2.3 平面機構(gòu)的自由度

2.3.1 平面機構(gòu)自由度計算公式

機構(gòu)具有確定運動時所必須給定的獨立運動的數(shù)目稱為機構(gòu)的自由度。由理論力學(xué)可知，一個作空間運動而不受任何約束的構(gòu)件（剛體），在空間自由運動時有六個自由度，即在直角坐標系內(nèi)沿著三個坐標軸的移動和繞三個坐標軸的轉(zhuǎn)動。一個作平面運動而不受任何約束的構(gòu)件（剛體），具有三個自由度，如圖2.8所示，構(gòu)件1在與構(gòu)件2未構(gòu)成運動副時，具有沿軸x及y的移動和繞與運動平面垂直的軸線轉(zhuǎn)動的三個獨立運動，即具有三個自由度。

當兩個構(gòu)件構(gòu)成運動副時，如圖2.9～圖2.12所示，構(gòu)件的某些獨立運動受到限制，這種限制稱為約束，即運動副對構(gòu)件的獨立運動所加的限制。運動副每引入一個約束，構(gòu)件就失去一個自由度。圖2.9所示構(gòu)件1與構(gòu)件2構(gòu)成轉(zhuǎn)動副，構(gòu)件1沿軸x及y的移動被約束，使構(gòu)件1只能相對構(gòu)件2轉(zhuǎn)動；圖2.10中構(gòu)件1與構(gòu)件2構(gòu)成移動副，構(gòu)件1沿軸y的移動和繞與運動平面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動被約束，使構(gòu)件1只能相對構(gòu)件2沿軸x移動；圖2.11、圖2.12中構(gòu)件1與構(gòu)件2構(gòu)成平面高副，構(gòu)件2沿法線n—n方向的移動被約束，構(gòu)件2相對構(gòu)件1沿切線t—t方向移動以及繞與運動平面垂直的軸線轉(zhuǎn)動。由此可見，平面低副（轉(zhuǎn)動副或移動副）將引進兩個約束，使兩構(gòu)件只剩下一個相對轉(zhuǎn)動或相對移動的自由度；平面高副引進一個約束，使兩構(gòu)件只剩下相對滾動和相對滑動兩個自由度。

如果一個平面機構(gòu)中有n個活動構(gòu)件（機架為參考坐標系），當各構(gòu)件尚未通過運動副相連接時，共有3n個自由度。若各構(gòu)件之間共構(gòu)成PL個低副和PH個高副，則全部運動副所引入的約束數(shù)為2PL+PH。機構(gòu)的自由度數(shù)等于活動構(gòu)件的自由度總數(shù)減去運動副引入的約束總數(shù)，用F表示，則平面機構(gòu)的自由度為

由上式可知，機構(gòu)自由度F取決于活動構(gòu)件的數(shù)目以及運動副的性質(zhì)和數(shù)目。

例2.3 試計算如圖2.13所示機構(gòu)的自由度。

解：該機構(gòu)為鉸鏈四桿機構(gòu)，共有3個活動構(gòu)件（n=3），4個低副（轉(zhuǎn)動副，PL=4），沒有高副（PH=0），根據(jù)式（2-1），機構(gòu)自由度為

F=3n—2PL—PH=3×3—2×4—0=1

例2.4 試計算如圖2.14所示機構(gòu)的自由度。

解：該機構(gòu)為鉸鏈五桿機構(gòu)，共有4個活動構(gòu)件（n=4），5個低副（轉(zhuǎn)動副，PL=5），沒有高副（PH=0），根據(jù)式（2-1），機構(gòu)自由度為

F=3n—2PL—PH=3×4—2×5—0=2

2.3.2 計算平面機構(gòu)自由度時的注意事項

1．復(fù)合鉸鏈

圖2.15所示機構(gòu)中，構(gòu)件2、構(gòu)件3和構(gòu)件4三個構(gòu)件在B處存在兩個轉(zhuǎn)動副，由于視圖的關(guān)系，它們重疊在了一起。實際上兩個構(gòu)件可以構(gòu)成一個鉸鏈；三個構(gòu)件可以構(gòu)成兩個重疊的鉸鏈（實際情況如圖2.16（a）所示）；四個構(gòu)件構(gòu)成三個重疊的鉸鏈（實際情況如圖2.16（b）所示）；不難推知，m個構(gòu)件可以形成m—1個鉸鏈。因此把兩個以上的構(gòu)件形成的轉(zhuǎn)動副稱為復(fù)合鉸鏈，在計算機構(gòu)的自由度時不要忽略復(fù)合鉸鏈的存在。

例2.5 計算圖2.17所示直線機構(gòu)的自由度。

解：在此機構(gòu)中，A、B、C、D四處都是由三個構(gòu)件組成的復(fù)合鉸鏈，它們各具有兩個運動副，故n=7，PL=10，PH=0。由式（2-1）可得其自由度為

F=3n—2PL—PH=3×7—2×10—0=1

計算結(jié)果與實際情況相符。

2．局部自由度

圖2.18（a）所示的凸輪機構(gòu)中，為了減少高副接觸處的磨損，在凸輪和從動件之間安裝了圓柱形滾子。滾子繞其自身軸線的自由轉(zhuǎn)動不影響其他構(gòu)件的運動，這種與機構(gòu)的其他構(gòu)件運動無關(guān)的自由度，稱為局部自由度。在計算機構(gòu)自由度時，局部自由度應(yīng)舍棄不計。可以設(shè)想將滾子與從動件焊成一體，如圖2.18（b）所示，先排除局部自由度，然后進行計算。

例2.6 計算圖2.19所示小型壓力機的機構(gòu)自由度。

解：由前面分析可知，該機構(gòu)活動桿件數(shù)為8，轉(zhuǎn)動副數(shù)為7，移動副數(shù)為3，高副為2。但構(gòu)件4與凸輪6之間以滾子5實現(xiàn)滾動接觸，故此處引入了一個局部自由度，應(yīng)排除（即設(shè)想將滾子與構(gòu)件4焊成一體）。這樣n=7，PL=9，PH=2，自由度為

F=3n—2PL—PH=3×7—2×9—2=1

3．虛約束

在運動副所加的約束中，有些約束所起的限制作用是重復(fù)的，這種起重復(fù)限制作用的約束稱為虛約束。如圖2.20（a）所示的平行四邊形機構(gòu)中，連桿3作平移運動，其上各點的軌跡均為以AB為半徑，圓心在AD線上的圓。若在該機構(gòu)中再加上一個構(gòu)件5，使其與構(gòu)件2、4相互平行，且長度相等，如圖2.20（b）所示。由于桿5上點M的軌跡與BC桿上點M的軌跡是相互重合的，因此加上桿5后，并不影響機構(gòu)的運動，但此時若按式（2-1）計算自由度，則有

F=3n—2PL—PH=3×4—2×6—0=0

這個結(jié)果與實際情況不符，造成這個結(jié)果的原因是加入了一個構(gòu)件5，同時引入了3個自由度，增加了2個轉(zhuǎn)動副，將引入F=3×1—2×2=—1的自由度，則由此多引入一個約束，而實際上此約束對機構(gòu)的運動起著重復(fù)的限制作用，故為虛約束。由此可以看出，在利用式（2-1）計算機構(gòu)自由度時，應(yīng)將產(chǎn)生虛約束的構(gòu)件和運動副去掉，然后再進行計算，則有

F=3n—2PL—PH=3×3—2×4—0=1

機構(gòu)常見的虛約束有如下幾種情況。

（1）對同一移動構(gòu)件的平行虛約束

兩個構(gòu)件間形成多個移動副，并且導(dǎo)路方向平行，這時只有一個移動副起到約束作用，其他移動副所引入的約束都是虛約束。例如圖2.21中，構(gòu)件4對構(gòu)件3分別在C處和D處形成約束，而在實際的運動分析中，只考慮其中一處約束就可以了。

（2）對同一轉(zhuǎn)動構(gòu)件的同軸虛約束

兩個構(gòu)件彼此之間在同一軸線上構(gòu)成多個轉(zhuǎn)動副，這時只有一個轉(zhuǎn)動副對運動起約束作用，其他轉(zhuǎn)動副引入的約束都是虛約束。

如圖2.22所示，構(gòu)件1與2在A、B兩端各形成一個轉(zhuǎn)動副，且它們擁有同一軸線，因此其中之一屬于虛約束。即從運動學(xué)的觀點來說，這兩個轉(zhuǎn)動副對轉(zhuǎn)動構(gòu)件2的約束與其中之一起到的作用一樣，所以進行自由度計算時只考慮一個轉(zhuǎn)動副。在實際機器中采用這種虛約束，是為了支撐的穩(wěn)定性和受力的合理性考慮的。

（3）兩構(gòu)件組成多個平面高副

兩構(gòu)件組成多個平面高副，且各接觸點的公法線重合，如圖2.23所示。在接觸點B、B′的法線n—n和n′—n′重合，即從運動學(xué)的觀點來說這兩個平面高副起到的作用一樣，所以自由度計算時只考慮一個平面高副。如果各接觸處的公法線不重合，如圖2.24（a）、（b）的情況將提供兩個約束相當于兩個平面高副。

（4）等距運動副的虛約束

在機構(gòu)的運動中，若處在兩構(gòu)件上的兩個點之間的距離始終保持不變，這時引入一個構(gòu)件將此兩點和兩個運動副相連，則由此引入的一個約束也是虛約束。

圖2.25所示機構(gòu)中，和，機構(gòu)在運行時，E點與F點之間的距離始終保持不變。即無論EF兩點是否用構(gòu)件5連接起來，ADEF四點始終保持平行四邊形的幾何關(guān)系。附加構(gòu)件5和其兩端的轉(zhuǎn)動副E、F將引入F=3×1—2×2=—1的自由度，則多引入一個約束，此約束對機構(gòu)的運動實際不起約束作用，故為虛約束。在計算自由度時，先把附加構(gòu)件5和其兩端的轉(zhuǎn)動副E、F去掉，再進行自由度計算。

（5）運動軌跡重合的運動副的虛約束

在機構(gòu)中如果把處在兩構(gòu)件上的兩點用另外一個新添加的構(gòu)件相連，而新添加的這個構(gòu)件上連接點所形成的運動副的軌跡又與原來構(gòu)件上的點的軌跡重合，則此時引入的這個構(gòu)件以及該構(gòu)件與原來構(gòu)件上的點相連接所形成的這兩個運動副即成為虛約束。引入的一個新構(gòu)件具有3個自由度，而兩個轉(zhuǎn)動副則要限制4個自由度，自由度F=3×1—2×2=—1，綜合作用效果相當于引入一個約束，而這個約束即為虛約束。

圖2.26（a）所示為機動車輪聯(lián)動機構(gòu)的平行四邊形機構(gòu)，其中。這時計算機構(gòu)的自由度就會得到n=4、PL=6、PH=0，則

F=3n—2PL—PH=3×4—2×6—0=0

計算結(jié)果表明機構(gòu)不能運動，而實際中許多這樣的機構(gòu)是可以運動的，如機動車輪聯(lián)動機構(gòu)。其原因就是5桿和EF兩個運動副形成了虛約束。在圖2.26（a）中由于ABCD構(gòu)成了一個平行四邊形機構(gòu)，所以2桿上所有的點的軌跡都是圓心在4桿上對應(yīng)點的圓。而E點軌跡的圓心恰恰是F點，無論5桿是否存在，對E點的軌跡并無干涉，所以5桿對原機構(gòu)構(gòu)成虛約束，對機構(gòu)的運動無影響。

在計算機構(gòu)自由度時，應(yīng)將引入的約束構(gòu)件5和其上的兩個轉(zhuǎn)動副拆去后才能得到正確的結(jié)果，即n=3、PL=4、PH=0，則F=3n—2PL—PH=3×3—2×4—0=1。當然拆除構(gòu)件1或構(gòu)件3，其結(jié)論也是一樣的。

如果上述機構(gòu)中不滿足的條件（如圖2.26（b）所示），即5桿連接的不是E點和E點軌跡的圓心F點，而是連接2桿上的E點和4桿上的其他點（如G點），此時引入的5桿不能滿足虛約束的條件，所以計算該機構(gòu)的自由度可得F=0，表明機構(gòu)確實不能運動。

（6）對稱構(gòu)件的虛約束

圖2.27所示的輪系中，從運動學(xué)的角度分析只要一個行星輪便能滿足運動要求，此時機構(gòu)的自由度為F=3n—2PL—PH=3×3—2×3—2=1。為了受力均衡，采取三個行星輪2、2′和2″對稱布置的結(jié)構(gòu)，增加了兩個行星輪2′和2″以及兩個轉(zhuǎn)動副和4個平面高副，則引入的自由度為F=3n—2PL—PH=3×2—2×2—4=—2，即引入兩個約束。兩個行星輪2′和2″與行星輪2的運動完全相同，并不影響機構(gòu)的運動，所以引入的兩個約束為虛約束。

機構(gòu)中的虛約束都是在一些特定幾何條件下出現(xiàn)的，如果這些幾何條件不能滿足，則虛約束就會成為實際有效的約束，從而使機構(gòu)卡住不能運動。所以，從保證機構(gòu)運動和便于加工裝配等方面考慮，應(yīng)盡量減少機構(gòu)的虛約束。但為了改善構(gòu)件的受力，增加機構(gòu)的剛度，在實際機械中虛約束又被廣泛地應(yīng)用。在機械設(shè)計過程中，是否使用及如何使用虛約束，必須對現(xiàn)代機械裝備進行全面的分析后再確定。

2.3.3 機構(gòu)具有確定運動的條件

機構(gòu)的自由度是指機構(gòu)具有確定運動時所必須給定的獨立運動參數(shù)的數(shù)目，即機構(gòu)中各構(gòu)件相對于機架所具有的獨立運動的個數(shù)。

圖2.28所示為一鉸鏈四桿機構(gòu)，機構(gòu)的自由度為F=1，機構(gòu)具有確定運動時所必須給定的獨立運動參數(shù)的數(shù)目為1。機構(gòu)的原動件一般都是用轉(zhuǎn)動副或移動副與機架相連，因此每個原動件只能輸入一個獨立運動。構(gòu)件1為原動件，參變量φ1表示構(gòu)件1的獨立運動，每給定一個φ1的數(shù)值，從動件2、3便有一個確定的相應(yīng)位置。由此可見，自由度等于1的機構(gòu)在具有一個原動件時運動是確定的。

圖2.29所示的鉸鏈五桿機構(gòu)，機構(gòu)的自由度F=2，如果只有構(gòu)件1為原動件，即只給定原動件1的參變量φ1時，由于構(gòu)件4的位置不確定，構(gòu)件2和3可以處在圖示的實線位置或雙點畫線位置，也可處在其他位置，即從動件的運動是不確定的。只有給出兩個原動件，使構(gòu)件1、4都處于給定位置，才能使從動件獲得確定運動。若取構(gòu)件1和4為原動件，φ1和φ4分別表示構(gòu)件1和4的獨立運動，每當給定一組φ1和φ4的數(shù)值，從動件2和3便有一個確定的相應(yīng)位置。由此可見，自由度等于2的機構(gòu)在具有兩個原動件時才有確定的相對運動。

圖2.30所示的構(gòu)件組合中，n=4，PL=6，PH=0，此構(gòu)件組合的自由度F=0，所以是一個靜定桁架。

圖2.31所示的構(gòu)件組合中，n=3，PL=5，PH=0，此構(gòu)件組合的自由度F=—1，說明它所受的約束過多，是一個超靜定的桁架。

綜上所述，機構(gòu)的自由度F、機構(gòu)原動件的數(shù)目與機構(gòu)的運動有著密切的關(guān)系：

（1）若機構(gòu)自由度F≤0，則機構(gòu)不能動，變?yōu)殍旒堋?/p>

（2）若F＞0，且與原動件數(shù)相等，則機構(gòu)各構(gòu)件間的相對運動是確定的，即機構(gòu)具有確定運動的條件是機構(gòu)自由度必須大于零，且原動件數(shù)與其自由度相等。

（3）若F＞0，而原動件數(shù)小于F，則構(gòu)件間的運動是不確定的。

（4）若F＞0，而原動件數(shù)大于F，則構(gòu)件間不能運動或產(chǎn)生破壞。

例2.7 試計算如圖2.32所示機構(gòu)的自由度，若含有復(fù)合鉸鏈、局部自由度和虛約束，請明確指出。

解：機構(gòu)中點C、E有一處為虛約束，點B有一個局部自由度，點G是復(fù)合鉸鏈。去掉虛約束和局部自由度，則n=7，PL=9，PH=2。其自由度為

F=3n—2PL—PH=3×7—2×9—2=1