2.2 公平席位分配方案

某學(xué)院有3個(gè)系共200名學(xué)生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，現(xiàn)要選出20名學(xué)生代表組成學(xué)生會。如果按學(xué)生人數(shù)的比例分配席位，那么甲、乙、丙系分別占10、6、4個(gè)席位，這當(dāng)然沒有什么問題（即公平）。

但是若按學(xué)生人數(shù)的比例分配的席位數(shù)不是整數(shù)，就會帶來一些麻煩。比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？下表按“比例”來分配20和21個(gè)席位，你認(rèn)為這樣分配公平嗎？

解題思路

按照“比例”分配20個(gè)席位：甲、乙、丙三系分別得到10.3、6.3、3.4席，舍去小數(shù)部分后分別得到10、6、3席，剩下的1席分給“損失”最大（即小數(shù)部分最大）的丙系，于是三個(gè)系仍分別占10、6、4席。按照“比例”分配21個(gè)席位：甲、乙、丙三系分別得到10.815、6.615、3.570席，舍去小數(shù)部分后分別得到10、6、3席，剩下的2席分給“損失”最大（即小數(shù)部分最大）的甲系和乙系，于是三個(gè)系分別占11、7、3席。這樣的分配是不公平的，至少對丙系而言是不公平的！因?yàn)橄辉黾恿耍档玫降南环炊鴾p少了。

先就A、B兩方席位分配情況加以說明。設(shè)A、B兩方人數(shù)分別為p1、p2，占有席位分別為n1、n2，則p1/n1與p2/n2表示兩方每個(gè)席位所代表的人數(shù)。顯然只有當(dāng)p1/n1=p2/n2時(shí)，席位分配才是公平的。但是，由于人數(shù)和席位都是整數(shù)，通常兩者是不等的，這時(shí)席位分配不公平。

不妨p1/n1＞p2/n2，即分配對A方是不公平，直觀的想法是用數(shù)值p1/n1-p2/n2表示對A的絕對不公平值，但絕對不公平值往往難以區(qū)分不公平程度。所以，絕對不公平值不是一個(gè)好的衡量指標(biāo)。為了改善上述絕對標(biāo)準(zhǔn)，因此引入相對標(biāo)準(zhǔn)。

若p1/n1＞p2/n2，則稱rA（n1, n2）=（p1/n1-p2/n2）/（p2/n2）=（p1n2）/（p2n1）-1為對A的相對不公平值；若p1/n1＜p2/n2，則稱rB（n1, n2）=（p2/n2-p1/n1）/（p1/n1）=（p2n1）/（p1n2）-1為對B的相對不公平值。建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo)后，制訂席位分配方案的原則是使它們盡可能小。

假設(shè)A、B兩方已分別占有n1和n2個(gè)席位，利用不公平值來確定，當(dāng)總席位增加1席時(shí)，應(yīng)該分配給A方還是B方。不失一般性，設(shè)p1/n1＞p2/n2，即對A不公平。當(dāng)再增加一個(gè)席位時(shí)，有下列三種情形：

（1）p1/（n1+1）＞p2/n2，這表明即使A方再增加1席，仍對A不公平，所以這1席顯然應(yīng)分給A方；

（2）p1/（n1+1）＜p2/n2，這表明A方增加1席時(shí)，將對B不公平，此時(shí)對B的相對不公平值為：rB（n1+1, n2）=[p2（n1+1）]/（p1n2）-1；

（3）p1/n1＞p2/（n2+1），這表明B方增加1席時(shí)，將對A更不公平，此時(shí)對A的相對不公平值為：rA（n1, n2+1）=[（n2+1）p1]/（p2n1）-1。

按照公平分配席位的原則，即使得相對不公平值盡可能小。所以如果rB（n1+1, n2）＜rA（n1, n2+1），則這一席應(yīng)給A方；反之，則應(yīng)給B方。根據(jù)上述確定的分配方案，可對其進(jìn)行簡化。注意到rB（n1+1, n2）＜rA（n1, n2+1）等價(jià)于：。

并且不難證明，情形（1）也可推得此式。于是得到結(jié)論：當(dāng)上式成立時(shí)，增加的1席應(yīng)分給A方；反之，應(yīng)分給B方。若記，則增加的1席應(yīng)分配給Q值較大的一方。這種席位分配方法稱為Q值法。上述Q值法還可以推廣到m 方的情況：計(jì)算Qi=，則這一席位應(yīng)分配給Q值最大的一方。

下面按照Q值法對甲、乙、丙三系的21個(gè)席位重新計(jì)算。先算比例再取整，可得n1=10, n2=6, n3=3，已占取19個(gè)席位。現(xiàn)討論第20和21個(gè)席位歸于何方：

可以將這個(gè)例子進(jìn)行擴(kuò)展，形成更為一般的情況：某校共有m個(gè)系，第i系學(xué)生數(shù)為ni （i=1,2, …, m），校學(xué)生會共設(shè)N個(gè)席位。怎樣才能公平地把這些席位分配給各系？

顯然，m與ni（i=1,2, …，m）應(yīng)為正整數(shù)，全校學(xué)生數(shù)記為。假設(shè)每個(gè)系至少應(yīng)分得一個(gè)席位（否則把其剔除），至多分得ni（i=1,2, …, m）個(gè)席位，m≤N＜n。對于全校而言，每個(gè)席位代表的學(xué)生數(shù)為a=n/N。第i系按學(xué)生數(shù)比例應(yīng)分得的席位數(shù)為αi=ni/n×N=ni/a。第i系實(shí)際分得的席位數(shù)為Ni，第i系每個(gè)席位代表的學(xué)生數(shù)可以表示為ai=ni/Ni。通過分析可以認(rèn)為：ai 越大的系，損失也就越大。因此，需要盡量照顧ai 越小的系或者認(rèn)為各系ai 應(yīng)該盡量接近。故可提出如下各種“公平性”標(biāo)準(zhǔn)：

標(biāo)準(zhǔn) 1：要求z=maxai 最小，即損失最大的系損失盡量小。

標(biāo)準(zhǔn)2：要求最小，即各系的損失應(yīng)該盡量接近。

標(biāo)準(zhǔn)3：要求z=minai 最小，即損失最小的系損失盡量小。

標(biāo)準(zhǔn)4：要求最小，即各系的損失應(yīng)該盡量接近。

針對不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以建立不同的模型。下面僅針對標(biāo)準(zhǔn)1進(jìn)行建模討論。

ai取整后，每席代表的學(xué)生數(shù)為。其中，βi={αi}/[αi]，稱為判別數(shù)；{αi}表示αi的小數(shù)部分。βi越大的系就越吃虧，按照標(biāo)準(zhǔn)1應(yīng)該被優(yōu)先照顧。

分配方法的算法流程如下，其中。

當(dāng)N=21、n=200時(shí)，運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)1進(jìn)行如下計(jì)算，得到席位分配表如表2-3所示：

【思考題】 本節(jié)給出了兩種不同方法的席位分配模型，請討論哪種模型更加公平，是否存在其他席位分配？