1.5 數學的客觀性

1.5.1 數學的客觀性與數學對象的客觀存在性

一 接受數學實在論不僅僅在于承認數學的客觀性

有的學者提出，數學實在論問題，實質上是關于數學的客觀性（objectivity）問題，而不是關于數學對象（objects）是否客觀存在這個問題。這種說法可能源于對“抽象對象的存在性”這個概念本身的懷疑。說物質性的對象存在容易理解，即存在于宇宙時空之中，但說一個抽象對象存在究竟是什么意思？這種說法，希望能夠表達某種實在論的信念但同時又回避談論抽象數學對象。但是，先不論“抽象對象存在”是什么意思，我們認為，僅僅以是否承認數學的客觀性為標準，似乎并不能區分關于數學本質的兩種真正互相沖突的信念，即實在論者的與反實在論者的信念。

二 對“數學的客觀性”的分析

首先我們要問，如何陳述所謂的數學的客觀性？對于我們這里所說的數學實在論者來說，客觀性自然是指抽象數學對象客觀地存在，即它們是獨立于我們的心靈與語言的存在，而且數學公理與定理是關于抽象數學對象的客觀真理。要談論數學的客觀性又要回避談論抽象數學對象，也許就只能談論數學公理與定理本身。所以，所謂數學的客觀性應該指的是，數學公理與定理之有別于其他數學命題，是基于一些客觀的原因，而不是基于個人的任意選擇，或主觀喜好，等等。數學公理與定理當然可以在許多方面有別于其他數學命題。對于我們這里所理解的數學實在論來說，最重要的區別仍然在于公理與定理是真理，而其他命題可能是假的，而這又意味著承認抽象數學對象的存在性。要回避這一點，就不能承認數學公理與定理的實在論意義上的真理性。那么，什么是公理與定理有別于其他命題的根本特征？也許，公理在某種意義上的自明性以及公理和定理的可應用性，是除真理性之外唯一使它們有別于其他命題的根本特征。這樣，所謂數學的客觀性就是指，數學公理的自明性與數學公理和定理之有用，是基于一些客觀的原因，而不是由于我們的主觀喜好、任意選擇等等。另外，這里的客觀性還可以區分兩個層次。它可以是指，公理和定理的這些特征對不同的人來說是公共的，不是個人主觀選擇的結果；它也可以是指，公理和定理的這些特征也包含了獨立于人類心靈的因素，或者說，不是由心靈的先天的、內在的特征所決定的。

三 反實在論者可以承認數學的客觀性

然而，問題是，反實在論者也可以承認這個意義上的數學的客觀性。比如，不論你是否承認一種宗教信仰的真理性，你都可以承認，人們之所以樂于接受這種宗教信仰，以及這種宗教信仰之所以有很好的社會效益，都是基于一些客觀的原因，甚至包括獨立于人類的心靈的內在特征的原因，比如人類的環境的一些特征，而不是基于人們的純粹主觀上的任意的喜好，或者僅僅基于人類的心靈自身的內在特征。承認是基于客觀的原因使得人們樂于信仰上帝，并不意味著承認上帝存在，或承認是上帝使得人們接受了那種宗教信仰；同樣，承認一種宗教信仰有很好的社會效益，更不意味著承認那種宗教信仰的真理性。是否承認這些客觀性顯然不足以區分信仰者與不信者；能區分的只有是否承認“上帝存在”的真理性這一點。同樣，是否承認數學公理的自明性與數學的可應用性是基于客觀的原因，不足以區分關于數學的兩種真正互相沖突的信念，因為雙方都可以承認這些客觀性。我們認為，這兩種信念之間的真正沖突還是在于，自明性或可應用性是否蘊涵了對客觀存在的對象的真理性。換句話說，“自明性”是指對于某種獨立于我們的思想的事物的認識上的自明性，還是僅僅指我們的思想對于我們自己具有顯得清晰、自然等等這些特性（而且這些特征是客觀的）。同樣地，可應用性是由于真理性，是由于我們的思想以某種方式對應于某些外在的東西，還是由于我們的思想自身的一些別的什么特征。

從另一個角度，我們可以問，當一個實在論者說數學是客觀的時，被承認為客觀的究竟是什么？是大腦或心靈之外的某種東西？還是大腦或心靈之中的某種東西與大腦或心靈之外的某種東西之間的某種對應關系？還是僅僅是大腦或心靈之中的某種東西？如果是前兩者，那么，對數學實在論者來說，那些大腦或心靈之外的東西似乎只能是抽象數學對象，因為它們不能僅僅是宇宙時空之中的具體事物，否則那就是唯名論了。如果是第三者，即所謂客觀的僅僅是大腦或心靈之中的某種東西的特征，比如，是大腦或心靈所理解的數學定理有某種客觀的、大腦或心靈不能隨心所欲地改變的特性，那么，這種意義上的客觀性也可以被反實在論者接受。比如，反實在論者可以承認，我們思想中所接受的數學公理相對于我們的大腦或心靈來說是優美的、顯得很自然的、很有益處的，等等。這些都不蘊涵著承認任何超出這個物質世界（與心靈）的事物的客觀性，比如，不蘊涵著承認無窮的客觀性。反實在論者還可以承認，由于我們的大腦或心靈的內在結構，這些數學公理相對于我們的大腦或心靈的這些特征，不是我們的大腦或心靈可以隨心所欲地改變的。顯然，數學實在論者所想要肯定的應該不僅僅是這種意義上的客觀性。所以，如果實在論者是指前兩種意義上的客觀性，那么它應該蘊涵著承認抽象數學對象存在，而第三種意義上的客觀性似乎不是數學實在論者所想要表達的。

四 懷疑“抽象對象存在”的意義已經懷疑了數學實在論

事實上，只要你真正懷疑“無窮存在”、“抽象對象存在”等等這些說法是否有意義，你就已經隱含地假設了只有在這個物質宇宙之中存在的具體事物（也許還有人的心靈活動）才是真正的“存在”。然后，任何意義上的客觀性，都只能是關于這個物質宇宙之中的具體事物（也許還有人的心靈活動）的客觀性。這實際上已經是在懷疑數學實在論的信念是否有意義。數學實在論之所以為數學實在論，恰恰在于它相信一些超出這個物質宇宙又獨立于我們心靈的東西。這種信念只能用某種不屬于物質世界也不屬于心靈的“存在”、甚至“客觀存在”來表達。所以，僅僅承認數學在某種意義上的客觀性還不足以刻畫實在論者的信念，因為客觀性可能僅僅是指物質世界中的事物或心靈的活動本身的某些特征的客觀性。

五 抽象對象與抽象概念

當然，有些數學實在論者直接將數學實在論的信念將表達為“抽象數學對象客觀存在”，而有些則更愿意將它表達為“抽象數學概念是客觀的、獨立于我們的思想的”。哥德爾晚年似乎更愿意采用后一種說法。這似乎可以回避“抽象對象存在”這種說法。這里需要強調，在哥德爾那里，抽象數學概念不是某個具體的人的大腦或心靈中的具體的內在表征，也不是人的思想的創造物。它們是客觀的、獨立于我們的思想的。因此也是一種“客觀存在”。既然它們是抽象的，稱它們為“對象”（objects）或“概念”（concepts）并沒有真正的區別。對于物質世界中的東西，“對象”指的是一個個的物體，而“概念”則可以指大腦中的某種神經元結構，它們是大腦對事物的認識在神經元層次上的實現。在這里，“概念”還是一些事物，只不過我們強調它們的結構、在大腦中的功能等等，因此，“對象”與“概念”還是有明顯的區別。“概念”也可以指一個心靈中的某種心靈實體（而非物質實體），所以，即使不是從大腦的角度而是從心靈的角度來看，“對象”與“概念”也有類似的區別。但對于所謂獨立于思想的“抽象概念”，既然它們是獨立于大腦、心靈的，稱其為“概念”或“對象”可能沒有什么真正的區別。事實上，稱其為“概念”有可能將它們與存在于大腦或心靈之中的“概念”相混淆，從而使我們忽視了它們是被設想為獨立于思想的這個事實，進而使我們忽視了它們帶來的一些哲學上的困難。比如，對于作為大腦中的神經元結構的“概念”，或者對于屬于心靈的作為心靈實體的“概念”，不存在什么大腦或心靈如何“把握概念”這個問題，因為“概念”已經就在大腦或心靈之中了。但是，如果所謂的“抽象概念”是獨立于思想的，那么，思想如何能夠“把握”它們，在什么意義上“把握”它們，這就需要有一個解釋的。

所以，我們將繼續將數學實在論的基本信念表達為：抽象數學對象客觀存在，而且數學公理與定理是關于抽象數學對象的客觀真理。

1.5.2 數學的客觀性問題

一 客觀性問題

然后，前面已經提到，數學公理與定理之有用顯然是一個客觀事實。它們在科學中已經是很有用了。而它們之有用當然也是有客觀的原因的，不會僅僅是由于數學家與科學家們的主觀愿望。因此，我們認為，數學至少在這種意義上的客觀性是給定的事實，是任何數學哲學都必須解釋的。另外，數學中的客觀性似乎不僅僅在于數學公理與定理之有用是有客觀原因。所以，關于數學的客觀性的真正問題應該是：

如果抽象數學對象不存在，那么數學在哪些方面是客觀的，它的客觀性的基礎又是什么？

這個問題主要是針對反實在論者的，因為，對于實在論者來說，數學的客觀性的基礎顯然就是客觀存在著的抽象數學對象，以及數學公理與定理是關于它們的客觀真理這一客觀事實。反實在論數學哲學則需要做一些努力，在不承認數學對象存在，不承認數學公理與定理是真理的前提下，說明數學在各方面的客觀性。

二 概念的客觀性

前面已經提到，數學的成功應用，應該是基于一些客觀的原因。這是數學的客觀性的一個方面。除此之外還有其他方面的客觀性問題。從哲學的角度看，對反實在論者來說最困難也最重要的，也許是關于概念的客觀性問題。我們在直觀上承認，“不同的人可以理解同一個概念”。這里的“概念”不是物質性的對象。如果不同的人可以在某種意義上把握“同一個概念”，那么這個“概念”似乎應該也是獨立于人心的。所以，接受這一點似乎意味著，所謂的“同一個概念”應該是一個非物質的、也獨立于人心的抽象的實體。一些實在論者的確是這么認為的。比如，弗雷格就強調，概念是客觀的、獨立于我們的思想的，雖然它們可以被思想“把握”。弗雷格認為，只有承認這一點，才能說明我們為什么可以成功地互相交流、可以在科學中表達客觀的真理。哥德爾則更直接地承認我們有一種直覺能力，使得我們能夠“把握”獨立于我們的心靈的抽象數學概念，就像我們有視覺能力，使得我們能夠看到那些獨立于我們的心靈的物體。反實在論者認為，實在論者的這種所謂的“把握”是神秘的東西，實在論者并沒有說清楚它究竟是什么。但另一方面，在常識意義上的“不同的人可以理解同一個概念”，似乎是我們都應該認可的。因此，反實在論者應該對此做出解釋。他們必須在不承認任何獨立于心靈的、非物質的實體的前提下，解釋什么是概念，在什么意義上我們可以“理解同一個概念”，為什么我們可以成功地交流等等。也就是說，反實在論者必須能夠承認“不同的人可以理解同一個概念”之中蘊涵的客觀性，而又不必承認存在著獨立于心靈的、作為抽象實體的概念。

與概念的客觀性相關的問題還不僅僅在于“不同的人可以把握同一個概念”。我們一般也承認，一個人在一個特定的場合是否正確地使用了一個概念，這一點也是客觀的。一個概念自身可能已經包含了一些一般性，因此，承認“正確地使用了那個概念”之中的客觀性，有可能蘊涵著必須將那個概念視為一個獨立于人心的抽象實體。比如，假設一個人學習了“貓”這個概念，但有一天他將這個概念用于描述一只狗。我們說這是一個錯誤，但這似乎蘊涵著假設了“貓”這個概念是獨立于那個人的心靈的，是相對于那個獨立的概念我們才能說這個人犯了個錯誤，將這個獨立的概念錯誤地應用到某個事物上。否則，如果那個人心靈中的東西就是一切，那么我們似乎必須說，那個人在應用概念方面無所謂錯誤，因為，既然他有時將他心中的一個概念用于貓，有時又將它用于狗，那么它就應該既表示貓又表示狗，也就是說，他心靈中的一個概念就是表達任何被他實際地應用了這個概念的事物。

三 規則的客觀性

這尤其體現在所謂的規則概念中。一個規則概念是人們一般說的一個規則，比如，指導我們進行某種操作的操作規則（operational rules），如對十進制數字表達式作加法、乘法運算的規則，邏輯推理規則等等。一個操作規則可以被應用在許多場合，包括以前從未遇到過的新場合。我們一般承認，一個人在一個特定的場合可能是正確地使用了一個操作規則，也可能是錯誤地使用了一個操作規則。或者反過來說，一個實際的操作可以是符合或不符合一個給定的操作規則。而且，我們一般承認，一個實際的操作符合或不符合一個給定的操作規則這一點是客觀的。這一般稱為遵循規則的操作的正確性問題。比如，我們一般承認，給定了數學公理和推理規則，一個從公理推導出定理的實際的數學推導過程是否正確，這一點是客觀的。這里我們不考慮由于用模糊的自然語言表達一個數學證明，以及由于證明中有步驟跳躍而可能產生的問題。我們假設證明已經被形式化了。因此，證明的正確性，僅僅指證明中的操作符合了給定的公理和推理規則。又比如，按加法規則（包括進位規則等等）對自然數的十進制表達式作加法運算，也是一種遵循規則的操作。對此，正確性指的是，一個由一系列的步驟構成的這樣的運算過程，是符合了加法運算規則。直觀上，承認這種正確性的客觀性應該是無疑義的。比如，如果一個人作加法運算時在該進位的地方沒有進位，那么我們認為他客觀上沒有正確地遵循給定的加法規則。

這看起來簡單，但它其實是數學反實在論者的一個潛在難題。首先，正確性作為一種規范性，似乎假設了有一個獨立于每個人的心靈的、作為抽象實體的公共的規則。因為，假如沒有獨立于我們的心靈的規則，那么我們就是各自依著自己心靈中的東西的指導去進行操作，因此憑什么說某人的操作是錯了？換句話說，當我們說一個人在作加法的時候在該進位的地方沒有進位，是犯了一個錯誤，我們似乎假設了一個獨立于那個人的、其實也獨立于我們自己的公共規則。錯誤是相對于那個公共的規則而言的。否則，那個人就是憑他自己的心靈的指導而進行操作，為什么稱他錯了？而這樣一個公共的規則，如果果真存在的話，應該是一個獨立于每個人的心靈的抽象實體。

四 規則的客觀性與無窮的實在性

其次，更進一步，這樣的規則中似乎蘊涵著無窮。換句話說，如果我們承認，這種客觀正確性對想象中的任意長的一系列遵循規則的操作都適用，那么它實際上是在斷言，有一些關于不存在于這個有限宇宙中的事物的客觀真理。比如，想象一個極其長的形式化的證明，或一個將兩個極其長的十進制表達式相加的運算式。想象它們是長到如此程度以至于它們不可能存在于這個有限的宇宙之中。現在問，這樣的一個證明或一個加法運算式，是否也是客觀地、獨立于我們的思想地正確或錯誤的？普通人很自然地有一種信念，認為一個加法運算式，不論它是在加多長的數字表達式，不論人類有沒有能力實際地寫下這個運算，其正確與否都應該是客觀的。但是，假如宇宙真的是有限的，因此這種想象中的證明或運算式不可能在宇宙中實際存在，那么，相信這種客觀性，實際上是相信這種想象對應于某種不屬于這個宇宙的客觀實在，也就是相信一些超出這個有限的宇宙的客觀真理。因此，這是在肯定數學實在論。當然，我們今天并不確定宇宙是否是有限的。但重要的是，假如有人確信這其中的客觀性，那么他只能是在肯定實在論，既然我們還不確定宇宙是否有限。

事實上，相信這里的客觀性，是將所謂“任意長的形式化證明”或“任意長的加法運算式”當作獨立存在的抽象實體，將關于它們的正確性的判斷當作關于這種抽象實體的客觀真理。這也是將加法運算規則，當成一個可以作用于無限多的、任意長的數字表達式的數學函數，因而是一個蘊涵了無窮的實體。這些都已經在一定程度上接受了實在論。

五 解釋規則客觀性的難點

應該承認，我們關于這種類型的客觀性的直覺是很強的。比如，我們考慮一下乘法交換律：

（1）對任何m, n, m×n=n×m。

假如將（1）理解為關于作為抽象數學對象的自然數m, n的論斷，那么我們也許容易接受反實在論者的一些說法，比如，認為（1）是像一個故事中的陳述，沒有客觀的真假。因為，所謂的抽象對象的存在性確實有一些難解。也許它們就是我們想象的，因此（1）就是我們編的一個故事中的陳述。但是，如果我們將（1）理解為關于十進制數字表達式的論斷，即斷言對十進制表達式做乘法運算的結果滿足交換律，那么直觀上我們似乎更愿意認為，（1）有客觀的真理性（而不僅僅是我們的數學故事中接受的一個陳述），而且是對所有的十進制數字表達式都為真的，不論那些數字表達式是否真的在宇宙中實際存在。但這實際上已經將所謂“任意的十進制數字表達式”當成了獨立于物質世界而存在著的抽象對象，而且將（1）當成了關于這種抽象對象的客觀真理。類似地，在可計算性理論中，我們將一個圖靈機設想為一個有著無限長的存儲帶的機器。我們可以設計一個實現乘法運算的圖靈機。然后，（1）也可以被解釋為關于這樣一個圖靈機的論斷，即斷言對任何一對輸入，不論它們有多長，將它們的位置交換后，所得的輸出不變。直觀上，我們也似乎愿意認為，在這樣的解釋下，（1）應該是客觀真理（而不僅僅是我們編出的故事）。但是，一個可以有無限長的存儲帶的圖靈機不能在有限的宇宙中存在。因此，相信對（1）的這種解釋的客觀真理性，也是將圖靈機當成客觀存在著的抽象對象，將（1）解釋為關于它們的客觀真理。

這些例子都有這樣一個共同的特征：當只考慮那些有限的、在宇宙中實際存在的事物的時候，相關的論斷明顯地有客觀真理性。比如，對于一個實際存在的加法運算式，我們都承認，它是否正確地遵循了加法運算規則應該是客觀的。類似地，如果實際地將兩個很小的數字表達式依乘法運算規則相乘，然后問乘法交換律是否成立，我們也都承認，答案是客觀的，即交換律是客觀地真的。然后，我們似乎有一種很強的直覺，認為這些關于有限的事物的論斷可以推廣到一般，推廣到“任意長”的數字表達式，有“任意長”的存儲帶的圖靈機，等等。而且，我們似乎愿意相信，推廣以后的論斷還有著客觀的真理性，雖然那些所謂“任意長”的數字表達式，有“任意長”的存儲帶的圖靈機等等，也許不可能在宇宙中存在。

這里我們處于一種兩難的境地。一方面，我們的確有這樣的很強的關于客觀性的直覺；而另一方面，承認這種客觀性似乎已經意味著承認抽象實體的客觀存在性，即承認實在論。反實在論者在這里的任務，就是在堅持反實在論的基本原則的基礎上，即在否認任何超出這個有限宇宙的客觀存在性的基礎上，對我們的這種很強的直覺提出一種解釋。一方面，反實在論者需要說明這種直覺在一定程度上的合理性，而另一方面他們也需要解釋，為什么這種直覺不必真的蘊涵實在論的結論。

但是，二十世紀的種種反實在論數學哲學似乎都還沒有做到這一點，有些甚至沒有意識到這是反實在論的數學哲學的一個重要任務。這也是筆者提出下一章將要介紹的那種徹底地自然主義的數學哲學的主要動機之一。