1.6 數學的可應用性

從前面的討論可以看出，反實在論數學哲學面臨的許多問題，可以最終歸結為如何解釋數學在科學中的可應用性這個事實，包括說明數學可應用的客觀原因。數學可以在科學應用中推導出科學真理，這是不爭的事實。它意味著數學不僅僅是一個任意設計出來的游戲，或一個任意編撰出的故事。任何一種數學哲學都需要對此作出解釋。

1.6.1 數學實在論并未清楚解釋可應用性

一 數學實在論對可應用性的解釋

從表面上看，數學實在論似乎更容易解釋數學的可應用性。數學實在論認為，抽象數學對象客觀存在，數學公理與定理是關于抽象數學對象的客觀真理，因此，數學在科學應用中可以推導出真理是因為數學公理與定理本身是真理。

更確切地說，一個科學理論中的前提一般可分為三類：（Ⅰ）數學公理及定理；（Ⅱ）關于宇宙中的具體事物的陳述，包括關于具體事物的觀測結果的陳述，以及一些不用數學語言表達的，關于宇宙中的具體事物的一般規律的陳述；（Ⅲ）用數學語言表達的，關于宇宙中的具體事物的一般規律，比如物理定律。前提（Ⅲ）中的語句一般直接陳述數學對象與物理對象之間的聯系，以此表達某個自然規律。比如，一個經典力學中的前提可能說：

（1）存在一個滿足如此這般的微分方程的數學函數，它表示如此這般的一個物體的運動軌跡。

又比如，一個量子力學的前提可能說，存在一個如此這般的數學函數，它是某個粒子的波函數。在數學實在論看來，在一個成功的科學理論中，這三類前提都是真理：（Ⅰ）是關于抽象數學對象的真理；（Ⅱ）是關于具體事物的真理；（Ⅲ）則是關于抽象數學與具體事物之間的聯系的真理。這樣，由這些前提邏輯地推導出的科學結論，自然也是真理。這也許是一般數學實在論者所天然地假設的對數學可應用性的解釋。比如，蒯因在描述科學應用如何核證數學真理的時候，就是將數學公理、物理定律等等同等地看做我們的科學理論中的前提。然后說，既然從這些前提推導出的關于經驗觀察的結論得到了經驗的驗證，這就反過來核證了這些推導的所有前提，同時包括其中的數學前提與物理前提，即數學公理與物理定律。也就是說，一方面，數學定理之為真解釋了所推導出的觀察結論之為真，另一方面，所推導出的觀察結論之為真核證了作為推導的前提的數學定理為真。

二 實在論解釋的問題：用無窮數學表達的科學定律一般并非精確為真的

但是，如果我們作更仔細的分析就會發現，事情不是那么簡單。主要的原因是，模擬物理對象的數學模型一般被描述為無窮的、連續的，但我們并不真的假設物理世界是無窮、連續的。比如，我們用一個連續、可微分的數學函數表示流體的質量分布，或者甚至表示地球上的人口增長。這是用一個無窮、連續的數學模型，近似地模擬有限、離散的物理對象。這樣的模型不是精確地為真的。鑒于今天的物理學只能描述普朗克尺度以上的事物，在所有今天的科學應用中，任何使用無窮、連續數學模型的地方，從廣義相對論、量子力學，到金融數學或人口研究，都是在用無窮、連續的數學模型來近似地模擬有限、離散的事物。因此，即使抽象數學對象真的存在，而且純數學的公理與定理是關于它們的真理，前面提到的科學應用中的第（Ⅲ）類前提中的語句，也常常不是嚴格地為真的。因此，上面對數學應用的描述并不準確。

1.6.2 什么是真正的可應用性問題？

一 對數學應用的更準確的描述

對數學應用的更準確的描述應該是這樣的。由于這些無窮、連續的數學模型只是近似地模擬那些有限、離散的具體事物，第（Ⅲ）類前提中的語句本身必須包含“近似地表示”、“近似地模擬”等表達近似性且帶有模糊性的詞匯。比如，對于模擬人口增長，像（1）那樣的前提應該寫為這種形式：

（2）存在一個滿足如此這般的微分方程的數學函數p（t），它近似地表示地球上的人口（相對于時間）的增長。

也許這里的“近似地表示”可以更嚴格、精確地表達，但在實際應用中我們一般是依賴我們對它的直觀理解。然后，再以模擬人口增長為例，數學應用中的推理步驟大致是這樣的：首先，利用前提（Ⅲ）中關于數學對象近似地模擬具體事物的假設，從前提（Ⅱ）中的關于具體事物的假設，可推導出關于相應的數學對象的數學假設，一般是作為初始條件等等。比如，前提（Ⅱ）中可能包含一個關于人口數量的初始值的假設。由此，并利用（2）中蘊涵著的關于函數p（t）“近似地表示”人口增長這個假設，就可推出關于函數p（t）的初始值的一個數學假設。然后，由這些數學假設，加上前提（I）中的數學公理與定理，及前提（Ⅲ）中所蘊涵的其他數學假設，嚴格、精確地推導出一個關于抽象數學對象的數學結論。比如，由關于函數p（t）的初始值的數學假設，數學分析與微分方程理論中的定理，及（2）中蘊涵的關于函數p（t）的微分方程，推導出一個關于p（t）的數學結論。最后，再利用前提（Ⅲ）中關于數學對象近似地模擬具體事物的假設，從那個關于抽象數學對象的數學結論，得出關于所應用的具體事物的一個結論。比如，再利用（2）中蘊涵著的關于函數p（t）“近似地表示”人口增長這個假設，從前面所得出的關于p（t）的數學結論，再得出關于人口增長的結論。

二 真正的可應用性問題

這是對數學應用的一種更準確的描述。然后，要解釋數學的可應用性，就是要解釋為什么最后得出的關于具體事物的結論，比如關于人口增長的結論，是真的。這里的難點是，“近似地模擬”、“近似地表示”等都不是有著嚴格定義的數學概念。因此，像（2）那樣的前提不是嚴格的數學陳述，它的意義不是非常清晰。而且，上面所描述的，最后得出關于具體事物的結論的推導過程，也不完全是嚴格的數學推導，尤其是那些利用了前提（Ⅲ）中關于數學對象近似地模擬具體事物的假設的推導，比如，最后一步從數學結論到物理結論的推導。因此，究竟為什么某些這樣的推導能夠得出關于具體事物的真結論，在邏輯上不是很清楚。這就是一個對數學的可應用性的解釋，包括實在論的解釋，應該解釋清楚的。

更具體地說，首先，顯然不是每個關于抽象數學對象的數學結論都能蘊涵某個有意義的關于具體的應用對象的結論。對可應用性的解釋應該能夠描述哪些關于抽象數學對象的結論可以蘊涵有意義的關于具體的應用對象的結論，也就是說，哪些數學結論是有實際意義的。比如，在人口增長的例子中，如果一個數學結論被翻譯為“在某個非常短的時間區間內總人口增加了0.03個人”，那它當然是沒有實際意義的。又比如，我們可以想象，我們用一個抽象的、很強的、蘊涵無窮的數學公理（如集合論中的一種大基數公理），非構造性地證明了一個關于函數p（t）的存在性定理，比如，存在一個p（t）的導數為0的時刻。這樣一個數學結論是否在這個應用中有實際意義就不是很清楚。p（t）的導數等于0意味著在那一時刻函數的增長率等于0。但是，既然人口增長實際上是離散的、跳躍式的，當然存在許許多多很短的時間區間，在其中人口的總數沒有變化，即增長率等于0。如果這個數學證明蘊涵著，在一個足夠大的時間區間中，函數p（t）的導數都非常的小，那么直觀上它可能有實際意義，它可能蘊涵著離散的人口增長也在某個大致的時刻停滯。要說明哪些數學結論是有實際意義的，哪些可能是無實際意義的，顯然需要我們更仔細地分析前提中的“近似地表示”、“近似地模擬”等等。

其次，我們還需要在邏輯上清楚、嚴格地解釋，為什么所推導出的有實際意義的結論是真的。比如，如上面所提到的，假設用了一個很抽象的、很強的集合論公理以后我們證明了：

（3）存在一個足夠大的時間區間[t1, t2]（比如有一個月長），在其中，函數p（t）的導數（的絕對值）都非常小。

直觀上（3）是有實際意義的，而且可以解釋為：

（4）在時間區間[t1, t2]中，出生與死亡大致地達到了平衡。

直觀上我們也會相信這樣得出的結論。但問題是，我們需要在邏輯上清楚、嚴格地解釋，為什么這個結論（4）是真的。尤其是，我們希望能夠找出，究竟是哪些前提邏輯地蘊涵了這個結論（4）。比如，既然人口增長是離散的，我們有理由懷疑，涉及實無窮的數學公理是否真的是推導出（4）的絕對必要的前提。也許，從一些關于離散的人口增長的前提，就足以推導出（4）。這需要將前提（Ⅲ）中的“近似地表示”、“近似地模擬”等等，用精確的數學化語言嚴格地表達出來，然后將（I）、（Ⅱ）、（Ⅲ）等三類前提，都用精確的語言表達，然后才能準確地回答，究竟在這個推導中，（4）是邏輯地、必不可少地依賴于哪些前提假設的。還有，我們希望能夠說明，數學推導如何保持了“近似地模擬”這個關系。數學推導需要保持這個關系，這樣，由前提中的數學對象近似地模擬具體事物，才能得到（3）那樣的數學結論也是近似地模擬具體事物，然后才能得到（4）那樣的關于具體事物的結論。

這些是解釋數學的可應用性中需要做到的。在二十世紀的各種實在論數學哲學流派中，還沒有任何一種流派作了這個工作，因此，還沒有任何一個實在論哲學真正完整地解釋了數學的可應用性。關于這一點，本書后面的相關章節還要對每個具體的實在論哲學思想作更細致的分析、論證。

1.6.3 對可應用性的解釋可能支持反實在論

一 無窮數學的定理在應用中也許不是邏輯上絕對地不可缺的

也許實在論者們認為，這些只是技術性的細枝末節，但事實上，它對實在論與反實在論之間的爭議可能會有重大的影響。因為，這種對數學應用的解釋要能夠支持數學實在論，它的結果應該顯示，在一個數學應用中，最后得出的關于有限、離散的具體事物的結論，確實在邏輯上依賴于關于抽象數學對象的那些公理，而且是必不可少地依賴于那些公理。比如，對前面的例子，它應該顯示，最終得出的結論（4）是必不可少地依賴于某些關于抽象數學對象的數學公理。這樣，成功的數學應用才能夠反過來核證那些關于抽象數學對象的數學公理。但是，如果我們真正地完成了那些技術性的細節，所得出的結果有可能恰好相反。也就是說，有可能我們會發現，之所以應用無窮、連續的數學模型會最終得出關于有限、離散的事物的真理，就是因為關于無窮、連續的數學模型的那些前提，其實不是必不可少的。也就是說，我們的關于有限、離散的具體事物的結論真正依賴的前提，僅僅是關于有限、離散的事物本身的一些前提。

二 人口增長的例子

比如，直觀上，前提（2）是合理的，是因為那個微分方程在某種意義上“近似地”刻畫了人口增長。前提（2）本身直接地提到了那個數學函數p（t），同時斷言p（t）嚴格地滿足那個微分方程，然后它斷言p（t）近似地表示人口增長。但是，可以想象，我們也許可以改寫前提（2），使它不提那個數學函數，而直接地將“那個微分方程在某種意義上近似地刻畫了人口增長”這一點，表達為關于在不同時刻的人口總量的變化的陳述。比如，可以用一個差分方程代替那個微分方程，也就是將微分方程離散化，然后將差分方程敘述為不是關于函數或一系列實數（或有理數）的論斷，而是關于地球上不同時刻的人口數量這個物理屬性的論斷。這很可能會比原來的前提（2）冗長得多，但直觀上，這似乎才是我們關于地球上的人口增長的真正的前提假設，是真正嚴格準確地（而不僅僅是近似地）表達了人口增長的規律。直觀上，真正蘊涵我們的關于人口增長的結論（4）的，也許應該是這樣的前提。既然這樣的前提直接談論人口增長，而不談論抽象數學對象，它應該是屬于類型（Ⅱ）的前提。

換句話說，像前提（2）那樣引入一個可微分的數學函數來表達人口增長的規律，也許只是為了用簡化的方式，因而不是用最精確的方式，來表達人口增長的規律。更一般地，類型（Ⅲ）中的前提，是表達如何用無窮數學模型簡化地、近似地模擬有限的具體事物。直觀上，也許我們可以去掉其中的簡化手段，將類型（Ⅲ）中的前提直接表達為關于所應用的有限的具體事物的論斷。這實際上是將它們轉化為類型（Ⅱ）的前提。結果將是，類型（Ⅰ）中的純數學的公理就不必要了，因為沒有類型（Ⅲ）的前提將它們與類型（Ⅱ）的前提聯系起來，而最后的關于有限的具體事物的結論，比如結論（4），就將只是一些類型（Ⅱ）的前提的邏輯推論。

這樣做的結果應該會使得類型（Ⅱ）的前提非常地冗長、繁瑣，因而從實用的角度來說是不可取的。利用數學定理以及（2）那樣的將數學對象與具體事物聯系起來的前提，可以更簡單地推導出我們所感興趣的關于有限的具體事物的結論，比如結論（4）。但是，只要這原則上可行，它在理論上就能夠真正地解釋為什么所得出的關于有限的具體事物的結論，比如結論（4），是真的。它意味著，利用數學定理可以更簡單地推導出我們所感興趣的關于有限的具體事物的結論，但之所以一個這樣的推導能夠保證所得出的結論是關于有限的具體事物的真理，恰恰是因為，原則上，我們也可以消除數學定理，而僅僅從我們真正地假設的關于有限的具體事物的前提，即從如上描述的消去類型（Ⅲ）的前提后所得的類型（Ⅱ）的前提，推導出那個結論。

三 因此實在論的假設將與解釋可應用性無關

這將是一個反實在論者也可以接受的對數學應用的解釋，而且更進一步，它支持了反實在論。因為，它將說明實在論的信念是與解釋數學的可應用性無關的。也就是說，表面上談論抽象數學對象的數學公理與定理在應用中可以幫助我們推導出關于具體事物的真理，不是由于這些數學公理與定理本身是真的，而恰好是由于，它們雖然幫助我們簡化了推導，但卻不是絕對地不可或缺的，消除這些數學公理與定理以后，我們將得到一個邏輯上更清晰的（雖然是過于繁瑣的，因而從實用的角度是不可取的），從關于有限的具體事物的前提，到所考慮的關于有限的具體事物的結論的直接推導。換句話說，解釋那些數學公理的可應用性將恰好在于證明，那些數學公理，雖然帶來很大的簡化，卻是原則上可消除的，因此應用的成功僅僅證明了它們的便利性，卻不能幫助核證它們的真理性。

下一章介紹的那種徹底自然主義的數學哲學將沿著這個思路解釋數學的可應用性。關于這方面研究的一些已有成果，將在下一章給出相應的文獻。反之，二十世紀的其他反實在論數學哲學都還沒有對數學的可應用性作出合理的解釋。而且，有一些作者似乎沒有意識到這其實是他們的反實在論數學哲學的最重要的問題。