3.5 離散哈達瑪變換

哈達瑪（Hadamard）變換與沃爾什變換十分類似，就其本質而言，哈達瑪變換是一種特殊排序的沃爾什變換。因此，有的書上稱為沃爾什－哈達瑪變換。哈達瑪變換矩陣也是一個僅包括+1和—1兩個矩陣元素的方陣，任意兩行或兩列相乘后的各數之和必定為零，即不同的行或不同的列之間都彼此正交，哈達瑪變換核矩陣與沃爾什變換不同之處僅僅是行的次序不同。哈達瑪變換的最大優點在于它的變換核矩陣具有簡單的遞推關系，即高階矩陣可以通過低階矩陣求出。因此，許多人基于這個特點更愿意應用哈達瑪變換。

3.5.1 一維離散哈達瑪變換

1. 一維哈達瑪正變換

設f（x）表示N點的一維離散序列，則一維哈達瑪變換定義為

其中，g（x，u）是一維哈達瑪變換的核，定義為

式中，u=0，1，2，3，…，N—1；x=0，1，2，3，…，N—1。N是哈達瑪變換的階數，N=2n。bi（z）是z的二進制數的第i位數值，取值為0或1。

2. 一維哈達瑪逆變換

若已知N點的一維離散序列F（u），則可以進行哈達瑪逆變換，其定義為

與正變換相同，h（x，u）是一維哈達瑪逆變換的核，逆變換核與正變換核相等，即

哈達瑪變換的階數具有規律性，即按照N=2n規律遞升，高階哈達瑪矩陣可以通過低階哈達瑪矩陣的克羅尼科積運算求得。為了表示方便，一般將哈達瑪變換系數作為前置系數，不同階的哈達瑪矩陣具有如下關系：

（1）H1=［1］

（2）

（3）

（4）

采用上述規律求哈達瑪變換矩陣要比直接用哈達瑪變換核求矩陣快得多，此結論提供了一種快速哈達瑪變換，也可稱為FHT。例如，根據哈達瑪矩陣的運算規律，可以得出8階哈達瑪矩陣為

還有一種常用的哈達瑪變換稱為定序哈達瑪變換，定序的哈達瑪變換是由前面介紹的哈達瑪變換演變而來。在哈達瑪變換矩陣中，通常將某一列元素符號改變的總次數稱為這個列的列率。則前面給出的N=8時的變換矩陣H8的8個列的列率分別為0、7、3、4、1、6、2、5。而下面要介紹的定序哈達瑪變換的變換矩陣的列率是隨u的增加而遞增的。例如N=8時，定序哈達瑪變換矩陣的列率從第1列到第8列分別為0、1、2、3、4、5、6、7。

當N=2n時，定序哈達瑪正變換核和逆變換核相同，其變換核為

pi（u）按以下遞推關系求得

因此，定序的哈達瑪正反變換對為

例3-7：根據定序的哈達瑪變換核，求8階哈達瑪變換矩陣。

由于定序哈達瑪變換的列率是遞增規律，因此，8階哈達瑪變換矩陣為

3.5.2 二維離散哈達瑪變換

一維哈達瑪變換可以很方便地推廣到二維，其正變換定義為

逆變換為

二維哈達瑪正變換的核為

其中，x，u=0，1，2，3，…，M—1；y，v=0，1，2，3，…，N—1。

二維哈達瑪逆變換核與正變換核相等，即

二維哈達瑪變換核是可分離和對稱的，因此一次二維哈達瑪變換也可分為兩次一維哈達瑪變換的計算而實現。二維哈達瑪變換也有相應的定序的哈達瑪變換，與一維情況類似，只需將二維正反變換定義中的bi（u）或bi（v）改為對應的pi（u）或pi（v）即可。

根據運算原理，哈達瑪變換矩陣具有簡單的遞推關系，且正、反變換矩陣完全相同，只包含實數的加、減法運算而沒有復數的乘法運算，使得計算速度快、存儲空間少，有利于硬件實現，對實時處理和大量數據操作具有特殊吸引力，因此獲得了廣泛的應用。如通信領域中的多路數字通信系統、語音加密、視頻編碼系統、雷達系統、圖像通信系統；在信號處理領域中的信號分析與綜合、功率譜分析、模式識別、圖像處理。特別是在圖像傳輸、存儲系統中，用于圖像壓縮非常有效。該變換雖然具有上述許多優點，但與建立在正弦函數基礎上的傅里葉變換相比，哈達瑪變換在理論上和實踐上還有一些問題需要進一步的研究。如相關與卷積的運算，如何從經濟上和技術上解決以矩形波為基礎的設備，來取代現有以正弦波為基礎的大量設備等問題。