1.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)

連續(xù)時(shí)間信號(hào)是指以時(shí)間為自變量，并且在某個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)除有限個(gè)間斷點(diǎn)外都有定義的信號(hào)。

1.3.1 信號(hào)的基本運(yùn)算

1．信號(hào)的相加和相乘

兩個(gè)信號(hào)相加，其和信號(hào)在任意時(shí)刻的信號(hào)值等于兩信號(hào)在該時(shí)刻的信號(hào)值之和。和信號(hào)可直接用加法表示為

兩個(gè)信號(hào)相乘，其積信號(hào)在任意時(shí)刻的信號(hào)值等于兩信號(hào)在該時(shí)刻的信號(hào)值之積。積信號(hào)可用乘法表示為

【例1-1】用MATLAB實(shí)現(xiàn)信號(hào)f1（t）=sin（πt）和f2（t）=sin（10πt）的相加和相乘，試分別繪制這兩個(gè)信號(hào)及它們的和信號(hào)和積信號(hào)的波形。

解：采用數(shù)值計(jì)算方法，代碼如下：

     t=0：0.01：2;    %定義從0到2,間隔為0.01的時(shí)間向量
     x1=sin(1*pi*t);         %定義信號(hào)x1
     x2=sin(6*pi*t);         %定義信號(hào)x2
     x3=x1+x2;               %信號(hào)相加
     x4=x1.*x2;              %信號(hào)相乘
     %畫(huà)函數(shù)圖
     subplot(2,2,1)          %畫(huà)第一個(gè)子圖(在一幅圖中畫(huà)出4個(gè)子圖,其中每一行包括2個(gè)子圖)
     plot(t,x1)              %畫(huà)x1的連續(xù)圖
     xlabel('t(sec)')        %x軸標(biāo)記
     ylabel('x(t)')                    %y軸標(biāo)記
     subplot(2,2,2)                              %畫(huà)第二個(gè)子圖
     plot(t,x2)                                  %畫(huà)x2的連續(xù)圖
     xlabel('t(sec)')                            %x軸標(biāo)記
     ylabel('x(t)')                              %y軸標(biāo)記
     subplot(2,2,3)                              %畫(huà)第三個(gè)子圖
     plot(t,x3,t,x1+1,'r--',t,x1-1,'r--')        %畫(huà)x3和的連續(xù)圖,以紅色虛線作圖
     xlabel('t(sec)')                            %x軸標(biāo)記
     ylabel('y(t)')                              %y軸標(biāo)記
     subplot(2,2,4)                              %畫(huà)第四個(gè)子圖
     plot(t,x4,t,x1,'r--',t,-x1,'r--')           %畫(huà)x4的連續(xù)圖,以紅色虛線作圖
     xlabel('t(sec)')                            %x軸標(biāo)記
     ylabel('y(t)')                              %y軸標(biāo)記

運(yùn)行結(jié)果如圖1-1所示。

2．信號(hào)的平移、翻轉(zhuǎn)和尺度變換

（1）平移：將信號(hào)f（t）變換為f（t–τ），相當(dāng)于信號(hào)f（t）的波形在t軸上平移。若τ＞0，則右移τ個(gè)單位；若τ＜0，則左移|τ|個(gè)單位。

如圖1-2所示，f（t–1）的波形是f（t）的波形向右平移一個(gè)單位，f（t+1）的波形是f（t）的波形向左平移1個(gè)單位。

（2）翻轉(zhuǎn)：將信號(hào)f（t）變換為f（–t），此時(shí)f（–t）的波形相當(dāng)于f（t）的波形以縱軸為中心作180°翻轉(zhuǎn)，如圖1-3（b）所示。此運(yùn)算實(shí)質(zhì)上是取其原信號(hào)自變量軸的負(fù)方向作為變換后信號(hào)自變量軸的正方向，因此又稱(chēng)為時(shí)間軸反轉(zhuǎn)。

（3）尺度變換：將信號(hào)f（t）變換為f（α t），若α＞1，則f（α t）的波形相當(dāng)于將f（t）的波形壓縮α倍；若0＜α＜1，則f（α t）的波形相當(dāng)于將f（t）的波形擴(kuò)展1/α倍，這種運(yùn)算稱(chēng)為信號(hào)的尺度變換。如圖1-4（b）、（c）所示，f（2t）的波形是f（t）的波形壓縮2倍得到，的波形是f（t）的波形擴(kuò)展2倍。

在對(duì)信號(hào)進(jìn)行尺度變換時(shí)，是以原點(diǎn)O為中心對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮或擴(kuò)展，而不是以圖形的中心為基準(zhǔn)進(jìn)行壓縮和擴(kuò)展。

【例1-2】已知f（t）的波形如圖1-5所示，試畫(huà)出f（–2t–3）的波形。

解：根據(jù)壓縮、翻轉(zhuǎn)和平移的順序，信號(hào)依次變換的波形如圖1-6所示。

1.3.2 偶信號(hào)和奇信號(hào)

偶信號(hào)是指關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)的信號(hào)，可表示為

奇信號(hào)是指關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的信號(hào)，可表示為

任何信號(hào)f（t）都可以用一個(gè)偶信號(hào)fe（t）與一個(gè)奇信號(hào)fo（t）之和表示，fe（t）和fo（t）分別稱(chēng)為f（t）的偶分量和奇分量，即有

其中

【例1-3】已知信號(hào)

求信號(hào)的偶分量和奇分量，并分析信號(hào)的偶分量和奇分量的連續(xù)性。

解：由于f（t）是一個(gè)非奇非偶信號(hào)，其奇、偶分量一定存在，因此對(duì)其進(jìn)行奇偶分解，得到偶分量為

奇分量為

可以驗(yàn)證，奇分量與偶分量之和即是原信號(hào)。信號(hào)的偶部和奇部在原點(diǎn)處都不連續(xù)。

【例1-4】用MATLAB繪制例1-3信號(hào)的奇、偶分量的波形，并繪制奇、偶分量的和信號(hào)的波形，比較是否和原信號(hào)一樣。

解：采用符號(hào)計(jì)算方法，代碼如下：

     syms t s
     u=sym('heaviside(t)');
     u1=sym('heaviside(-t)');
     f1=2*cos(3*t)*u;
     f2=2*cos(-3*t)*u1;
     fe=0.5*(f1+f2);
     fo=0.5*(f1-f2);
     f=fe+fo;
     subplot(221)
     ezplot(f1,[-1,1]);grid
     subplot(222)
     ezplot(fe,[-1,1]);grid
     subplot(223)
     ezplot(fo,[-1,1]);
     grid
     subplot(224)
     ezplot(f,[-1,1]);
     grid

運(yùn)行結(jié)果如圖1-7所示，奇分量的波形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶分量的波形關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)；奇、偶分量的和信號(hào)和原信號(hào)相同。

【例1-5】已知信號(hào)f（t）=e2t，試用MATLAB繪制其翻轉(zhuǎn)信號(hào)f（–t）以及奇分量和偶分量的波形。

解：采用數(shù)值計(jì)算方法，代碼如下：

     t=-1：0.01：1;
     f1=exp(2.*t);f2=exp(-2.*t);
     fe=0.5*(f1+f2);fo=0.5*(f1-f2);
     subplot(221)
     plot(t,f1)
     xlabel('t(sec)');ylabel('exp(2t)')
     grid
     subplot(222)
     plot(t,f2)
     xlabel('t(sec)');ylabel('exp(-2t)')
     grid
     subplot(223)
     plot(t,fe)
     xlabel('t(sec)');ylabel('fe')
     grid
     subplot(224)
     plot(t,fo)
     xlabel('t(sec)');ylabel('fo')
     grid

運(yùn)行結(jié)果如圖1-8所示，翻轉(zhuǎn)信號(hào)和原信號(hào)關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)。偶分量關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)，奇分量關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

1.3.3 周期信號(hào)和非周期信號(hào)

一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)f（t），如果存在正實(shí)數(shù)T0，對(duì)所有t均有

則稱(chēng)f（t）為連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，T0稱(chēng)為f（t）的基波周期?；ㄖ芷谑鞘怪芷谛猿闪⒌淖钚≌龑?shí)數(shù)。

周期信號(hào)每一周期內(nèi)信號(hào)完全一樣，故只需研究信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的狀況，如圖1-9所示。

不滿足式（1-10）的信號(hào)稱(chēng)為非周期信號(hào)。非周期信號(hào)的幅值在時(shí)間上不具有周而復(fù)始變化的特性。

如果兩個(gè)周期信號(hào)的周期具有公倍數(shù)，則它們的和信號(hào)仍然是一個(gè)周期信號(hào)，其周期是這兩個(gè)相加信號(hào)的周期的最小公倍數(shù)。

【例1-6】試判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)。若是，確定其周期。

（1）f1（t）=cos（2t–10）+sin5t

（2）f2（t）=sinπt+cost

解：（1）cos（2t–10）和sin5t都是周期信號(hào)，且其周期分別為

由于T1和T2的最小公倍數(shù)為2π，所以f1（t）是周期信號(hào)。

（2）同理，sinπt和cost都是周期信號(hào)，且其周期分別為

由于T1是有理數(shù)，T2是無(wú)理數(shù)，即T1和T2沒(méi)有最小公倍數(shù)，所以f2（t）不是周期信號(hào)。

1.3.4 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)

1．正弦信號(hào)

正弦信號(hào)和余弦信號(hào)僅在相位上相差90°，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

正弦信號(hào)的時(shí)域特征由其振幅A，角頻率ω0和相位θ描述。正弦信號(hào)是周期變化的，其周期、角頻率和頻率的關(guān)系為

在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常用到幅度增加或衰減的正弦振蕩信號(hào)。

2．指數(shù)信號(hào)

指數(shù)信號(hào)的表達(dá)式為

式中，K和s是常數(shù)。根據(jù)K和s的不同取值，指數(shù)信號(hào)又分為實(shí)指數(shù)信號(hào)和復(fù)指數(shù)信號(hào)兩種情況。

1）實(shí)指數(shù)信號(hào)

若K和s（s=α）均為實(shí)常數(shù)，則f（t）=Keαt是實(shí)指數(shù)信號(hào)。

當(dāng)α＞0時(shí)，信號(hào)隨時(shí)間增長(zhǎng)；當(dāng)α＜0時(shí)，信號(hào)隨時(shí)間衰減；當(dāng)α=0時(shí)，f（t）退變成常值信號(hào)。信號(hào)波形如圖1-10所示。

實(shí)際中，經(jīng)常用到單邊指數(shù)信號(hào)，其定義如下：

式中，τ反映了指數(shù)信號(hào)衰減的速度，稱(chēng)為時(shí)間常數(shù)。

2）復(fù)指數(shù)信號(hào)

如果指數(shù)信號(hào)的指數(shù)因子為復(fù)數(shù)，則稱(chēng)之為復(fù)指數(shù)信號(hào)，其表達(dá)式為

式中，s=σ+jω是復(fù)常數(shù)，K可以是實(shí)常數(shù)，也可以是復(fù)常數(shù)。

復(fù)指數(shù)信號(hào)按歐拉公式可表示成代數(shù)形式

由此可見(jiàn)，復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部都是按指數(shù)規(guī)律變化的正弦信號(hào)。當(dāng)σ＞0時(shí)，復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部都是增幅的正弦振蕩；當(dāng)σ＜0時(shí)，復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部都是衰減的正弦振蕩。

用MATLAB繪制復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部的波形如圖1-11所示。代碼如下：

     t=-1：0.01：1;
     f1=exp(1.*t);f2=exp(-1.*t);
     f3=f1.*cos(0.6*pi*t/0.1);
     f4=f1.*sin(0.6*pi*t/0.1);
     f5=f2.*cos(0.6*pi*t/0.1);
     f6=f2.*sin(0.6*pi*t/0.1);
     subplot(2,2,1)
     plot(t,f3,t,f1,'r--',t,-f1,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(t)cos(6*pi*t)');grid
     subplot(2,2,3)
     plot(t,f4,t,f1,'r--',t,-f1,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(t)sin(6*pi*t)');grid
     subplot(2,2,2)
     plot(t,f5,t,f2,'r--',t,-f2,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(-t)cos(6*pi*t)');grid
     subplot(2,2,4)
     plot(t,f6,t,f2,'r--',t,-f2,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(-t)sin(6*pi*t)');
     grid;

3．抽樣信號(hào)

抽樣信號(hào)定義為

其波形如圖1-12所示。

抽樣信號(hào)具有如下性質(zhì)：

（1）抽樣信號(hào)Sa（t）是偶信號(hào)，且在t=0時(shí)，Sa（t）=1；在t=kπ時(shí)，Sa（t）=0。

（2）抽樣信號(hào)Sa（t）是收斂的，當(dāng)t→±∞時(shí)，Sa（t）→0。

（3）抽樣信號(hào)Sa（t）的面積為π，即有

4．單位階躍信號(hào)

連續(xù)時(shí)間單位階躍信號(hào)定義為

其波形如圖1-13所示。

單位階躍信號(hào)在時(shí)間軸上平移τ后的波形如圖1-14所示。

信號(hào)ε（t）在t=0處，ε（t–τ）在t=τ處都不連續(xù)。

任何截?cái)嘈盘?hào)都可用單位階躍信號(hào)來(lái)表示。例如，如圖1-15所示的矩形脈沖信號(hào)可用單位階躍信號(hào)表示為

單位斜變信號(hào)定義為

其波形如圖1-16所示。

從t=t0開(kāi)始的信號(hào)，稱(chēng)為有始信號(hào)，如圖1-17（a）所示；如果t0=0，則稱(chēng)為因果信號(hào)。因果信號(hào)一般用f（t）ε（t）表示，如圖1-17（b）所示。

f1（t）=sinω0t·ε（t–t0）

f2（t）=sinω0t·ε（t）

【例1-7】用MATLAB產(chǎn)生信號(hào)

f（t）=2R（t）–2R（t–1）–2R（t–2）+2R（t–3）

繪制信號(hào)的波形。

解：先用function函數(shù)產(chǎn)生斜變信號(hào)ramp，然后調(diào)用該子函數(shù)產(chǎn)生所需要的信號(hào)。代碼如下：

    function y = ramp(t,m,ad)
     % t:時(shí)間變量
     % m:斜變函數(shù)的斜率
     % ad:時(shí)移因子,正值表示左移,負(fù)值表示右移
     N=length(t);
     y=zeros(1,N);
     for i=1:N,
        if t(i)>=-ad,
         y(i)=m * (t(i)+ad);
        end
     end

保存該子函數(shù)為ramp.m文件，用于產(chǎn)生斜變信號(hào)。

     clear all;clf
     Ts=0.01;t=-5：Ts：5;
     y1=ramp(t,2,0);
     y2=ramp(t,-2,-1);
     y3=ramp(t,-2,-2);
     y4=ramp(t,2,-3);
     y=y1+y2+y3+y4;
     plot(t,y,'k');axis([-1 4-1 3]);grid

運(yùn)行結(jié)果為梯形信號(hào)，如圖1-18所示。

【例1-8】用MATLAB產(chǎn)生信號(hào)

f（t）=3R（t+3）–6R（t+1）+3R（t）–ε（t–2）–2ε（t–4）

（1）繪制信號(hào)的波形；（2）繪制信號(hào)的奇、偶分量的波形。

解：先用function函數(shù)產(chǎn)生斜變信號(hào)ramp和單位階躍信號(hào)ustep，然后調(diào)用這兩個(gè)子函數(shù)產(chǎn)生所需要的信號(hào)。用于產(chǎn)生斜變信號(hào)ramp.m文件參見(jiàn)例1-7。產(chǎn)生階躍信號(hào)的代碼如下：

     function y=ustep(t,ad)
     % t:時(shí)間
     % ad:時(shí)移因子,正值表示左移,負(fù)值表示右移
     N=length(t);
     y=zeros(1,N);
     for i=1:N,
        if t(i)>=-ad,
         y(i)=1;
        end
     end

保存該子函數(shù)為ustep.m文件，用于產(chǎn)生單位階躍信號(hào)。

下面的代碼產(chǎn)生所需要的信號(hào)。

     clear all;clf
     Ts=0.01;t=-5：Ts：5;
     y1=ramp(t,3,3);
     y2=ramp(t,-6,1);
     y3=ramp(t,3,0);
     y4=-1*ustep(t,-2);
     y5=-2*ustep(t,-4);
     y=y1+y2+y3+y4+y5;
     plot(t,y,'k');axis([-5 5-1 7]);grid

奇偶分解的代碼如下：

     [ye,yo]=evenodd(t,y);
     subplot(211)
     plot(t,ye,'r')
     grid
     axis([min(t)max(t)-1 5])
     subplot(212)
     plot(t,yo,'r')
     grid
     axis([min(t)max(t)-3 3])
     function[ye,yo]=evenodd(t,y)
      %t：時(shí)間
      %y：模擬信號(hào)
      %ye,yo：偶、奇分量
     yr=fliplr(y);
     ye=0.5*(y+yr);
     yo=0.5*(y-yr);

運(yùn)行結(jié)果如圖1-19所示。

5．單位沖激信號(hào)

連續(xù)時(shí)間單位沖激信號(hào)定義為

其波形如圖1-20所示。

式（1-21）表明，單位沖激信號(hào)的面積為1，當(dāng)t=0時(shí)，δ（t）→∞；當(dāng)t≠0時(shí)，δ（t）處處為0。

單位沖激信號(hào)在時(shí)間軸上平移可得到任意時(shí)刻的沖激，記為δ（t–τ），且有

其中，δ（t）=0，t≠τ，其波形如圖1-21所示。

單位沖激信號(hào)具有如下的性質(zhì)：

（1）由于單位沖激信號(hào)除原點(diǎn)外處處為0，所以δ（t）與信號(hào)f（t）相乘有

（2）篩選性質(zhì)為

式（1-24）說(shuō)明δ（t）與信號(hào)f（t）作用后，能指定f（t）在t=0處的值f（0），因此稱(chēng)此性質(zhì)為沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)。

同理，對(duì)時(shí)移的沖激信號(hào)，篩選性質(zhì)為

在沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)中，其積分區(qū)間不一定都是（–∞，+∞），但只要積分區(qū)間不包括沖激信號(hào)δ（t–t0）的t=t0時(shí)刻，則積分結(jié)果必為零。

（3）尺度變換性質(zhì)。

沖激函數(shù)作尺度變換后，有如下的恒等式

證明：當(dāng)a＞0時(shí)，由沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)有

當(dāng)a＜0時(shí)，有

即

所以

（4）單位沖激信號(hào)是偶信號(hào)

該性質(zhì)同樣可用沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)證明。

證明：因?yàn)?/p>

由此可見(jiàn)，δ（–t）和δ（t）對(duì)f（t）的作用效果一樣，所以

δ（–t）=δ（t）

（5）單位沖激信號(hào)的導(dǎo)數(shù)和積分。

單位沖激信號(hào)的導(dǎo)數(shù)是位于原點(diǎn)處的一對(duì)正、負(fù)極性的沖激，稱(chēng)為單位沖激偶，用δ′（t）表示，其波形如圖1-22所示。

單位沖激偶具有如下的性質(zhì)：

①篩選性質(zhì)為

式中，f′（0）是f（t）的導(dǎo)數(shù)在t=0處的值。

時(shí)移的單位沖激偶的篩選性質(zhì)為

②單位沖激偶信號(hào)是奇信號(hào)，即

因此，單位沖激偶的面積為0。其正、負(fù)兩個(gè)沖激的面積相互抵消，用數(shù)學(xué)式表示為

單位沖激信號(hào)的積分是單位階躍信號(hào)。

因?yàn)?/p>

這和單位階躍信號(hào)的定義相同，因此有