家能夠初步明白什么是數(shù)學(xué)模型、對數(shù)學(xué)建模的過程有一個(gè)大致的了解。下面我們將比較系統(tǒng)地介紹數(shù)學(xué)建模的一般步驟，知道如何建立數(shù)學(xué)模型。