- 信號(hào)與系統(tǒng):基于MATLAB的方法
- 譚鴿偉 馮桂 黃公彝 胡朝煒編著
- 4095字
- 2019-07-01 11:12:01
1.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)
連續(xù)時(shí)間信號(hào)是指以時(shí)間為自變量,并且在某個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)除有限個(gè)間斷點(diǎn)外都有定義的信號(hào)。
1.3.1 信號(hào)的基本運(yùn)算
1.信號(hào)的相加和相乘
兩個(gè)信號(hào)相加,其和信號(hào)在任意時(shí)刻的信號(hào)值等于兩信號(hào)在該時(shí)刻的信號(hào)值之和。和信號(hào)可直接用加法表示為

兩個(gè)信號(hào)相乘,其積信號(hào)在任意時(shí)刻的信號(hào)值等于兩信號(hào)在該時(shí)刻的信號(hào)值之積。積信號(hào)可用乘法表示為

【例1-1】用MATLAB實(shí)現(xiàn)信號(hào)f1(t)=sin(πt)和f2(t)=sin(10πt)的相加和相乘,試分別繪制這兩個(gè)信號(hào)及它們的和信號(hào)和積信號(hào)的波形。
解:采用數(shù)值計(jì)算方法,代碼如下:
t=0:0.01:2; %定義從0到2,間隔為0.01的時(shí)間向量 x1=sin(1*pi*t); %定義信號(hào)x1 x2=sin(6*pi*t); %定義信號(hào)x2 x3=x1+x2; %信號(hào)相加 x4=x1.*x2; %信號(hào)相乘 %畫(huà)函數(shù)圖 subplot(2,2,1) %畫(huà)第一個(gè)子圖(在一幅圖中畫(huà)出4個(gè)子圖,其中每一行包括2個(gè)子圖) plot(t,x1) %畫(huà)x1的連續(xù)圖 xlabel('t(sec)') %x軸標(biāo)記 ylabel('x(t)') %y軸標(biāo)記 subplot(2,2,2) %畫(huà)第二個(gè)子圖 plot(t,x2) %畫(huà)x2的連續(xù)圖 xlabel('t(sec)') %x軸標(biāo)記 ylabel('x(t)') %y軸標(biāo)記 subplot(2,2,3) %畫(huà)第三個(gè)子圖 plot(t,x3,t,x1+1,'r--',t,x1-1,'r--') %畫(huà)x3和的連續(xù)圖,以紅色虛線作圖 xlabel('t(sec)') %x軸標(biāo)記 ylabel('y(t)') %y軸標(biāo)記 subplot(2,2,4) %畫(huà)第四個(gè)子圖 plot(t,x4,t,x1,'r--',t,-x1,'r--') %畫(huà)x4的連續(xù)圖,以紅色虛線作圖 xlabel('t(sec)') %x軸標(biāo)記 ylabel('y(t)') %y軸標(biāo)記
運(yùn)行結(jié)果如圖1-1所示。

圖1-1 信號(hào)的相加和相乘
2.信號(hào)的平移、翻轉(zhuǎn)和尺度變換
(1)平移:將信號(hào)f(t)變換為f(t–τ),相當(dāng)于信號(hào)f(t)的波形在t軸上平移。若τ>0,則右移τ個(gè)單位;若τ<0,則左移|τ|個(gè)單位。
如圖1-2所示,f(t–1)的波形是f(t)的波形向右平移一個(gè)單位,f(t+1)的波形是f(t)的波形向左平移1個(gè)單位。

圖1-2 信號(hào)的平移
(2)翻轉(zhuǎn):將信號(hào)f(t)變換為f(–t),此時(shí)f(–t)的波形相當(dāng)于f(t)的波形以縱軸為中心作180°翻轉(zhuǎn),如圖1-3(b)所示。此運(yùn)算實(shí)質(zhì)上是取其原信號(hào)自變量軸的負(fù)方向作為變換后信號(hào)自變量軸的正方向,因此又稱(chēng)為時(shí)間軸反轉(zhuǎn)。

圖1-3 信號(hào)的翻轉(zhuǎn)
(3)尺度變換:將信號(hào)f(t)變換為f(α t),若α>1,則f(α t)的波形相當(dāng)于將f(t)的波形壓縮α倍;若0<α<1,則f(α t)的波形相當(dāng)于將f(t)的波形擴(kuò)展1/α倍,這種運(yùn)算稱(chēng)為信號(hào)的尺度變換。如圖1-4(b)、(c)所示,f(2t)的波形是f(t)的波形壓縮2倍得到,的波形是f(t)的波形擴(kuò)展2倍。

圖1-4 信號(hào)的尺度變換

圖1-5 例1-2圖
在對(duì)信號(hào)進(jìn)行尺度變換時(shí),是以原點(diǎn)O為中心對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮或擴(kuò)展,而不是以圖形的中心為基準(zhǔn)進(jìn)行壓縮和擴(kuò)展。
【例1-2】已知f(t)的波形如圖1-5所示,試畫(huà)出f(–2t–3)的波形。
解:根據(jù)壓縮、翻轉(zhuǎn)和平移的順序,信號(hào)依次變換的波形如圖1-6所示。


圖1-6 例1-2信號(hào)的運(yùn)算過(guò)程
1.3.2 偶信號(hào)和奇信號(hào)
偶信號(hào)是指關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)的信號(hào),可表示為

奇信號(hào)是指關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的信號(hào),可表示為

任何信號(hào)f(t)都可以用一個(gè)偶信號(hào)fe(t)與一個(gè)奇信號(hào)fo(t)之和表示,fe(t)和fo(t)分別稱(chēng)為f(t)的偶分量和奇分量,即有

其中


【例1-3】已知信號(hào)

求信號(hào)的偶分量和奇分量,并分析信號(hào)的偶分量和奇分量的連續(xù)性。
解:由于f(t)是一個(gè)非奇非偶信號(hào),其奇、偶分量一定存在,因此對(duì)其進(jìn)行奇偶分解,得到偶分量為

奇分量為

可以驗(yàn)證,奇分量與偶分量之和即是原信號(hào)。信號(hào)的偶部和奇部在原點(diǎn)處都不連續(xù)。
【例1-4】用MATLAB繪制例1-3信號(hào)的奇、偶分量的波形,并繪制奇、偶分量的和信號(hào)的波形,比較是否和原信號(hào)一樣。
解:采用符號(hào)計(jì)算方法,代碼如下:
syms t s u=sym('heaviside(t)'); u1=sym('heaviside(-t)'); f1=2*cos(3*t)*u; f2=2*cos(-3*t)*u1; fe=0.5*(f1+f2); fo=0.5*(f1-f2); f=fe+fo; subplot(221) ezplot(f1,[-1,1]);grid subplot(222) ezplot(fe,[-1,1]);grid subplot(223) ezplot(fo,[-1,1]); grid subplot(224) ezplot(f,[-1,1]); grid
運(yùn)行結(jié)果如圖1-7所示,奇分量的波形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),偶分量的波形關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng);奇、偶分量的和信號(hào)和原信號(hào)相同。

圖1-7 例1-3信號(hào)的偶分量和奇分量
【例1-5】已知信號(hào)f(t)=e2t,試用MATLAB繪制其翻轉(zhuǎn)信號(hào)f(–t)以及奇分量和偶分量的波形。
解:采用數(shù)值計(jì)算方法,代碼如下:
t=-1:0.01:1; f1=exp(2.*t);f2=exp(-2.*t); fe=0.5*(f1+f2);fo=0.5*(f1-f2); subplot(221) plot(t,f1) xlabel('t(sec)');ylabel('exp(2t)') grid subplot(222) plot(t,f2) xlabel('t(sec)');ylabel('exp(-2t)') grid subplot(223) plot(t,fe) xlabel('t(sec)');ylabel('fe') grid subplot(224) plot(t,fo) xlabel('t(sec)');ylabel('fo') grid
運(yùn)行結(jié)果如圖1-8所示,翻轉(zhuǎn)信號(hào)和原信號(hào)關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)。偶分量關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng),奇分量關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

圖1-8 例1-4信號(hào)的偶分量和奇分量
1.3.3 周期信號(hào)和非周期信號(hào)
一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t),如果存在正實(shí)數(shù)T0,對(duì)所有t均有

則稱(chēng)f(t)為連續(xù)時(shí)間周期信號(hào),T0稱(chēng)為f(t)的基波周期?;ㄖ芷谑鞘怪芷谛猿闪⒌淖钚≌龑?shí)數(shù)。
周期信號(hào)每一周期內(nèi)信號(hào)完全一樣,故只需研究信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的狀況,如圖1-9所示。

圖1-9 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)
不滿足式(1-10)的信號(hào)稱(chēng)為非周期信號(hào)。非周期信號(hào)的幅值在時(shí)間上不具有周而復(fù)始變化的特性。
如果兩個(gè)周期信號(hào)的周期具有公倍數(shù),則它們的和信號(hào)仍然是一個(gè)周期信號(hào),其周期是這兩個(gè)相加信號(hào)的周期的最小公倍數(shù)。
【例1-6】試判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)。若是,確定其周期。
(1)f1(t)=cos(2t–10)+sin5t
(2)f2(t)=sinπt+cost
解:(1)cos(2t–10)和sin5t都是周期信號(hào),且其周期分別為

由于T1和T2的最小公倍數(shù)為2π,所以f1(t)是周期信號(hào)。
(2)同理,sinπt和cost都是周期信號(hào),且其周期分別為

由于T1是有理數(shù),T2是無(wú)理數(shù),即T1和T2沒(méi)有最小公倍數(shù),所以f2(t)不是周期信號(hào)。
1.3.4 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)
1.正弦信號(hào)
正弦信號(hào)和余弦信號(hào)僅在相位上相差90°,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

正弦信號(hào)的時(shí)域特征由其振幅A,角頻率ω0和相位θ描述。正弦信號(hào)是周期變化的,其周期、角頻率和頻率的關(guān)系為

在實(shí)際應(yīng)用中,經(jīng)常用到幅度增加或衰減的正弦振蕩信號(hào)。
2.指數(shù)信號(hào)
指數(shù)信號(hào)的表達(dá)式為

式中,K和s是常數(shù)。根據(jù)K和s的不同取值,指數(shù)信號(hào)又分為實(shí)指數(shù)信號(hào)和復(fù)指數(shù)信號(hào)兩種情況。
1)實(shí)指數(shù)信號(hào)
若K和s(s=α)均為實(shí)常數(shù),則f(t)=Keαt是實(shí)指數(shù)信號(hào)。
當(dāng)α>0時(shí),信號(hào)隨時(shí)間增長(zhǎng);當(dāng)α<0時(shí),信號(hào)隨時(shí)間衰減;當(dāng)α=0時(shí),f(t)退變成常值信號(hào)。信號(hào)波形如圖1-10所示。
實(shí)際中,經(jīng)常用到單邊指數(shù)信號(hào),其定義如下:

式中,τ反映了指數(shù)信號(hào)衰減的速度,稱(chēng)為時(shí)間常數(shù)。
2)復(fù)指數(shù)信號(hào)
如果指數(shù)信號(hào)的指數(shù)因子為復(fù)數(shù),則稱(chēng)之為復(fù)指數(shù)信號(hào),其表達(dá)式為


圖1-10 指數(shù)信號(hào)的波形
式中,s=σ+jω是復(fù)常數(shù),K可以是實(shí)常數(shù),也可以是復(fù)常數(shù)。
復(fù)指數(shù)信號(hào)按歐拉公式可表示成代數(shù)形式

由此可見(jiàn),復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部都是按指數(shù)規(guī)律變化的正弦信號(hào)。當(dāng)σ>0時(shí),復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部都是增幅的正弦振蕩;當(dāng)σ<0時(shí),復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部都是衰減的正弦振蕩。
用MATLAB繪制復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部的波形如圖1-11所示。代碼如下:
t=-1:0.01:1; f1=exp(1.*t);f2=exp(-1.*t); f3=f1.*cos(0.6*pi*t/0.1); f4=f1.*sin(0.6*pi*t/0.1); f5=f2.*cos(0.6*pi*t/0.1); f6=f2.*sin(0.6*pi*t/0.1); subplot(2,2,1) plot(t,f3,t,f1,'r--',t,-f1,'r--') xlabel('t(sec)'); title('exp(t)cos(6*pi*t)');grid subplot(2,2,3) plot(t,f4,t,f1,'r--',t,-f1,'r--') xlabel('t(sec)'); title('exp(t)sin(6*pi*t)');grid subplot(2,2,2) plot(t,f5,t,f2,'r--',t,-f2,'r--') xlabel('t(sec)'); title('exp(-t)cos(6*pi*t)');grid subplot(2,2,4) plot(t,f6,t,f2,'r--',t,-f2,'r--') xlabel('t(sec)'); title('exp(-t)sin(6*pi*t)'); grid;

圖1-11 復(fù)指數(shù)信號(hào)的波形
3.抽樣信號(hào)
抽樣信號(hào)定義為

其波形如圖1-12所示。

圖1-12 抽樣信號(hào)的波形
抽樣信號(hào)具有如下性質(zhì):
(1)抽樣信號(hào)Sa(t)是偶信號(hào),且在t=0時(shí),Sa(t)=1;在t=kπ時(shí),Sa(t)=0。
(2)抽樣信號(hào)Sa(t)是收斂的,當(dāng)t→±∞時(shí),Sa(t)→0。
(3)抽樣信號(hào)Sa(t)的面積為π,即有

4.單位階躍信號(hào)
連續(xù)時(shí)間單位階躍信號(hào)定義為

其波形如圖1-13所示。
單位階躍信號(hào)在時(shí)間軸上平移τ后的波形如圖1-14所示。

圖1-13 單位階躍信號(hào)

圖1-14 單位階躍信號(hào)向右平移
信號(hào)ε(t)在t=0處,ε(t–τ)在t=τ處都不連續(xù)。
任何截?cái)嘈盘?hào)都可用單位階躍信號(hào)來(lái)表示。例如,如圖1-15所示的矩形脈沖信號(hào)可用單位階躍信號(hào)表示為

單位斜變信號(hào)定義為

其波形如圖1-16所示。

圖1-15 矩形脈沖信號(hào)

圖1-16 單位斜變信號(hào)
從t=t0開(kāi)始的信號(hào),稱(chēng)為有始信號(hào),如圖1-17(a)所示;如果t0=0,則稱(chēng)為因果信號(hào)。因果信號(hào)一般用f(t)ε(t)表示,如圖1-17(b)所示。
f1(t)=sinω0t·ε(t–t0)
f2(t)=sinω0t·ε(t)

圖1-17 有始信號(hào)的波形
【例1-7】用MATLAB產(chǎn)生信號(hào)
f(t)=2R(t)–2R(t–1)–2R(t–2)+2R(t–3)
繪制信號(hào)的波形。
解:先用function函數(shù)產(chǎn)生斜變信號(hào)ramp,然后調(diào)用該子函數(shù)產(chǎn)生所需要的信號(hào)。代碼如下:
function y = ramp(t,m,ad) % t:時(shí)間變量 % m:斜變函數(shù)的斜率 % ad:時(shí)移因子,正值表示左移,負(fù)值表示右移 N=length(t); y=zeros(1,N); for i=1:N, if t(i)>=-ad, y(i)=m * (t(i)+ad); end end
保存該子函數(shù)為ramp.m文件,用于產(chǎn)生斜變信號(hào)。
clear all;clf Ts=0.01;t=-5:Ts:5; y1=ramp(t,2,0); y2=ramp(t,-2,-1); y3=ramp(t,-2,-2); y4=ramp(t,2,-3); y=y1+y2+y3+y4; plot(t,y,'k');axis([-1 4-1 3]);grid
運(yùn)行結(jié)果為梯形信號(hào),如圖1-18所示。

圖1-18 例1-7的波形
【例1-8】用MATLAB產(chǎn)生信號(hào)
f(t)=3R(t+3)–6R(t+1)+3R(t)–ε(t–2)–2ε(t–4)
(1)繪制信號(hào)的波形;(2)繪制信號(hào)的奇、偶分量的波形。
解:先用function函數(shù)產(chǎn)生斜變信號(hào)ramp和單位階躍信號(hào)ustep,然后調(diào)用這兩個(gè)子函數(shù)產(chǎn)生所需要的信號(hào)。用于產(chǎn)生斜變信號(hào)ramp.m文件參見(jiàn)例1-7。產(chǎn)生階躍信號(hào)的代碼如下:
function y=ustep(t,ad) % t:時(shí)間 % ad:時(shí)移因子,正值表示左移,負(fù)值表示右移 N=length(t); y=zeros(1,N); for i=1:N, if t(i)>=-ad, y(i)=1; end end
保存該子函數(shù)為ustep.m文件,用于產(chǎn)生單位階躍信號(hào)。
下面的代碼產(chǎn)生所需要的信號(hào)。
clear all;clf Ts=0.01;t=-5:Ts:5; y1=ramp(t,3,3); y2=ramp(t,-6,1); y3=ramp(t,3,0); y4=-1*ustep(t,-2); y5=-2*ustep(t,-4); y=y1+y2+y3+y4+y5; plot(t,y,'k');axis([-5 5-1 7]);grid
奇偶分解的代碼如下:
[ye,yo]=evenodd(t,y); subplot(211) plot(t,ye,'r') grid axis([min(t)max(t)-1 5]) subplot(212) plot(t,yo,'r') grid axis([min(t)max(t)-3 3]) function[ye,yo]=evenodd(t,y) %t:時(shí)間 %y:模擬信號(hào) %ye,yo:偶、奇分量 yr=fliplr(y); ye=0.5*(y+yr); yo=0.5*(y-yr);
運(yùn)行結(jié)果如圖1-19所示。

圖1-19 例1-8的波形
5.單位沖激信號(hào)
連續(xù)時(shí)間單位沖激信號(hào)定義為

其波形如圖1-20所示。
式(1-21)表明,單位沖激信號(hào)的面積為1,當(dāng)t=0時(shí),δ(t)→∞;當(dāng)t≠0時(shí),δ(t)處處為0。
單位沖激信號(hào)在時(shí)間軸上平移可得到任意時(shí)刻的沖激,記為δ(t–τ),且有

其中,δ(t)=0,t≠τ,其波形如圖1-21所示。

圖1-20 單位沖激信號(hào)

圖1-21 τ時(shí)刻的沖激信號(hào)
單位沖激信號(hào)具有如下的性質(zhì):
(1)由于單位沖激信號(hào)除原點(diǎn)外處處為0,所以δ(t)與信號(hào)f(t)相乘有

(2)篩選性質(zhì)為

式(1-24)說(shuō)明δ(t)與信號(hào)f(t)作用后,能指定f(t)在t=0處的值f(0),因此稱(chēng)此性質(zhì)為沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)。
同理,對(duì)時(shí)移的沖激信號(hào),篩選性質(zhì)為

在沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)中,其積分區(qū)間不一定都是(–∞,+∞),但只要積分區(qū)間不包括沖激信號(hào)δ(t–t0)的t=t0時(shí)刻,則積分結(jié)果必為零。
(3)尺度變換性質(zhì)。
沖激函數(shù)作尺度變換后,有如下的恒等式

證明:當(dāng)a>0時(shí),由沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)有

當(dāng)a<0時(shí),有

即

所以

(4)單位沖激信號(hào)是偶信號(hào)

該性質(zhì)同樣可用沖激信號(hào)的篩選性質(zhì)證明。
證明:因?yàn)?/p>

由此可見(jiàn),δ(–t)和δ(t)對(duì)f(t)的作用效果一樣,所以
δ(–t)=δ(t)

圖1-22 單位沖激偶信號(hào)
(5)單位沖激信號(hào)的導(dǎo)數(shù)和積分。
單位沖激信號(hào)的導(dǎo)數(shù)是位于原點(diǎn)處的一對(duì)正、負(fù)極性的沖激,稱(chēng)為單位沖激偶,用δ′(t)表示,其波形如圖1-22所示。
單位沖激偶具有如下的性質(zhì):
①篩選性質(zhì)為

式中,f′(0)是f(t)的導(dǎo)數(shù)在t=0處的值。
時(shí)移的單位沖激偶的篩選性質(zhì)為

②單位沖激偶信號(hào)是奇信號(hào),即

因此,單位沖激偶的面積為0。其正、負(fù)兩個(gè)沖激的面積相互抵消,用數(shù)學(xué)式表示為


單位沖激信號(hào)的積分是單位階躍信號(hào)。
因?yàn)?/p>

這和單位階躍信號(hào)的定義相同,因此有

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