1.7 數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的意義

1.7.1 二十世紀(jì)數(shù)學(xué)哲學(xué)的演變

一 二十世紀(jì)早期的數(shù)學(xué)哲學(xué)主要試圖為數(shù)學(xué)提供基礎(chǔ)

二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)哲學(xué)經(jīng)歷了一些演變。作為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的研究領(lǐng)域，二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)哲學(xué)源于二十世紀(jì)初的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究。十七、十八世紀(jì)的微積分中使用了許多模糊不清的概念，因而導(dǎo)致了一些悖論與爭(zhēng)議。在十九世紀(jì)，數(shù)學(xué)分析經(jīng)歷了一個(gè)嚴(yán)密化的過(guò)程。經(jīng)過(guò)柯西（Cauchy）、魏爾斯特拉斯（Weierstrass）等人的工作，極限、收斂、連續(xù)、微分、積分等數(shù)學(xué)分析中的基本概念有了較清晰、嚴(yán)密的定義。在十九世紀(jì)末，戴德金（Dedekind）等人進(jìn)一步建立了作為數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)的實(shí)數(shù)理論，康托爾（Cantor）則發(fā)明了集合論，使得實(shí)數(shù)理論可以最終建立在集合論的基礎(chǔ)之上。康托爾的集合論并沒(méi)有立即被數(shù)學(xué)家們接受。一些與集合論有關(guān)的悖論在世紀(jì)之交被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)，更使得一些數(shù)學(xué)家強(qiáng)烈地批評(píng)集合論，包括當(dāng)時(shí)的一些最出色的數(shù)學(xué)家，如龐加萊（Poincaré），赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）等等。另一方面，弗雷格在十九世紀(jì)末發(fā)明了現(xiàn)代數(shù)理邏輯，并試圖在邏輯的基礎(chǔ)上建立嚴(yán)密的算術(shù)與數(shù)學(xué)分析理論，而1903年羅素（Russell）在弗雷格的系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了矛盾。這些一般被稱為十九世紀(jì)末至二十世紀(jì)初的關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機(jī)。

面對(duì)這種危機(jī)，在二十世紀(jì)初產(chǎn)生了若干數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的流派。其中有三個(gè)是基于一些哲學(xué)思想的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)流派：羅素與懷特海（Whitehead）的邏輯主義、布勞威爾的直覺(jué)主義與希爾伯特的形式主義；還有不那么顧忌哲學(xué)基礎(chǔ)的集合論公理化運(yùn)動(dòng)。由于種種原因，最后被數(shù)學(xué)家們普遍認(rèn)可為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的，是公理化的集合論。

二 二十世紀(jì)中期以后的數(shù)學(xué)哲學(xué)退回到考慮哲學(xué)問(wèn)題

進(jìn)入二十世紀(jì)三四十年代以后，關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭(zhēng)議再?zèng)]有引起一般數(shù)學(xué)家們的關(guān)注。公理化以后的集合論似乎已經(jīng)排除了所有可能的矛盾，以及數(shù)學(xué)概念上的不清晰之處等等，成為數(shù)學(xué)家們普遍接受的基礎(chǔ)；關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)問(wèn)題也都離開(kāi)了幾乎所有數(shù)學(xué)家們的視野。對(duì)數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究還在少數(shù)邏輯學(xué)家中繼續(xù)著，但它們對(duì)絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家們不再產(chǎn)生任何影響。

從二十世紀(jì)三四十年代起，對(duì)數(shù)學(xué)中的哲學(xué)問(wèn)題的思考，主要是在哲學(xué)家們中間進(jìn)行，當(dāng)然也包括個(gè)別的對(duì)哲學(xué)有特別興趣的數(shù)學(xué)家或邏輯學(xué)家。比如，卡爾納普繼續(xù)了邏輯經(jīng)驗(yàn)主義對(duì)邏輯真理、數(shù)學(xué)真理的分析；蒯因則開(kāi)始了對(duì)邏輯經(jīng)驗(yàn)主義的嚴(yán)厲批評(píng)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他的數(shù)學(xué)實(shí)在論思想；哥德?tīng)枏乃奈迨甏鹨不緦Ｗ⒂谒伎颊軐W(xué)問(wèn)題。到了二十世紀(jì)后半葉，在英語(yǔ)國(guó)家，數(shù)學(xué)哲學(xué)完全成為分析哲學(xué)的一個(gè)分支。其中最受關(guān)注的問(wèn)題，就是我們前面介紹的本體論問(wèn)題、認(rèn)識(shí)論問(wèn)題、意義理論問(wèn)題等等，即最中心、也最經(jīng)典的哲學(xué)問(wèn)題在數(shù)學(xué)這一知識(shí)領(lǐng)域的反映。

1.7.2 數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的意義

一 對(duì)一般哲學(xué)研究的意義

由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)這個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的一些特殊性，使得關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的這些哲學(xué)問(wèn)題，成為一般的哲學(xué)思想的試驗(yàn)場(chǎng)。具有經(jīng)驗(yàn)主義、實(shí)用主義、理性主義或自然主義等各種一般性的哲學(xué)傾向的哲學(xué)家，都很自然地嘗試將這些一般性的哲學(xué)思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)這個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，以檢驗(yàn)這些一般性的哲學(xué)世界觀。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特殊性在于，一方面，它被認(rèn)為是整個(gè)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且是提供了最可靠的知識(shí)；而另一方面，它所研究的對(duì)象表面上超出了經(jīng)驗(yàn)的范圍，是所謂抽象對(duì)象，甚至無(wú)窮的抽象對(duì)象。因此，如前面幾節(jié)所描述的，關(guān)于數(shù)學(xué)的本體論、認(rèn)識(shí)論、語(yǔ)義學(xué)、可應(yīng)用性等問(wèn)題，對(duì)每一種哲學(xué)思想都是挑戰(zhàn)。還有，由于二十世紀(jì)的數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究，數(shù)學(xué)理論可以說(shuō)已經(jīng)得到了最徹底的分析，而且，數(shù)學(xué)理論的形式化、公理化，使得數(shù)學(xué)概念、推理中的任何模糊性、不確定性都被消除，也使得由于這些模糊性、不確定性而導(dǎo)致的回答哲學(xué)問(wèn)題的困難都被消除。因此我們一般相信，假如本體論、認(rèn)識(shí)論、意義理論、分析性、先天性等這些哲學(xué)問(wèn)題有可能得到確定的回答，那么關(guān)于數(shù)學(xué)的這些問(wèn)題也許應(yīng)該首先得到回答。因此數(shù)學(xué)哲學(xué)問(wèn)題常常成為各種哲學(xué)思想首先嘗試回答的哲學(xué)問(wèn)題，成為哲學(xué)思想的試驗(yàn)場(chǎng)。這是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究對(duì)一般哲學(xué)的意義。

二 二十世紀(jì)數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)實(shí)踐的關(guān)系

自從大約二十世紀(jì)三十年代起數(shù)學(xué)家們普遍地接受公理化的集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以后，數(shù)學(xué)哲學(xué)研究就沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生影響。但是，這當(dāng)然不等于說(shuō)，對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)上的思考永遠(yuǎn)不會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生影響。從科學(xué)史的角度來(lái)說(shuō)，一般認(rèn)為，在科學(xué)研究的所謂“范式轉(zhuǎn)換”時(shí)期，或所謂的“科學(xué)革命”時(shí)期，哲學(xué)思考可能對(duì)科學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生一些影響。比如，許多學(xué)者認(rèn)為，馬赫對(duì)絕對(duì)時(shí)空觀念的分析、批評(píng)，正面地影響了愛(ài)因斯坦。這種影響，似乎是由于一些哲學(xué)上的分析、思考，動(dòng)搖了一些舊的觀念上的教條，比如絕對(duì)時(shí)空的觀念，從而鼓勵(lì)科學(xué)家放棄一些教條，去探索新觀念。當(dāng)然，一種哲學(xué)思考也可能表現(xiàn)為對(duì)一些新觀念的抵觸，比如愛(ài)因斯坦早期對(duì)量子力學(xué)的抵觸。這也許是負(fù)面的影響。它也許是由于一些新觀念與一些已有哲學(xué)信念相沖突，從而導(dǎo)致了對(duì)新觀念的疑慮，而新觀念后來(lái)被實(shí)踐證明是正確的。當(dāng)然，也有可能新觀念后來(lái)被證明是無(wú)根據(jù)的幻想。已有的哲學(xué)信念本身也是對(duì)過(guò)去的所有知識(shí)的概括。并不是任何新觀念都是對(duì)的。所以，應(yīng)該說(shuō)，哲學(xué)思考對(duì)科學(xué)實(shí)踐的可能的影響是復(fù)雜的。

就現(xiàn)代數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，接近于這種所謂“研究范式轉(zhuǎn)換”的，就是十九世紀(jì)末至二十世紀(jì)初現(xiàn)代數(shù)學(xué)被確立這一時(shí)期。其間，由于新觀念的產(chǎn)生，激活了許多對(duì)數(shù)學(xué)的本性與基礎(chǔ)的哲學(xué)思考。今天回過(guò)頭來(lái)看，也許其中多數(shù)哲學(xué)思考并沒(méi)有對(duì)二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生正面的影響。比如，直覺(jué)主義與邏輯主義所提出的，更多的是從哲學(xué)動(dòng)機(jī)出發(fā)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并沒(méi)有被數(shù)學(xué)家們接受。希爾伯特的試圖為集合論與無(wú)窮數(shù)學(xué)作辯護(hù)的形式主義，事實(shí)上也沒(méi)有成功，雖然希爾伯特始終還是堅(jiān)持接受集合論與無(wú)窮數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)家們似乎更多的是基于實(shí)用上的考量而接受了集合論，比如，集合論能夠使得數(shù)學(xué)語(yǔ)言更嚴(yán)密而沒(méi)有矛盾或歧義，能夠定義更多的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、發(fā)展更多的數(shù)學(xué)理論，能夠證明更多的數(shù)學(xué)定理，而且更簡(jiǎn)單、方便等等。數(shù)學(xué)家們似乎不再顧慮關(guān)于集合論的哲學(xué)上的問(wèn)題。而且，似乎正是這種實(shí)用的、回避哲學(xué)問(wèn)題的精神，才使得二十世紀(jì)的經(jīng)典數(shù)學(xué)得以迅速發(fā)展。

三 數(shù)學(xué)哲學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的可能的影響

這是我們對(duì)二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)哲學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的影響的評(píng)價(jià)。但即使這樣，它也沒(méi)有完全排除哲學(xué)思考將來(lái)還有可能會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生正面的影響。前面已經(jīng)提到，哲學(xué)思考的影響可能是復(fù)雜的。而且，如果哲學(xué)上的分析能夠消除一些僅僅由于習(xí)慣而產(chǎn)生的、沒(méi)有真實(shí)依據(jù)的、教條式的信念，從而鼓勵(lì)我們?nèi)ヌ剿餍碌挠^念、新的方法，那么它有可能產(chǎn)生正面的影響。正是在這一點(diǎn)上我們認(rèn)為，一種反實(shí)在論的數(shù)學(xué)哲學(xué)，有可能對(duì)未來(lái)的數(shù)學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生正面的影響。因?yàn)椋瑪?shù)學(xué)實(shí)在論相信數(shù)學(xué)提供了對(duì)某種客觀實(shí)在的絕對(duì)真理，而如果反實(shí)在論的分析是正確的，那么它意味著實(shí)在論者的這種信念是沒(méi)有真實(shí)根據(jù)的，僅僅是我們將我們自己的一些想象投射到外部世界的結(jié)果。而且，這種教條式的信念有可能正在阻礙著我們?nèi)ヌ剿餍碌臄?shù)學(xué)語(yǔ)言，或者新的數(shù)學(xué)想象。

換句話說(shuō)，如果數(shù)學(xué)是關(guān)于某種客觀實(shí)在的客觀真理，那么我們期望已知的這些客觀真理是相對(duì)穩(wěn)定的，也就是說(shuō)，我們期望今天的數(shù)學(xué)會(huì)永遠(yuǎn)被保留。而且我們一般還相信，客觀真理總有其內(nèi)在價(jià)值，不論它們?cè)谄渌矫嬗袥](méi)有用。但是，反實(shí)在論是將數(shù)學(xué)看成一種工具。一種工具的價(jià)值僅僅在于它有助于達(dá)到某個(gè)目的。就數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，這個(gè)目的應(yīng)該是科學(xué)應(yīng)用。而且，一種工具的價(jià)值還可能由于其他情況的變化而被改變。比如，就無(wú)窮數(shù)學(xué)這個(gè)工具來(lái)說(shuō)，有可能，在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前，用無(wú)窮、連續(xù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬有限、離散的事物對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是最有效的。但是，在功能越來(lái)越強(qiáng)的計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后，有可能用計(jì)算機(jī)來(lái)模擬有限、離散的事物會(huì)變得更有效。這意味著，有可能，用一種談?wù)撓裼?jì)算機(jī)程序那樣的東西的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)我們的科學(xué)理論，會(huì)變得比用談?wù)摕o(wú)窮的抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的經(jīng)典數(shù)學(xué)語(yǔ)言更有效。反實(shí)在論數(shù)學(xué)哲學(xué)很自然地鼓勵(lì)這一類探索。

四 對(duì)數(shù)學(xué)教育的可能影響

對(duì)數(shù)學(xué)的不同哲學(xué)理念，也會(huì)很自然地影響到我們對(duì)數(shù)學(xué)教育的看法。如果數(shù)學(xué)，特別是抽象數(shù)學(xué)，是關(guān)于某種客觀實(shí)在的客觀真理，那么，數(shù)學(xué)教育的目的之一很自然地就是幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)這些真理，以及學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)這些真理的方法，而且這可能被認(rèn)為具有內(nèi)在價(jià)值。這種理念很自然地導(dǎo)致了試圖將越來(lái)越多的抽象數(shù)學(xué)放在非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等教育中，甚至中等或初等教育中。反之，如果數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是一種工具，那么我們很自然會(huì)采取另外一種態(tài)度，即更多地考慮教導(dǎo)學(xué)生如何使用這種工具。比如，考慮到在現(xiàn)實(shí)世界中求體積等數(shù)學(xué)運(yùn)算，如果精度達(dá)到了普朗克尺度，那一定是無(wú)意義的。因此，任何現(xiàn)實(shí)世界中的求體積等運(yùn)算都只要很有限的精度，都在原則上只能是有限和等等。因此有可能，僅僅是由于缺乏很好的計(jì)算機(jī)及求體積的數(shù)學(xué)軟件，才使得我們需要用積分公式求體積，因此才需要學(xué)生去學(xué)習(xí)嚴(yán)格的極限、積分等數(shù)學(xué)分析中的較復(fù)雜、抽象的概念，去記憶那些復(fù)雜的積分公式與求積分的技巧。這是將無(wú)窮數(shù)學(xué)視為一種工具的很自然的推論。如果這是對(duì)的，那么，很自然的想法是，也許我們應(yīng)該做的是更多地設(shè)計(jì)方便實(shí)用的數(shù)學(xué)軟件，然后在數(shù)學(xué)教育中更多地教學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件解決問(wèn)題的方法，而不是教學(xué)生抽象的極限、積分等概念，教學(xué)生積分公式與求積分的技巧，乃至教學(xué)生嚴(yán)格地表達(dá)極限、連續(xù)等概念的所謂的ε-δ語(yǔ)言等等。這種數(shù)學(xué)教育理念，應(yīng)該能夠使得非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生掌握相當(dāng)復(fù)雜、相當(dāng)有力的數(shù)學(xué)工具，節(jié)省許多學(xué)習(xí)時(shí)間，極大地提高他們?cè)谧约旱膶I(yè)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)應(yīng)用的程度，提高他們的工作效率與創(chuàng)造性。當(dāng)然，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，或生產(chǎn)數(shù)學(xué)軟件的研究人員，還是需要掌握最抽象的數(shù)學(xué)。這正是許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中所不斷發(fā)生的事情，即由于專業(yè)分工帶來(lái)了一個(gè)人在自己的專業(yè)領(lǐng)域中的創(chuàng)造性獲得極大的提高。

五 自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的價(jià)值

最后，本書將采納自然主義的基本世界觀。從自然主義的角度看，數(shù)學(xué)哲學(xué)研究是廣義的科學(xué)研究的一部分。對(duì)自然主義者來(lái)說(shuō)，人是自然的產(chǎn)物；人的思維活動(dòng)原則上可歸結(jié)為大腦的活動(dòng)，因而是自然現(xiàn)象；人的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)因此也是自然現(xiàn)象。所以，數(shù)學(xué)哲學(xué)就是研究人的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)這種自然現(xiàn)象的科學(xué)，是科學(xué)的一部分。當(dāng)然，人的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)這種自然現(xiàn)象包含許多方面。比如，有心理的方面，那應(yīng)該屬于心理學(xué)。自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)則關(guān)注其中與邏輯及哲學(xué)有關(guān)的方面，包括在自然主義框架下描述數(shù)學(xué)語(yǔ)言的意義，討論關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)論問(wèn)題，分析數(shù)學(xué)的先天性、必然性，分析數(shù)學(xué)的客觀性，從邏輯上解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性等等。由于它是對(duì)人的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)這種自然現(xiàn)象的分析、描述，它與一般的科學(xué)研究在實(shí)質(zhì)上是一樣的。所以，即使不論數(shù)學(xué)哲學(xué)研究對(duì)一般哲學(xué)研究的意義以及對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐與數(shù)學(xué)教育的可能的影響，作為對(duì)一類自然現(xiàn)象的科學(xué)研究，自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)也有其自身的價(jià)值，恰如所有其他的對(duì)自然現(xiàn)象的科學(xué)研究一樣。這是自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)在另一個(gè)層面上的意義。