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1.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)

連續(xù)時(shí)間信號(hào)是指以時(shí)間為自變量,并且在某個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)除有限個(gè)間斷點(diǎn)外都有定義的信號(hào)。

1.3.1 信號(hào)的基本運(yùn)算

1.信號(hào)的相加和相乘

兩個(gè)信號(hào)相加,其和信號(hào)在任意時(shí)刻的信號(hào)值等于兩信號(hào)在該時(shí)刻的信號(hào)值之和。和信號(hào)可直接用加法表示為

兩個(gè)信號(hào)相乘,其積信號(hào)在任意時(shí)刻的信號(hào)值等于兩信號(hào)在該時(shí)刻的信號(hào)值之積。積信號(hào)可用乘法表示為

【例1-1】用MATLAB實(shí)現(xiàn)信號(hào)f1t)=sin(πt)和f2t)=sin(10πt)的相加和相乘,試分別繪制這兩個(gè)信號(hào)及它們的和信號(hào)和積信號(hào)的波形。

:采用數(shù)值計(jì)算方法,代碼如下:

     t=0:0.01:2;    %定義從0到2,間隔為0.01的時(shí)間向量
     x1=sin(1*pi*t);         %定義信號(hào)x1
     x2=sin(6*pi*t);         %定義信號(hào)x2
     x3=x1+x2;               %信號(hào)相加
     x4=x1.*x2;              %信號(hào)相乘
     %畫(huà)函數(shù)圖
     subplot(2,2,1)          %畫(huà)第一個(gè)子圖(在一幅圖中畫(huà)出4個(gè)子圖,其中每一行包括2個(gè)子圖)
     plot(t,x1)              %畫(huà)x1的連續(xù)圖
     xlabel('t(sec)')        %x軸標(biāo)記
     ylabel('x(t)')                    %y軸標(biāo)記
     subplot(2,2,2)                              %畫(huà)第二個(gè)子圖
     plot(t,x2)                                  %畫(huà)x2的連續(xù)圖
     xlabel('t(sec)')                            %x軸標(biāo)記
     ylabel('x(t)')                              %y軸標(biāo)記
     subplot(2,2,3)                              %畫(huà)第三個(gè)子圖
     plot(t,x3,t,x1+1,'r--',t,x1-1,'r--')        %畫(huà)x3和的連續(xù)圖,以紅色虛線作圖
     xlabel('t(sec)')                            %x軸標(biāo)記
     ylabel('y(t)')                              %y軸標(biāo)記
     subplot(2,2,4)                              %畫(huà)第四個(gè)子圖
     plot(t,x4,t,x1,'r--',t,-x1,'r--')           %畫(huà)x4的連續(xù)圖,以紅色虛線作圖
     xlabel('t(sec)')                            %x軸標(biāo)記
     ylabel('y(t)')                              %y軸標(biāo)記

運(yùn)行結(jié)果如圖1-1所示。

圖1-1 信號(hào)的相加和相乘

2.信號(hào)的平移、翻轉(zhuǎn)和尺度變換

(1)平移:將信號(hào)ft)變換為ftτ),相當(dāng)于信號(hào)ft)的波形在t軸上平移。若τ>0,則右移τ個(gè)單位;若τ<0,則左移|τ|個(gè)單位。

如圖1-2所示,ft–1)的波形是ft)的波形向右平移一個(gè)單位,ft+1)的波形是ft)的波形向左平移1個(gè)單位。

圖1-2 信號(hào)的平移

(2)翻轉(zhuǎn):將信號(hào)ft)變換為f(–t),此時(shí)f(–t)的波形相當(dāng)于ft)的波形以縱軸為中心作180°翻轉(zhuǎn),如圖1-3(b)所示。此運(yùn)算實(shí)質(zhì)上是取其原信號(hào)自變量軸的負(fù)方向作為變換后信號(hào)自變量軸的正方向,因此又稱(chēng)為時(shí)間軸反轉(zhuǎn)。

圖1-3 信號(hào)的翻轉(zhuǎn)

(3)尺度變換:將信號(hào)ft)變換為fα t),若α>1,則fα t)的波形相當(dāng)于將ft)的波形壓縮α倍;若0<α<1,則fα t)的波形相當(dāng)于將ft)的波形擴(kuò)展1/α倍,這種運(yùn)算稱(chēng)為信號(hào)的尺度變換。如圖1-4(b)、(c)所示,f(2t)的波形是ft)的波形壓縮2倍得到,的波形是ft)的波形擴(kuò)展2倍。

圖1-4 信號(hào)的尺度變換

圖1-5 例1-2圖

在對(duì)信號(hào)進(jìn)行尺度變換時(shí),是以原點(diǎn)O為中心對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮或擴(kuò)展,而不是以圖形的中心為基準(zhǔn)進(jìn)行壓縮和擴(kuò)展。

【例1-2】已知ft)的波形如圖1-5所示,試畫(huà)出f(–2t–3)的波形。

:根據(jù)壓縮、翻轉(zhuǎn)和平移的順序,信號(hào)依次變換的波形如圖1-6所示。

圖1-6 例1-2信號(hào)的運(yùn)算過(guò)程

1.3.2 偶信號(hào)和奇信號(hào)

偶信號(hào)是指關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)的信號(hào),可表示為

奇信號(hào)是指關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的信號(hào),可表示為

任何信號(hào)ft)都可以用一個(gè)偶信號(hào)fet)與一個(gè)奇信號(hào)fot)之和表示,fet)和fot)分別稱(chēng)為ft)的偶分量和奇分量,即有

其中

【例1-3】已知信號(hào)

求信號(hào)的偶分量和奇分量,并分析信號(hào)的偶分量和奇分量的連續(xù)性。

:由于ft)是一個(gè)非奇非偶信號(hào),其奇、偶分量一定存在,因此對(duì)其進(jìn)行奇偶分解,得到偶分量為

奇分量為

可以驗(yàn)證,奇分量與偶分量之和即是原信號(hào)。信號(hào)的偶部和奇部在原點(diǎn)處都不連續(xù)。

【例1-4】用MATLAB繪制例1-3信號(hào)的奇、偶分量的波形,并繪制奇、偶分量的和信號(hào)的波形,比較是否和原信號(hào)一樣。

:采用符號(hào)計(jì)算方法,代碼如下:

     syms t s
     u=sym('heaviside(t)');
     u1=sym('heaviside(-t)');
     f1=2*cos(3*t)*u;
     f2=2*cos(-3*t)*u1;
     fe=0.5*(f1+f2);
     fo=0.5*(f1-f2);
     f=fe+fo;
     subplot(221)
     ezplot(f1,[-1,1]);grid
     subplot(222)
     ezplot(fe,[-1,1]);grid
     subplot(223)
     ezplot(fo,[-1,1]);
     grid
     subplot(224)
     ezplot(f,[-1,1]);
     grid

運(yùn)行結(jié)果如圖1-7所示,奇分量的波形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),偶分量的波形關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng);奇、偶分量的和信號(hào)和原信號(hào)相同。

圖1-7 例1-3信號(hào)的偶分量和奇分量

【例1-5】已知信號(hào)ft)=e2t,試用MATLAB繪制其翻轉(zhuǎn)信號(hào)f(–t)以及奇分量和偶分量的波形。

:采用數(shù)值計(jì)算方法,代碼如下:

     t=-1:0.01:1;
     f1=exp(2.*t);f2=exp(-2.*t);
     fe=0.5*(f1+f2);fo=0.5*(f1-f2);
     subplot(221)
     plot(t,f1)
     xlabel('t(sec)');ylabel('exp(2t)')
     grid
     subplot(222)
     plot(t,f2)
     xlabel('t(sec)');ylabel('exp(-2t)')
     grid
     subplot(223)
     plot(t,fe)
     xlabel('t(sec)');ylabel('fe')
     grid
     subplot(224)
     plot(t,fo)
     xlabel('t(sec)');ylabel('fo')
     grid

運(yùn)行結(jié)果如圖1-8所示,翻轉(zhuǎn)信號(hào)和原信號(hào)關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)。偶分量關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng),奇分量關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

圖1-8 例1-4信號(hào)的偶分量和奇分量

1.3.3 周期信號(hào)和非周期信號(hào)

一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)ft),如果存在正實(shí)數(shù)T0,對(duì)所有t均有

則稱(chēng)ft)為連續(xù)時(shí)間周期信號(hào),T0稱(chēng)為ft)的基波周期?;ㄖ芷谑鞘怪芷谛猿闪⒌淖钚≌龑?shí)數(shù)。

周期信號(hào)每一周期內(nèi)信號(hào)完全一樣,故只需研究信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的狀況,如圖1-9所示。

圖1-9 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)

不滿足式(1-10)的信號(hào)稱(chēng)為非周期信號(hào)。非周期信號(hào)的幅值在時(shí)間上不具有周而復(fù)始變化的特性。

如果兩個(gè)周期信號(hào)的周期具有公倍數(shù),則它們的和信號(hào)仍然是一個(gè)周期信號(hào),其周期是這兩個(gè)相加信號(hào)的周期的最小公倍數(shù)。

【例1-6】試判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)。若是,確定其周期。

(1)f1t)=cos(2t–10)+sin5t

(2)f2t)=sinπt+cost

:(1)cos(2t–10)和sin5t都是周期信號(hào),且其周期分別為

由于T1T2的最小公倍數(shù)為2π,所以f1t)是周期信號(hào)。

(2)同理,sinπt和cost都是周期信號(hào),且其周期分別為

由于T1是有理數(shù),T2是無(wú)理數(shù),即T1T2沒(méi)有最小公倍數(shù),所以f2t)不是周期信號(hào)。

1.3.4 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)

1.正弦信號(hào)

正弦信號(hào)和余弦信號(hào)僅在相位上相差90°,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

正弦信號(hào)的時(shí)域特征由其振幅A,角頻率ω0和相位θ描述。正弦信號(hào)是周期變化的,其周期、角頻率和頻率的關(guān)系為

在實(shí)際應(yīng)用中,經(jīng)常用到幅度增加或衰減的正弦振蕩信號(hào)。

2.指數(shù)信號(hào)

指數(shù)信號(hào)的表達(dá)式為

式中,Ks是常數(shù)。根據(jù)Ks的不同取值,指數(shù)信號(hào)又分為實(shí)指數(shù)信號(hào)和復(fù)指數(shù)信號(hào)兩種情況。

1)實(shí)指數(shù)信號(hào)

Kss=α)均為實(shí)常數(shù),則ft)=Keαt是實(shí)指數(shù)信號(hào)。

當(dāng)α>0時(shí),信號(hào)隨時(shí)間增長(zhǎng);當(dāng)α<0時(shí),信號(hào)隨時(shí)間衰減;當(dāng)α=0時(shí),ft)退變成常值信號(hào)。信號(hào)波形如圖1-10所示。

實(shí)際中,經(jīng)常用到單邊指數(shù)信號(hào),其定義如下:

式中,τ反映了指數(shù)信號(hào)衰減的速度,稱(chēng)為時(shí)間常數(shù)。

2)復(fù)指數(shù)信號(hào)

如果指數(shù)信號(hào)的指數(shù)因子為復(fù)數(shù),則稱(chēng)之為復(fù)指數(shù)信號(hào),其表達(dá)式為

圖1-10 指數(shù)信號(hào)的波形

式中,s=σ+jω是復(fù)常數(shù),K可以是實(shí)常數(shù),也可以是復(fù)常數(shù)。

復(fù)指數(shù)信號(hào)按歐拉公式可表示成代數(shù)形式

由此可見(jiàn),復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部都是按指數(shù)規(guī)律變化的正弦信號(hào)。當(dāng)σ>0時(shí),復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部都是增幅的正弦振蕩;當(dāng)σ<0時(shí),復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部都是衰減的正弦振蕩。

用MATLAB繪制復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部的波形如圖1-11所示。代碼如下:

     t=-1:0.01:1;
     f1=exp(1.*t);f2=exp(-1.*t);
     f3=f1.*cos(0.6*pi*t/0.1);
     f4=f1.*sin(0.6*pi*t/0.1);
     f5=f2.*cos(0.6*pi*t/0.1);
     f6=f2.*sin(0.6*pi*t/0.1);
     subplot(2,2,1)
     plot(t,f3,t,f1,'r--',t,-f1,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(t)cos(6*pi*t)');grid
     subplot(2,2,3)
     plot(t,f4,t,f1,'r--',t,-f1,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(t)sin(6*pi*t)');grid
     subplot(2,2,2)
     plot(t,f5,t,f2,'r--',t,-f2,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(-t)cos(6*pi*t)');grid
     subplot(2,2,4)
     plot(t,f6,t,f2,'r--',t,-f2,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(-t)sin(6*pi*t)');
     grid;

圖1-11 復(fù)指數(shù)信號(hào)的波形

3.抽樣信號(hào)

抽樣信號(hào)定義為

其波形如圖1-12所示。

圖1-12 抽樣信號(hào)的波形

抽樣信號(hào)具有如下性質(zhì):

(1)抽樣信號(hào)Sat)是偶信號(hào),且在t=0時(shí),Sat)=1;在t=kπ時(shí),Sat)=0。

(2)抽樣信號(hào)Sat)是收斂的,當(dāng)t→±∞時(shí),Sat)→0。

(3)抽樣信號(hào)Sat)的面積為π,即有

4.單位階躍信號(hào)

連續(xù)時(shí)間單位階躍信號(hào)定義為

其波形如圖1-13所示。

單位階躍信號(hào)在時(shí)間軸上平移τ后的波形如圖1-14所示。

圖1-13 單位階躍信號(hào)

圖1-14 單位階躍信號(hào)向右平移

信號(hào)εt)在t=0處,εtτ)在t=τ處都不連續(xù)。

任何截?cái)嘈盘?hào)都可用單位階躍信號(hào)來(lái)表示。例如,如圖1-15所示的矩形脈沖信號(hào)可用單位階躍信號(hào)表示為

單位斜變信號(hào)定義為

其波形如圖1-16所示。

圖1-15 矩形脈沖信號(hào)

圖1-16 單位斜變信號(hào)

t=t0開(kāi)始的信號(hào),稱(chēng)為有始信號(hào),如圖1-17(a)所示;如果t0=0,則稱(chēng)為因果信號(hào)。因果信號(hào)一般用ftεt)表示,如圖1-17(b)所示。

f1t)=sinω0t·εtt0

f2t)=sinω0t·εt

圖1-17 有始信號(hào)的波形

【例1-7】用MATLAB產(chǎn)生信號(hào)

ft)=2Rt)–2Rt–1)–2Rt–2)+2Rt–3)

繪制信號(hào)的波形。

:先用function函數(shù)產(chǎn)生斜變信號(hào)ramp,然后調(diào)用該子函數(shù)產(chǎn)生所需要的信號(hào)。代碼如下:

    function y = ramp(t,m,ad)
     % t:時(shí)間變量
     % m:斜變函數(shù)的斜率
     % ad:時(shí)移因子,正值表示左移,負(fù)值表示右移
     N=length(t);
     y=zeros(1,N);
     for i=1:N,
        if t(i)>=-ad,
         y(i)=m * (t(i)+ad);
        end
     end

保存該子函數(shù)為ramp.m文件,用于產(chǎn)生斜變信號(hào)。

     clear all;clf
     Ts=0.01;t=-5:Ts:5;
     y1=ramp(t,2,0);
     y2=ramp(t,-2,-1);
     y3=ramp(t,-2,-2);
     y4=ramp(t,2,-3);
     y=y1+y2+y3+y4;
     plot(t,y,'k');axis([-1 4-1 3]);grid

運(yùn)行結(jié)果為梯形信號(hào),如圖1-18所示。

圖1-18 例1-7的波形

【例1-8】用MATLAB產(chǎn)生信號(hào)

ft)=3Rt+3)–6Rt+1)+3Rt)–εt–2)–2εt–4)

(1)繪制信號(hào)的波形;(2)繪制信號(hào)的奇、偶分量的波形。

:先用function函數(shù)產(chǎn)生斜變信號(hào)ramp和單位階躍信號(hào)ustep,然后調(diào)用這兩個(gè)子函數(shù)產(chǎn)生所需要的信號(hào)。用于產(chǎn)生斜變信號(hào)ramp.m文件參見(jiàn)例1-7。產(chǎn)生階躍信號(hào)的代碼如下:

     function y=ustep(t,ad)
     % t:時(shí)間
     % ad:時(shí)移因子,正值表示左移,負(fù)值表示右移
     N=length(t);
     y=zeros(1,N);
     for i=1:N,
        if t(i)>=-ad,
         y(i)=1;
        end
     end

保存該子函數(shù)為ustep.m文件,用于產(chǎn)生單位階躍信號(hào)。

下面的代碼產(chǎn)生所需要的信號(hào)。

     clear all;clf
     Ts=0.01;t=-5:Ts:5;
     y1=ramp(t,3,3);
     y2=ramp(t,-6,1);
     y3=ramp(t,3,0);
     y4=-1*ustep(t,-2);
     y5=-2*ustep(t,-4);
     y=y1+y2+y3+y4+y5;
     plot(t,y,'k');axis([-5 5-1 7]);grid

奇偶分解的代碼如下:

     [ye,yo]=evenodd(t,y);
     subplot(211)
     plot(t,ye,'r')
     grid
     axis([min(t)max(t)-1 5])
     subplot(212)
     plot(t,yo,'r')
     grid
     axis([min(t)max(t)-3 3])
     function[ye,yo]=evenodd(t,y)
      %t:時(shí)間
      %y:模擬信號(hào)
      %ye,yo:偶、奇分量
     yr=fliplr(y);
     ye=0.5*(y+yr);
     yo=0.5*(y-yr);

運(yùn)行結(jié)果如圖1-19所示。

圖1-19 例1-8的波形

5.單位沖激信號(hào)

連續(xù)時(shí)間單位沖激信號(hào)定義為

其波形如圖1-20所示。

式(1-21)表明,單位沖激信號(hào)的面積為1,當(dāng)t=0時(shí),δt)→∞;當(dāng)t≠0時(shí),δt)處處為0。

單位沖激信號(hào)在時(shí)間軸上平移可得到任意時(shí)刻的沖激,記為δtτ),且有

其中,δt)=0,tτ,其波形如圖1-21所示。

圖1-20 單位沖激信號(hào)

圖1-21 τ時(shí)刻的沖激信號(hào)

單位沖激信號(hào)具有如下的性質(zhì):

(1)由于單位沖激信號(hào)除原點(diǎn)外處處為0,所以δt)與信號(hào)ft)相乘有

(2)篩選性質(zhì)為

式(1-24)說(shuō)明δt)與信號(hào)ft)作用后,能指定ft)在t=0處的值f(0),因此稱(chēng)此性質(zhì)為沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)。

同理,對(duì)時(shí)移的沖激信號(hào),篩選性質(zhì)為

在沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)中,其積分區(qū)間不一定都是(–∞,+∞),但只要積分區(qū)間不包括沖激信號(hào)δtt0)的t=t0時(shí)刻,則積分結(jié)果必為零。

(3)尺度變換性質(zhì)。

沖激函數(shù)作尺度變換后,有如下的恒等式

證明:當(dāng)a>0時(shí),由沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)有

當(dāng)a<0時(shí),有

所以

(4)單位沖激信號(hào)是偶信號(hào)

該性質(zhì)同樣可用沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)證明。

證明:因?yàn)?/p>

由此可見(jiàn),δ(–t)和δt)對(duì)ft)的作用效果一樣,所以

δ(–t)=δt

圖1-22 單位沖激偶信號(hào)

(5)單位沖激信號(hào)的導(dǎo)數(shù)和積分。

單位沖激信號(hào)的導(dǎo)數(shù)是位于原點(diǎn)處的一對(duì)正、負(fù)極性的沖激,稱(chēng)為單位沖激偶,用δ′t)表示,其波形如圖1-22所示。

單位沖激偶具有如下的性質(zhì):

①篩選性質(zhì)為

式中,f′(0)是ft)的導(dǎo)數(shù)在t=0處的值。

時(shí)移的單位沖激偶的篩選性質(zhì)為

②單位沖激偶信號(hào)是奇信號(hào),即

因此,單位沖激偶的面積為0。其正、負(fù)兩個(gè)沖激的面積相互抵消,用數(shù)學(xué)式表示為

單位沖激信號(hào)的積分是單位階躍信號(hào)。

因?yàn)?/p>

這和單位階躍信號(hào)的定義相同,因此有

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