3.6 透鏡

3.6.1 透鏡的分類

透鏡是構成系統的最基本單元，它是由兩個球面或一個球面和一個平面所構成。透鏡按形式來分，可分為兩大類、六種形狀。第一類透鏡中央比邊緣厚，稱為凸透鏡或正透鏡，它的光焦度為正值，可分為雙凸、平凸和月凸三種形狀，如圖3.30（a）、（b）、（c）所示。這類透鏡通常對光束起會聚作用，又稱會聚透鏡。第二類透鏡中央比邊緣薄，稱為凹透鏡或負透鏡，它的光焦度為負值，有雙凹、平凹、月凹三種形狀，如圖3.30（d）、（e）、（f）所示。這類透鏡通常對光束起發散作用，又稱發散透鏡。

3.6.2 透鏡的焦距和基點位置

把透鏡的兩個折射球面看做是兩個單獨的光組，只要分別求出它們的焦距和基點位置，再應用前述的光組組合公式就可以求得透鏡的焦距和基點位置。

1．單個折射球面的主點

在近軸區內，單個折射球面完善成像，它也具有基點和基面。

如圖3.31所示，對于主平面而言，其軸向放大率為+1，故有

即

nl′H＝n′lH

將單個折射球面的物像位置關系式lHl′H，得

因為nl′H＝n′lH，上式左邊為0，故有

由于，只有lH＝l′H＝0時，上式才成立。所以，對單個折射球面而言，物方主點H、像方主點H′和球面頂點O相重合，而且物方和像方主平面切于球面頂點O。

2．透鏡的焦距和基點位置

對每個折射面，利用單個折射球面的成像公式：

只要令l＝－∞，此時求得的l′就是單個折射面的像方焦距f′。令l′＝+∞，此時求得的l就是物方焦距f。假定透鏡放在空氣中，即n1＝n′2＝1；透鏡材料折射率為n，即n′1＝n2＝n，則有

透鏡的光學間隔：

Δ＝d－f′1+f2

由兩個光組的組合公式可求得透鏡的焦距：

透鏡的焦點位置為

透鏡的主點位置為

3.6.3 舉例

例3.7 雙凸厚透鏡兩個表面的曲率半徑分別為100mm和200mm，厚度為10mm，玻璃的折射率為1.5，試求其焦點、主點和節點的位置。

解 兩個折射球面的焦距為

光學間隔

Δ＝d－f′1+f2＝110－300－600 m m＝－890mm

透鏡的焦距

焦點位置

主點位置

節點位置

x′J＝f＝－134.8mm

xJ＝f′＝134.8mm

例3.8 薄透鏡L1對物體成放大率為β1＝－1的實像，將另一個薄透鏡L2緊貼在L1后面時，看見物體向薄透鏡移近了20cm，放大率變為原來的3/4，求兩個薄透鏡的焦距。

解 在沒有L2時，有；在有L2時，有，由以上兩式解得l＝－80cm。

對透鏡l1，由高斯公式，有，解得f′1＝40cm。

對組合系統，，解得組合系統的焦距。

由組合系統的焦距公式，有。

解得

f′2＝240c m。

例3.9 由焦距為10cm的薄凸透鏡L1和焦距為－17.5cm的薄凹透鏡L2構成的復合光學系統，兩透鏡之間的距離d＝5cm，求：（1）該光學系統的主點位置。（2）若物點置于透鏡L1左方32c m處，試求成像位置。

解 由已知條件f1＝－10cm, f′1＝10cm, f2＝17.5cm, f′2＝－17.5cm, d＝5cm可得光學間隔Δ＝d－f′1+f2＝5－10+17.5cm＝12.5cm

（1）組合光學系統的焦距：

主點位置為

（2）由高斯公式，有。

解得

l′＝28c m

所以，成像在L2的右側21cm處。

例3.10 如圖3.32所示，有一雙凹透鏡，放于空氣中，r1＝－8cm, r2＝7cm, C1, C2分別為兩折射面曲率中心，O1, O2分別為兩折射面頂點，d＝O1O2＝2cm，透鏡折射率n＝1.5，求：

（1）系統的焦點F, F′的位置及主點H, H′的位置。

（2）在O1前方8cm處放一物，求像的位置。

解（1）求焦點位置和主點位置：

由組合焦距公式求透鏡的焦距為

焦點位置為

主點位置為

（2）求像的位置。

由高斯公式

所以，解得

l′＝－3.92c m