1.4 連續(xù)時(shí)間信號的分解

信號的分解特性是系統(tǒng)分析的理論基礎(chǔ)。輸入信號可以分解為眾多基本信號的線性組合，因此只需要研究系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)，就能方便地得到系統(tǒng)對任意信號的響應(yīng)。信號可以從不同的角度分解，信號分解方式的不同導(dǎo)致系統(tǒng)不同的分析方法。下面討論信號的時(shí)域分解。

1.4.1 信號的交直流分解

信號f（t）的直流分量是指信號的平均值，記為，它是信號波動的中心。信號隨時(shí)間變化的部分稱為信號的交流分量，記為，并且有

若f（t）是功率信號，則有

式（1-36）說明，信號的平均功率等于其直流功率和交流功率之和。

1.4.2 信號的沖激函數(shù)分解

任意信號可以用多個(gè)矩形脈沖來逼近，如圖1-23所示。

當(dāng)t=τ時(shí)，脈沖高度為f（τ），脈沖寬度為Δτ，存在區(qū)間為ε（t–τ）–ε（t–τ–Δτ），于是，此窄脈沖可表示為

當(dāng)τ從–∞變化到∞時(shí)，f（t）可表示為多個(gè)窄脈沖的疊加

令Δτ→0，則有

當(dāng)Δτ→dτ時(shí)，，因此有

式（1-38）表明，信號f（t）可以分解為不同時(shí)刻的、不同強(qiáng)度的沖激函數(shù)之和。在每個(gè)分解點(diǎn)τ處沖激的強(qiáng)度為f（τ）。

信號的沖激函數(shù)分解在系統(tǒng)分析中有重要意義。當(dāng)求解信號f（t）通過LTI系統(tǒng)產(chǎn)生響應(yīng)時(shí)，只需求解沖激信號通過該系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)，然后利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，進(jìn)行疊加和延時(shí)即可求得信號f（t）產(chǎn)生的響應(yīng)。

1.4.3 信號的階躍函數(shù)分解

除了用多個(gè)矩形脈沖之和來表示信號之外，信號還可以用一系列階躍信號的疊加來逼近，如圖1-24所示。

當(dāng)Δt→dτ時(shí)，kΔt→τ，∑→∫，因此有

當(dāng)t從–∞變化到∞時(shí)，式（1-39）為

式（1-40）表明，信號f（t）可以分解為無窮多個(gè)階躍信號的疊加。在每個(gè)分解點(diǎn)τ處階躍信號的幅度為f′（τ）。

除了上述分解外，還有前面提到的信號的奇、偶分解以及虛、實(shí)分解等。信號的分解是系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)，不同的分解方法，導(dǎo)致系統(tǒng)不同的分析方法。在后面章節(jié)將會介紹信號的其他分解形式。