3.6 小波變換

小波變換近年來(lái)在圖像處理中受到了前所未有的重視，面向圖像壓縮、特征檢測(cè)以及紋理分析的許多新方法，如多分辨率分析、時(shí)頻域分析、金字塔算法等，都可以歸于小波變換（wavelet transforms）的范疇。與傅里葉變換相比，小波變換由于其在高頻時(shí)具有的時(shí)間精度和低頻時(shí)所具有的頻率精度，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，可以聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)等顯著特點(diǎn)而得到了越來(lái)越廣泛的研究和重視，小波變換被迅速應(yīng)用到圖像和語(yǔ)音分析等眾多領(lǐng)域。近十年來(lái)，對(duì)小波變換理論研究已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)和信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)新方向。

3.6.1 小波變換簡(jiǎn)介

小波變換是法國(guó)從事地質(zhì)勘探工作的信號(hào)處理工程師J.Morlet于1974年首先提出的。Morlet根據(jù)物理及信號(hào)處理的應(yīng)用需求提出了推演公式，但在當(dāng)時(shí)的條件下，如同歐拉提出任一函數(shù)都能展開(kāi)成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)一樣，未能得到著名數(shù)學(xué)家Lagrange、Laplace等的認(rèn)可。

實(shí)際上，在20世紀(jì)70年代，著名科學(xué)家A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)以及Hardy空間的原子分解和無(wú)條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備，著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer于1986年第一次構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的方法及多尺度分析法，隨后，小波變換開(kāi)始受到廣泛的重視。其中，比利時(shí)女?dāng)?shù)學(xué)家I. Daubechies撰寫(xiě)的Ten Lectures on Wavelets對(duì)小波的普及起了重要的推動(dòng)作用。

與傅里葉變換、加伯變換（加窗傅里葉變換）相比，小波變換又被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，是一個(gè)時(shí)間和頻率的局域變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息，通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析，有效解決了傅里葉變換面臨的許多問(wèn)題，成為繼傅里葉變換以來(lái)在科學(xué)方法上的重大突破之一。

小波變換具有廣泛的適應(yīng)性，特別是對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，小波變換同樣可以適應(yīng)。作為一種數(shù)學(xué)分析工具，小波變換可以用于許多學(xué)科，如信號(hào)分析、量子力學(xué)、理論物理、數(shù)值分析、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論、軍事電子對(duì)抗、軍械裝備智能化等；小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用也十分廣泛，它可以用于信號(hào)處理的各方面，如信號(hào)濾波、時(shí)頻分析、信噪分離、弱信號(hào)提取、求分形指數(shù)、信號(hào)識(shí)別與診斷和多尺度邊緣檢測(cè)等。小波分析還可用于圖像濾波、去噪聲、圖像壓縮等很多方面，基于小波的圖像壓縮算法不僅壓縮比高、速度快，而且壓縮后能保持信號(hào)與圖像的特征不變，在傳輸中具有一定的抗干擾性。

3.6.2 連續(xù)小波變換

傅里葉變換是以兩端無(wú)限延伸的正弦波作為基函數(shù)的，其重要特點(diǎn)是可以展現(xiàn)信號(hào)的頻域特征，但卻基本消失了信號(hào)的時(shí)間局部化信息。為了克服傅里葉變換的不足，人們提出了小波變換。小波變換的基函數(shù)在頻率上和位置上都是變化的，是有限寬度的波，稱為小波（wavelet），基于它們的變換就是小波變換。小波變換能同時(shí)刻畫(huà)信號(hào)時(shí)頻兩域的特性，它通過(guò)放縮母小波來(lái)獲得信號(hào)的頻率信息，通過(guò)平移母小波來(lái)獲得信號(hào)的時(shí)間信息。對(duì)小波的放縮和平移是計(jì)算小波系數(shù)的需要，小波系數(shù)反映了小波和局部信號(hào)之間的相關(guān)特性。

1. 一維連續(xù)小波變換

設(shè)函數(shù)f（t）具有有限能量，即f（t）∈L2（R），則連續(xù)小波變換（CWT）的定義為

式中，a為尺度因子；b為位移因子；函數(shù)ψa，b（t）稱為小波。

連續(xù)小波變換也稱為積分小波變換，積分核為的函數(shù)族。若a＞1函數(shù)ψ（t）具有伸展作用，若a＜1函數(shù)ψ（t）具有收縮作用。隨著a的減小，ψa，b（ω）的支撐區(qū)間也隨之變窄，而ψa，b（ω）的頻譜隨之向高頻展寬，反之亦然。因此，小波變換可以實(shí)現(xiàn)窗口大小的自適應(yīng)變化。當(dāng)信號(hào)頻率升高時(shí)，時(shí)窗寬度變窄，而頻窗寬度則增大，從而有利于提高時(shí)域分辨力；當(dāng)信號(hào)頻率降低時(shí)，時(shí)窗寬度增大，而頻窗寬度則變窄，提高頻率分辨力。

2. 小波的選擇

小波ψ（t）的選擇不是唯一的，但也不是任意的，ψ（t）是具有歸一化、具有單位能量的解析函數(shù)，所有小波是通過(guò)對(duì)基本小波進(jìn)行尺度伸縮和位移得到的。

（1）基本小波是一具有特殊性質(zhì)的函數(shù)，它是振蕩衰減的，而且通常衰減得很快，在數(shù)學(xué)上滿足積分為零的條件：

因此，基本小波是一個(gè)積分為零且能量集中在以t=0為中心的鄰域內(nèi)，而且小波函數(shù)還具有速降性和緊支性。其高階矩也為0，即

該條件稱為小波的容許條件：

由于，Cψ＜∞，因此，ψ（ω）連續(xù)可積，即

根據(jù)式（3-111）可以得出，小波ψ（t）在t軸上具有正負(fù)取值才可能滿足上式的積分為0，因此，ψ（t）應(yīng)具有振蕩性。

（2）小波ψ（t）的定義域是緊支撐的，即在一個(gè)很小的區(qū)間之外，小波ψ（t）迅速衰減為0，也就是說(shuō)小波函數(shù)ψ（t）具有速降性。

綜上所述，小波ψ（t）是一種具有振蕩性的且迅速衰減的波。

3. 小波變換的逆變換

對(duì)于所有的f（t），ψ（t）∈L2（R），則連續(xù)小波變換的逆變換定義為

4. 二維連續(xù)小波變換

二維小波變換也分為二維連續(xù)小波變換和二維離散小波變換。

（1）二維連續(xù)小波變換為

式中，（x，y）為二維連續(xù)小波基函數(shù)，即

（2）二維小波變換的逆變換為

二維連續(xù)小波的允許條件如下：

（1）定義域?yàn)榫o支撐集。

（2）均值為0，即

5. 幾種典型的小波

小波ψ（t）的選擇是非常靈活的，凡滿足條件的函數(shù)均可以作為小波函數(shù)，其中Haar小波、Mexico Hat小波和Morlet小波是常用的小波函數(shù)。

1）Haar小波

Haar小波函數(shù)為

該正交函數(shù)是Haar于1990年提出的函數(shù)，對(duì)t平移可得到

Haar函數(shù)波形如圖3-9所示。

如圖3-10所示為兩個(gè)小波ψ1，0（t）和ψ1，1（t）的波形。

該基本小波定義的小波變換稱為Haar小波變換，是各種常用的小波變換中最簡(jiǎn)單的一種變換形式。

2）Mexico Hat小波

Mexico Hat小波是Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，其函數(shù)形式為

Mexico Hat小波也稱為Marr小波，Mexico Hat小波是實(shí)數(shù)函數(shù)小波，它的更一般形式由Gauss函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)定義，即

相應(yīng)的譜為

Mexico Hat小波的波形如圖3-11所示。

3）Morlet小波

Morlet小波是最常用的復(fù)數(shù)值小波函數(shù)，其形式為

6. 小波變換的性質(zhì)

小波變換常用的重要特性如下：

（1）小波變換是一個(gè)滿足能量守恒方程的線性運(yùn)算，它將信號(hào)分解成對(duì)空間和尺度（即時(shí)間和頻率）的獨(dú)立貢獻(xiàn)，同時(shí)又不失原信號(hào)所包含的信息。

（2）小波變換不一定要求是正交的，小波基不唯一。小波函數(shù)系的時(shí)寬－帶寬積很小，且在時(shí)間和頻率軸上都很集中，即展開(kāi)系數(shù)的能量很集中。

（3）小波變換相當(dāng)于一個(gè)具有放大、縮小和平移等功能的數(shù)學(xué)顯微鏡，通過(guò)檢查不同放大倍數(shù)下信號(hào)的變化來(lái)研究信號(hào)的動(dòng)態(tài)特性。

（4）小波變換巧妙地利用了非均勻的分辨率，較好地解決了時(shí)間和頻率分辨率的矛盾；在低頻段用高的頻率分辨率和低的時(shí)間分辨率（寬的分析窗口），而在高頻段則用低的頻率分辨率和高的時(shí)間分辨率（窄的分析窗口），這與時(shí)變信號(hào)的特征一致。

（5）小波變換將信號(hào)分解為在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中具有相同大小頻帶的集合，這種以非線性的對(duì)數(shù)方法而不是以線性方法處理頻率的方法對(duì)時(shí)變信號(hào)具有明顯的優(yōu)越性。

（6）小波變換是穩(wěn)定的，是信號(hào)的冗余表示。由于a、b是連續(xù)變化的，相鄰分析窗的絕大部分是相互重疊的，相關(guān)性很強(qiáng)。

（7）小波變換與傅里葉變換一樣，具有統(tǒng)一性和相似性，其正反變換具有完美的對(duì)稱性，小波變換具有基于卷積和QMF的塔形快速算法。

小波變換具有許多重要而又有應(yīng)用價(jià)值的性質(zhì)，其中線性特性、平移和伸縮特性、微分運(yùn)算特性等三個(gè)常用性質(zhì)如下：

1）線性特性

設(shè)f1（t）的小波變換為Wf1（a，b），f2（t）的小波變換為Wf2（a，b），對(duì)于小波變換則有如下線性關(guān)系。若f（t）=k1f1（t）+k2f2（t），則有

2）平移和伸縮特性

設(shè)f（t）的小波變換為Wf（a，b），即

則有

（1）平移特性：

（2）伸縮特性：

3）微分運(yùn)算特性

設(shè)f（t）的小波變換為Wf（a，b），則有如下微分性質(zhì)：

3.6.3 離散小波變換

1. 一維離散小波變換

連續(xù)小波變換通常用于理論分析，在離散的數(shù)值計(jì)算中，需要對(duì)小波變換的尺度因子、位移因子進(jìn)行離散化。

即取，m，n為整數(shù)，a0＞0，b0＞0，通常取a0=2，則一維離散小波定義為

由此可得一維離散小波變換（DWT）為

2. 二維離散小波變換

一維離散小波變換可以擴(kuò)展到二維，這里僅考慮尺度函數(shù)是可分離的，在二維情況下，需要一個(gè)二維可分離的尺度函數(shù)φ（x，y）和三個(gè)可分離的方向敏感的二維小波?1（x，y）、?2（x，y）和?3（x，y）。分別是一維尺度函數(shù)φ和?相應(yīng)的小波函數(shù)的乘積，即

先分別給定可分離的二維尺度函數(shù)及二維小波函數(shù)，定義尺度基函數(shù)和平移基函數(shù)為

式中，i，j，m，n均為正整數(shù)，由此可得大小為M×N的函數(shù)f（x，y）的二維離散小波變換為

式中，j0是任意的初始尺度，系數(shù)Wφ（j0，m，n）定義了在尺度j0的f（x，y）的近似值，系數(shù)對(duì)j≥j0，附加了三個(gè)方向的細(xì)節(jié)。一般情況令j≥j0，M=N=2J（j=0，1，2，3，…，J—1和m，n=0，1，2，3，…，2j—1）。

二維離散小波逆變換為